COS
' !î- MÉMOIBE SUR LA nÉPLEXION DE LA LUMIKHE POLARISÉE. 779
On en déduit pour la langentr de Tangle que le plan de polarisatimi N' XX X. d'un rayon i^éfracté fait avec le plan dlncirlence ;
- cot a — '• — - -■;'— L a \ $ni i-hr ) y
11. Quand on fait tomber de la lumière ordinaire siur la surface d'un corps transparent, puisqu'elle peut toujours être considérée comme composée de quantités égales de mouvements vibratoires parallèles cl perpendiculaires au plan d'incidence^ si l'on veut avoir la proporLiori de kimîère polarisée dans les rajona réfléchis, il suflira de calculer, pour chaque incidence, au moyen des formules
a sîn*(/^i'} a f ang' ( t" h- f]
les proportions dans lesquelles se réfléchissent la lumière polarisée parallèlement au plan d'incidence et la lumière polarisée perpendicidairement au même plan , et de diviser la différence de ces deux expressions par leur somme; le quotient sera la proportion de lumière polarisée contenue dans le faisceau réfléchi. Quant k la quantité de lumière polarisée par transmission, olle sera égale à Tautre, d'après la théorie que nous venons d'exposer^ comme d'après les anciennes expériences de M* Arago.
12, En étudiant avec un prisme les moditlca lions que la réflexion intérieure imprime à la lumière polarisée dans un azimut de /t5^ relativement au plan d*incidence, j'avais observé depuis longtemps que les rayons réfléchis ne conservaient leur polarisation primitive que jusqu'à la limite de la réflexion partielle, et que, lorsque la réflexion devenait complète, la lumière réfléchie se tiouvait en partie dépolaiisée. Cette dépolarisation devenait totale après deux réflexions semblables sous une incidence de So** environ. J'en avais conclu, d'après les règles d'interférences des rayons polarisés, que la lumière réfléchie se trouvait alors composée de deux systèmes d'ondes égaux différant d'un quarl d'ondidation et polarisés l'un parallèlement, l'autre perpendiculairement au plan d'incidence; ce qui revient à dire que les deux faisceaux polarisés parallètement et perpendiculairement au plan dlncidence
W MÉMOIRE SUli LA BÉFLEXION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE- 781
filiaïuni deux, quollt? que soit d ailleurs leur dîiTéivnce de nature et de N' XX\. densité pondérable *'^ et par conséquent sans doute leur différence d'élasticité, il me parait très-probable que, si Ton avait égard dans le calcul à cette deniièie diiïérence, on aurait It^ même résultat qu en attribuant uniquement à une différence de densité les vitesses différentes avec lesquelles la lumière parcourt ces deux milieux, et qu'ainsi Ton retomberait encore sur les formules (i) et {û}. Quant à rhypotlièse Hiibsidiaire sur laquelle elles reposent, elle me paraît aussi d'une grande pro babil i té, à en juger par Taccord satisfaisant entre ces formules et toutes les observations exactes sur lesquelles j'iii pu les vérilier jusqu à présent. Ayant donc tout lieu de croire qu'on doit les eonsidéier comme rigoureuses (et d'autant plus qu'elles ne sont pas seulement vérifiées pai* des laits, mais encore établies sur des considérations tbéoric[ues déjà trèsprobables en elles-mêmes), j'ai cbercbé si ces mêmes Ibrmules qui mV vaient conduit d'une manière si simple A la loi des déviations qut^ les rayun;^ éprouvent dans leur plan de polarisation par l'effet de la rélb xion extérieure, ne m'aideraient pas h deviner la loi des modificatious d une nature toute différente quiî la réflexion totale imprime h la lumière polarisée, et j'y suis effectivement parvenu au moyen des intUictions que je vais exposer.
13. Les formules (i) et (a) conseivent la forme réelle pou i' toutes les valeurs de i comprises entre o et 9o^ tant que le second milieu est plus réfringent que le premier; mais*piand il Tesl moins, cest-à-flire lorsque le coefficient n, par lequel il faut multiplier sini pour avoir sin i', est plus grand que i , avant d'atteindre yo^ cuï trouve une valeur de I pour laquelle la valeur correspondante de sin t est égale à i et passé laquelle ce sinus est plus grand que l'unité; alom cosi^ devient imaginaire et avec lui les formules (i) et (a) dans lesi[u elles i) entre. Ce|)endanl, en vertu de la loi générale de continuité, si elles étaient nna expression exacte des lois de la réflexion jusqu'à la limite dont nous
''^ J'appelle ainsi ta partie de la tlensik^ \éu milieu qti'on peut peser, c est4-dîre celle î du corpi : quant h félher eootenu entre 1^
parUculei» de m corp6. on ne |»eut pus le
poser porte qu'il esl îneoercible.
