Les expressions ci-dessus
cos irl~j-] et sm ^(^T-)'
qui donnent les intensités respectives des images ordinaire et extraor- . dinaire dans une lumière honiogène dont la longueur d ondulation est A, lorsque Taxe de la lame cristallisée fait un angle de 45*^ avec le plan primitif de polarisation, et que la section principale du rhomboïde est parallèle à ce plan, font voir que \ ensemble des deux systèmes d'ondes qui sortent de la lame cristallisée doit être polarisé suivant le plan primitif de polarisation, quand o — e est égal à zéro ou à un nombre entier d ondulations, puisque alors
sin^7r(î4-^)
devenant égal à zéro, l'image extraordinaire s'évanouit. Au contraire, quand o — e est égal à un nombre impair de demi-ondulations, c'est
cos7r(— )
qui devient nul, et par conséquent l'image ordinaire qui s'évanouit; d'ofi l'on doit conclure que la lumière totale est polarisée dans le plan perpendiculaire à la section principale, qui est précisément ici ce que
CALCUL DES TKINTES DES LAMES CIlISTALLtSÉES. 619
M. Biot appelle l'azîrtiut 2^ Mais pour toutes les valeurs iriteiin/*djaires de X, ïe^isemhk des deux systèmes trondes ne peut présenter qu'une polarisation partielle, el même il duit paraître complètement flépolapsé lorsque o — e est égal à un nombre impair de quarts d'ondulation, parce qu'alors
cos TTf-jpj et sm 7rf-y 1
devenant l'un et Tautre égaux à - Jes deux images sont de méoie ijrlensité, et que cela a lieu, quel que soit Ta^innît dans lequel on tourne la section principale du rhomboïde, comme on peut s en convaincre par les formules générales présentées plus haut, en y faisant
/r.45*' et Kin^^(Y'j^î;
car alors elles deviennent :
image ordinaire cos^ 5 — ^ cos ai:= ^ ;
Image extraordinaire,.,,, sin' j-h7 cos 2.ç— * ■
il est aisé de voir de n\êrae sur les formules générales, quelle que soit la valeur de i, que lorsque o-^e est égal k zéro ou à un nombre pair de demi-ondulations, i'image extraordinaire s'évanouit pour s=:o, et que lorsque o — e est égal à un nombre impair de demi-ondulations, la même expression devient nulle si ion y fait s=2i^ et que, par cou* séquent, la lumière totale est polarisée suivant le plan primitif dans le premier cas, et dans le second, suivant razimut 21; tandis que, pour toutes les valeurs intermédiaires de o-e, il ne peut y avoir disparition complète d'aucune image, de quelque manière qu'on tourne ia section principale du rhomboïde. Toutes ces conséquences de la théorie sont confirmées par lexpérience.
Dans une seconde note, j'indiquerai la manière de calculer les teinte.s produites par un nombre quelconque de lames superposées, et je donnerai les formules générales pour le cas de deux lames dont les sections principales font entre elles un angle quelconque. J'y joindrai auss^i {uelques considérations mécaniques sur la polarisation cl la doidih
A xxir.
N" XXIL réfraclion, ainsi que mr la cause des propriétés remarquables que nous avoîis découvertes, M. Arago et moi, dans la lumière polarisée.
Il' ^ùrt, SUR LA COLORATION lïlS LAMES CmStALLiSÉiS.
6. Je viens de donner les formules générales des teintes d'une seule lame cristallisée; je vais calculer maintenant leseffete qui résultent de la réunion de plusieurs lames. Je supposerai toujours ces rrîstaux à faces parallèles et perpendiculaires an rayon incident, afin de n'être point obligé de faire entrer dans le calcul les déviations des plans de polarisation produites par l'ijiclinaisun des surfaces, pour lesquelles nous n avons point* de foioiule rigoureuse, et dont il faudrait tenir compte, du moins dans les grandes obliquités. Peu importe d'ailleurs que les faces de ces lames soient parallèles ou obliques à leurs axes, et qu'elles en aient un ou deux, pourvu que la position des plans de polarisation des rayons ordinaire et extraordinaire soit connue dans chaque lame. ainsi que leur différence de marche, quon peut toujours calculer quand on connaît leurs vitesses respectives; les raisonnements qiu^ nous allons faire s'appliqueront également à tous les cas.
Lorsqu'on superpose un nombre quelconque de lames cristallisées, en plaçant leurs sections principales ^^^ suivant la même direction, les rayons ordinaires et extraordinaires qui sortent de fa première lame continuent à subir dans les autres le même genre de réfraction qu'ils ont éprouvé d'abord; en sorte qu'il îj'en résulte définitivement que deux systèmes d'oudes, « omme pour le cas d'une seule lame. On peut donc appliquer à un pareil assemblage de lames cristallisées les formules que nous avons données pour une seule, en y substituant la différence totale de marche produite par le passage de la lumière au travers de toutes ces lames. Cette différence sera égale à la somme de celles qui résultent de chaque lame, si ce sont les rayons de même nom. les rayons ordinaires, par exemple, qui les traversent toutes avec le pi us de vitesse; dans le cas contraire* il faudra ajouter les différences de mar-
''^ J'en tends id par aêction prtnctiMtle le pltiii 4e polorisatioiï ée& ï^wm ûi'dinarres .
soit que le crîslal ail deux oie^ , sml qu'i\ i\m ait qu'un.
CALCUL DES TEINTES DES LAMES CRISTALLISEES. m\
tïm produites par les lames où la vilesse de propagation des rayons ordinairps est plus grande que celle des rajous extraordinaires, faire ensuite la soinme des difiérenccs de marche données par les lames où les rayons ordinaires marclient moins vile que les rayons extiaordinaires, et retrancher ces deux sommes l'une de Fautre; on aura ainsi ia différence définitive des chemins parcourus au même instant pai' lesdeiix sys* tèmes d'ondes qui sont sortis de cet assend>lage de lames cristallisées.
Si les sections principales d'une partie des lames étaient perpendiculaires à celles des autres, que je suppose parallèles entre elles, il est clair qu'il n'en résulterait encore que deux j^y sternes d'ondes, comme dans le cas précédent; seulement les rayons qui ont été réfractés ordinairement par les premières le seraient extraordinairenient parles autres, et les rayons extraordinaires de celles-là deviendraient ordinaires dans celles-ci. On voit donc que, pour avoir la ilifl^rence définitive de marche des deux systèmes d'ondes, il faut laiie la stunnie des différences produites pai^ tous les cristaux atirachfs ( pour meseivir de l'expression usitée), dont les sections principales sont parallèles A la première direclion, en retrancher la soninie des différences produites par les cristaux répulsifs dont les sections principales ont la même direclion, faire un calcul semhlahle pour les lames dont les sections principales sont perpendiculaires à la première direction, et retrancher les deux résultats l'un de l'autre; ou, ce qui revient au même, on ajoutera les différences de marche provenant des crjstimx de même genre qui ont leurs sections principales parallèles entre elles, avec les différences de marche provenant de cristaux de genre contraire dont les sections principales leur sont perpendiculaires, et Ton retrancherii 1 une de fautre les deux soninies ainsi obtenues.
7, Api^ès avoir considéré les cas particuiiei*s où Ton peut apphrpier à la réunion d'un nombre quelconque de lautes cristallisées les formules que nous avons données pour une seule, occupons-nous maintenatU du cas général de deux lames supei*posées dont les sections principales font entre elles un angle quelconque, et sont disposées d'une manière quelconque par rapport au plan primitif de polarisation, ainsi que l;i
N* XXH
\' XMI si'cUoi! principale du rhomboïde de spath caîcaire qui sert à analyser la lumière émergente.