Ih MÉMOIRE SUR LA RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE. 78H
9 évanouit et le terme réel devient égal à i; mais lorsque «^sin'^î es! N** XXX. plus grand que i, quoique lu valeur de v renferme alors un tenue imaginaire et que le terme réel devienne )>lus petit (jue i, il est cerlain. d'après la th{*orie^^^ comme d'après TexpiVience, que la totalité de la iumif^e incidente est encore réfléchie; d'une autre part, rien n'est changé dans le milieu que parcourent les rayons réfléchis; cest toujours le premier milieu; ainsi nous savons d avance que le coeHicieiit commun des vitesses absolues des molécules dans les ondes réfléchies doit être réel et égal à i ; que signifie donc le terme imajjinaire tjui enfr*^ dans ce coelTicient u? Il signifie sans doute que les périodes de vilu atioii des ondes réfléchies, qui, dans les bases du calcul, avaient été supposées coïncider à la mrface pour les ondes incidentes et réfléchies, ne coïncident plus; en effet, si cest la véritable interprétation de Texpres* sion imaginaire, fanalyse, ne pouvant pas abandonner dans ses réponses la supposition fondamentale de cette coïncidence, nous donnera nécessairement, pour coefficient des vitesses absolues réfléchies, une quantité imaginaire; car si Ton représente par. rie chemin parcouru à partii- de la surface, et que sin [a-^x] soit la vitesse absolue d*un point de Tonde réfléchie situé à la distance x, dans le cas oii ses périodes de vibralion coïncidaient à la surface avec celles de Tonde incidente, st ces périodes sont retardées ou avancées dans Tonde réfléchie d'une certaine quantité, la vitesse absolue du même point sera siu{a-i-x) i or, quel que i^oît le coeHieient réel A par lequel ou multiplie sin(a-l--ï), on m* pourra jamais faire que A sin (a 4- r) soit égal à sin (a' + x) pour tooleii les valeurs d<* .r, c'est-à-dire qu en continuant à compter les |>ériode?? de vibration romme on lavait fait d'abord, il n'est aucun coeilicient constant réel qui puisse servir à représenter tes vitesses absolues dont les diverses molécules du milieu sont animées à chaque instant par YeiïH
f** A roidedn principe rle«ini€rfér»ioei«
au déuioaLi^ ûL^muiU (du moins pour an point dloigné de la surface n^frbgenle d*une disl^nnce très-grande relatîvemenl à !a fougueiir dïmfhïlotion ) que la tumîère trans-
mis** mi milb dans r« cas. el par coué^queiU, d apr^ le printîipê de la cumervatiofl d€â Toi^âfl vivei« la lumière réfléctiie do4 Atre égixh à la luirnère tncideDle.
Il MÉMOIRE SUR LA RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE. 785
moyen du contact d'un liquide réfringent en son point d'incidence. Je N° XXX. n'ai pas encore eu le temps de faire cette expérience ; et comme l'objet principal de mes recherches théoriques était de découvrir la loi des modifications imprimées à la lumière polarisée par la réflexion totale , modifications qui dépendent de la différence de position que cette réflexion établit entre les ondes polarisées suivant le plan d'incidence et celles qui sont polarisées perpendiculairement à ce plan, j'ai dû calculer d'abord cette différence et voir si elle s'accordait avec les faits que je connaissais, puis en vérifier l'expression générale par des expériences nouvelles.
16. Pour avoir les coefficients des deux systèmes d'ondes composants de la lumière réfléchie, lorsqiie les rayons incidents sont polarisés perpendiculairement au plan de réflexion, il faut appliquer à la formule (2) les transformations et les raisonnements que nous venons d'employer pour la formule (1); et d'abord nous chasserons les imaginaires du dénominateur en multipliant haut et bas par le numérateur, ce qui nous donnera :
sin* i ces* / — sin* l' cos* 1' expression qu'on peut mettre sous la forme :
ces* i-^n* (\ — H* sin* t ) — an ces i \/n* sin' i — i \/ - i
' ces' i H- n' ( fi' sin' i — 1 )
ou
(71* 4- 1 ) sin' i — n* — 1 any/j i — sin *t ) ( n* sin* i-- î) \/-^ /t*\
^"""^(n'-i)[(7i'4-i)sin"i-i]"^ (fi*-i)[(w'Vi)sin'i-i] ^^r
Nous considérerons donc la lumière réfléchie comme composée de deux systèmes d'ondes séparés par un quart d'ondulation, dont l'un, parti de la surface, aura pour coefficient de^es vitesses absolues :
(n*-t- i)sin*i — yt*-« i
(n*-i)[(7i*H-i)sin*i-ir et l'autre
ayi\/(i — sin*t)(fi'sin*i'— 1), (n — 1 )[(«'+ ijsin'i— 1] ' I. 99
IV MÉMOIRE SUR LA RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE. 787 suhsliluant à la place de cos a, sin a, cos |3, sin |3, leurs valeurs, on a : iV XXX.