Soient PP' le plan primitif de polarisation, 00' la section principale
de la première latne, 0^0 ' celle de là seconde, SS' la section principale du rhomboïde; ÊE', E^E \ TT' des plans respectivement perpendiculaires aux trois premiers:
'' je représente par t Tangle OCP que la première lame faiL avec le plan primitif de polarisation^ par a Tangle OCO , que la j^. section principale de la seconde lame fait
avec celle de la première, et par s Tangle PCS de la section principale du rhomboïde avec Je plan priinilif,
La lumière incidente se divisera dans la première lame en deux systèmes d'ondes polarisés, Tun suivant CO, et Fauti'e suivant CE'; chacun ffeux se divisera, dans la seconde lame, en deux systèmes d'ondes polarisés, Fun suivant Op^\ et lautre suivant E E/: et enfin, en traversant le rhomboïde, chacun de ces quatre faisceaux se divisera en deux autres, lun polarisé suivant sa section principale SS\ et Fantre dans le plan perpendiculaire TT'. Les quatre faisceaux polarisés définitivement suivant SS' formeront Firaage ordinaire, et les quatre autres polarisés suivant TT' constitueront limage extraordinaire. Nous ne nous occuperons que de Fimage ordinaire, Fautre image étant toujours complémentaire de celleci. On trouve, poui- les intensités des vitesses d'oscillation des quatre laisceaux constituants de Fimage ordinaire, les expressions suivantes:
ros icos a cos{a^i — s)Fo^f,' cosisiniïsin {a-\-i--s) F„^/ PO.O^.S P.O.E S,
— sln I sin a cos {u-his) F^^,,' sin i cos a sin (a-hi— *^) P^^ P.E,(y,S\ PX.K.S.
dans lesijuelles V représente toujours Fintensilé des vitesses dVisciliatiori de la lumière incidente, ou plus exactement de cette lumière dimmuée de tout ce qu'elle peid en traversant les trois cristaux. Ou n'a marqué
CALCUL DES TEINTES DES LAMES GRLSTALLISEKS. fiiH
r[uê lesclieiniîis parcourus au luênie instant par les fJjflV»i*cirts syslt^nie:* N* XXII ij'ondes après qu'ils ont traversé les deux latnes r^ristallisées, mm s occuper de leur uiarche daus le rhomboïde, qui est la lUf^nif pour tous, puib^ qu'ils y ont tous subi la réfraction ordinaire* On a aiïecté la troisième expression do signe — , en raison de la marche du plan de polarisation de ce système d'ondes comparé à celles des plans de polarisa lion des troi^ autres : en suivant les changements successife de ces plans de polarisation, indiqués par les lettres majuscuies placées sous chaque expression* on reconnaîtra en elTet que, pour le troisième faisceau, Textrénrité P du plan primitif est venue se placer détinitivement en S\ tandis que, pour les trois autres, elle est allée en S; d'où résult** ropposition de st^ns qui etitraîne Topposition de signe, comme dans la composition des forces*. Pour trouver la résultante de ces quatre systèmes d^ondes, il ta ni suivre la règle que j'ai donnée dans mon Mémoire sur ta dillraction déjà cité, page !î56 ^*^; elle consiste à décomposer cliaqne système d'ondes en deux autres, dont les positions sont les mêmes pour tous, et di Hère ni Tune de Tautre d\ui (|uml d'ondulation : on fail ensuite la sonnu^ de.s composantes rapportées à la première [)ositioii, puis relie des composantes rapportées à la seconde, et, en ajoutant les carrés de ces deux sonmies, on a rinlensité delà lumière totale qui résulte de rinterférence des diflerents systèmes d ondes. Je choisis pour la position des premières composantes celle qui répmid au chemin parcouru o + e, par exemple; la position des autres différera de celle-ci d'un qnari d ondulation : Ton aina, pour la somme des premières :
cos i ces a cos {a + i- s) cos air [-^j -h cos i sin a sin [a ^- i- s) cos stt l-^) — sin I sin a cos {a -h i - s} cos 2 7r f ^ j + sin i cos a sin {a + i—s) cos aTî C-^ J ; et pour la somme des secondes :
cos I cos a cos (a-f- 1 --a ) sin 27r (^ \ -1 cos i sin a sin {a -^i—s) sin 2Tr (j-jA — sin(sinflcos(a-f 1 p^jsinSTT [^ W$inicosasin(a ^ A)sin STrr.^j,
^•^ Page 989 du pr^f^etit voîmne.
' fi24 THÉORIE DE LA LUMIÈRE, — DEUXIÈME SECTION.
i\° XXII. J'ai supj)rjmé ici le facteur coramun F, qui aurait compliqué inutile* iiH*rït 11* rati ul, et ([u'oa peut d'ailleure prendre pour unité*
Eu élovaiU les deux sommes au carré et ajoutaut ces deux carréi^, m\ trouve, après plus icui^s réductions :
cos'^ .V + sin a ff sin a I eos ll{a-\-i—s) sin^ tt (-^J — sin 3 a cûs a i sîn a (a 4- i — s) sia^it [^p\
—CCS asm3isui2(a-t-*— ^jëin -ni—. — j — - 1-hsm «siDafsma(a + f — sj&m Tr( - — -v — -
Telle est l'expression générale de Imtensité d une lumière simple dans rimage ordinaire. On peut la considérer en même temps comme représentant la teinte produite par la lumière Hanche, puisque celte formule donne l'intensité relative de chaque espèce de rayons colorée en fonction de leur longueur d'ondulation.
8. On voit que cette expression contient quatre termes variables avec la longueur X de l'ondulation lumineuse, multipliés par des coefficients qui ne dépendent que des angles a, i et .t. La première fonction de X est :
sm
la seconde , la troisième, et la quatrième.
sm
sm TT '
Ce sont précisément celles qui formeraient le terme variable de la formule pour une seule lame cristallisée, dont on supposerait successivement l'épaisseur égale à celle dé la première lame , à celle de la seconde , à la somme de leurs épaisseurs, et à leur différence, si les deux lames sont de même nature. Et en effet, le système des deux lames croisées peut présenter les mêmes effets qu'une seule lame qui aurait successivement les épaisseurs que nous venons d'indiquer; i° quand la section principale
du rhomboïde est parallèle ou perpendiculatre à celle de ia seconde N" XX IL lame, piiisqu alors chaque image donnée par le rhomboïde ne contient que des rayons qui ont éprouvé la même réfraction dans cette lame, et entre lesquels elle n a établi aucune nouvelle différence de chemins parcourus; 9* lorsque la section principale de la première lame est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif de polarisation, puisque les rayons incidents n'éprouvent plus alors dans celte lame qu'un seul mode de réfraction; 3^ lorsque les sections principales des deux lames sont parallèles entre elles; 6** quand elles sont recLingulaires, Ces deux derniers cas rentrent dans ceux dont nous avions déjà parlé avant de calculer la formule» Les expériences de M. Biot avaient démontré d'à-vance ces conséquences de la théorie^ qu'on peut déduire de la foimule en y faisant successivement :
a + i — s=io, a + f— ^=90^ i — o, i^go", a^o, a = go^
Par une marche semblable à celle que nous venons d'indiquer pour deux lames, on pourrait également calculer les formules générales des intensités des diverses espèces de rajons colorés dans les images ordinaires et extraordinaires, pour trois, quatre, cinq, etc* lames superposées, dont les sections principales feraient entre elles des angles quelconques^ L'application de la théorie à ces cas plus compliqués serait aussi facile; les calculs seraient seulement plus longs.
9, On voit quel avantage a cette théorie sur celle de lu polansation tnobUêy qui devient si embarrassante quand on veut savoir comment les oscillaUons des axes des molémks lumineuses se renouent dans le passage d'une lame à une autre dont la section principale fait un angle quelconque avec celle de la première. Aussi la théorie de la polarisation mobile n a-t-elle fourni à M. Biot le moyen de déterminer tous les coefficients de ses formules, pour deux lames superposées, que dans des cas très-particuliers; et même il en est un où ses formules ne représentent pas les faits avec exactitude, comme |en ai été averti par les miennes; c'est le cas où la section principale du rhomboïde élajit parallèle ou perpendiculaire au plan primitif, les deux lames, étant de
N* XXfL même nature, ont la même épaisseur, et ieui^ axes croisés sous un angle de 65*^. M, Biot avait conclu de ses formules que Jorscju un fait tourner le système des deux lames croisées dans son pian, lés teintes de** images doivent rester constantes. L'expression générale que nous venons de trouver pour l'intensité de chaque espèce de lumière simple dans i 'image ordinaire conduit à une conséquence différente. En ellet. dans le cas dont ii H^igit, o' — e =:0"e, puisque les deux lames sont de même nature et de même épaisseur^ a— 65**ets^o ou 90^ : supposoTiî* *ï :^ o et substituons ces valeurs dans la formule; nous aumns* toutes réductions faites 1
cos^7r(-j— J — -sm 4 ïsin airf— j— J.
Cette expression, n'étant pas indépendante de 1, qui est Fangle que la section principale de la première lame fait avec le plan primitif de polarisation, doit changer de valeur quand on fait tourner le système des deux lames daîis son plan. Lorsque sin ii— o, elle devient
qui est précisément la formule que nous avons trouvée pour une seule lame de même épaisseur qu'une des deux dont il s'agit, quand sa section principale fait un angle de /i5° avec le plan primitif; et en effet dans toutes les positions du système des deux lames croisées où sin ài = o, c'est-à-dire lorsque i est égal à /l5^ 90", i35^ 180°, etc. la teinte de l'image est parfaitement semblable à celle que donne une des deux lames prise séparément, et tournée de manière que sa section principale soit dans l'azimut de 45°, ainsi que M. Biot l'avait annoncé, et comme on peut le vérifier aisément par l'expérience. Mais, pour toutes les valeurs intermédiaires de i, la formule diffère plus ou moins de
cos^
et cette différence atteint son maximum lorsque sin ai devient égal à 1, c'est-à-dire quand i est égal à un nombre impair de quarts de quadrant.
11 est à remarquer que, même dans ce cas, le coefficient de sxnài N* XXII. ne peut pas excéder ^ , quelle que soit la valeur de
sm 2 TT ( — 5— 1 1
puisqu'il est multiplié par ^. D'ailleurs, il s évanouit pour les deux espèces de rayons dont la longueur d'ondulation rend
égal à un nombre entier, ou à un nombre entier plus -, puisqu alors
sin^ 2
est égal à zéro : or la première espèce de rayons est celle qui domine dans l'image ordinaire, puisque
devient égal à 1 , quand
est un nombre entier, et la seconde espèce est celle qui en est entièrement exclue, puisque
2 fo — e\ devient nui quand
est égal à un nombre entier plus -. Ainsi les variations de i ne doivent apporter que des changements assez légers dans la teinte de l'image ordinaire lorsqu'on emploie de la lumière blanche; i'' parce que le terme qui contient 1 est multiplié par - ; 2** parce qu'il est nul pour les rayons qui dominent dans l'image et pour ceux qui en sont entièrement exclus, et qu'en conséquence ces deux espèces de rayons, qui déterminent particulièrement la nature de la teinte, n'é-
N* XX IL prouvent aucun changement dmtensité quand on fait tourner (e système des deux lames croisées dans son plan. Ce sont donc seulement ies autres espèces de rayons dont Tîntensité varie; mais comme ces variations sont multipliées par un quart, on conçoit qu elles ne peuvent guère, en général, changer la couleur de l'image d'une manière Irèssensible, et que leur effet ordinaire doit être de la rendre seulement plus ou moins foncée. Voilà sans doute pourquoi ces légères variations ont pu échapper à l'attention d'un observateur aussi habile et aussi exercé que M. Biot, ou lui paraître de simples anomalies indépendantes du phénomène principaL
Lorsque i est égal à un quart de quadrant, ou, en général, à un nombre entier plus - de quadrant, sin 4' — i, et tous les rayons qui se mêlent aux rayons dominants sont réduits au mnimum d*intensité, parce que le terme variable atteint son maximum en restant négatif; ainsi la teinte de Timage ordinaire doit devenir alors plus pure et plus foncée, puisqu'elle contient moins de lumière hétérogène. Quand, au contraire, i est égal aux - d'un quadrant, ou à un nombre
entier plus - de quadrant, sin ai
, et tous les rayons hétéro-
gènes dont nous venons de parler atteignent leur majcimum d'intensité; alors l'image ordinaire doit être à la fois plus éclairée et d'une couleur moins pure que dans le premier cas. C'est ce qu'on reconnaîtra tacitement en faisant l'expérience avec attention.
Les variations d'intensité de ces rayons deviennent bien plus sensibles quand, au lieu de lumière blanche, on emploie une lumière à peu près homogène, en choisissant celle pour laquelle o —eest un nombre impair de quarts d ondulation, ou l'épaisseur de lame qui satisfait à cette condition. 11 est facile de reconnaître quand elle est remplie; car, ainsi que nous l'avons vu, la lumière homogène doit être, dans ce cas, complètement dépolarisée en passant au travers d*une seule des deux lames, dont on a dirigé la section principale à 45** du plan primitif. Alors, si l'on fait tourner le système des deux lames croisées dans son pian, on verra Tintensité de l'image ordinaire changer con-
sidérablement, comme l'indique la formule; car larsqua e — o ml un N" XXH nombre impair de quarts d ondulation,
sm 217 [-y-J atteint son maximum et est égal à i, tandis que