^^ /^ /5\ c-h i ~ 2cx) [(c'-+- i)a: - c— i] — 4c(i - x)(cx— i)
Cos(a~/^) (e !/[(,.+ , )a;-i] '
OU , effectuant les multiplications du numérateur et ordonnant par rap- . port à X,
cos^a-pj- (c-in(c+i^a?+i]
ou enfin, divisant haut et bas par [c— i)^
/ Q\ - aca-* H- ,c -h \)x— j cosia — p)=: -, — -h ,
Pour employer cette formule, il faut se rappeler que x est le carré (lu sinus d'incidence intérieure, c le carré du rapport de réfraction, et que l'arc a— jS divisé par la circonférence exprime la fraction d'ondulation dont le système d'ondes polarisé perpendiculairement au plan d'incidence est en avance ou en arrière du système d'ondes polarisé suivant ce plan, après la réflexion; car le signe de l'arc a— jS ne peut pas être indiqué par son cosinus.
18. La formule (*i) , qui nous a donné le coefficient des vitesses absolues de l'onde réfléchie, quand les rayons incidents sont polarisés perpendiculairement au plan de réflexion , présente dans l'interprétation (le son signe une petite difficulté qui pourrait, au premier abord , faire penser qu'elle ne s'accorde pas avec les observations sur la déviation du plan de polarisation dans la réflexion extérieure. Pour nous faire mieux entendre, prenons le cas où l'angle i est presque égal à 90", c'est-{\-dire où les rayons incidents sont presque parallèles à la surface; on sait qu'alors le plan de polarisation des rayons réfléchis est sur b» prolongement des rayons incidents. Cependant la valeur
sin i cos i — sin T cos i' Sin i cos 1 4- sin i cos i
devient alors v = 4- 1, tandis que l'autre formule
sin / cos i' — sin l' cos 1
Sin < cos < -+ sin I cos i donne dans le même cas v== - 1, ce qui semblerait indiquer, au pre-
n* MÉtaOIRE suit LA HKFLEXION DE LA LUMIÈHE I^ULAHISÉE, 789
limite, lorsque les rayons étant parallèles A la suriiice les deux ondes N'* X\X, lui seront perpeudicutaires, leurs vitesses absolues agiront précisément en sens contraires* Ainsi, puisque, d'après nos calculs, la vitesse absolue â le même signe que sa composante lu>ria!ontale, nous nous lappelleroTis qu'une valeur positive de v indique seulement la similitude de signe dans les composantes horizontales des ondes incidentes et ré* lléchies, ou, ce qui est plus simple poui^ le cas dont nous imus occu^ pons, nous changerons le signe de v en conven-inl que les vtlesse?^ alisolues dans les ondes iJicidentes et rélîécdies porteront le mènn' signe 4 quand elles pousseront les molécules de la surface du même cùté, et des signes contraires, lorsque Tune les poussera eu dedans du piTUiier milieu et Tautre en dedans tki second ^*^*
Cela posé, la Valeur de v changeant de signe dans le cas où les rayïms incidents sont polarisés perpendiculairement au jdan <le ré-
^"^ tt Ft^ulLg àe ces oonsid^rntÎQti^ qm I ex|)r<^ë$îon exacte île lu vilesëe de vibra (ion vé* Jlrchio est, [mur la Itunière polansée dans le pkn crîtictdenw*
5tn[t f ) "siiîii + r *
et pour \(i lumière polarlsët; iierpendiciibirernetit ati plan tlLiicidiiiici^
tangii H-T]'
Si, le deuxième uiiUeu ë(aiU plus nefringeril que le preujier t e»i^\m grand que i% ïéX~
pre^iou ^~-. — T- est toujours tie^alive, mais 1 expreâBion y . ' est positive, tant
que i -^ i iisl plus pclîl que go"". Il n'y a donc pus toujours perte d'une denii-loogueur rroudulHiîoii datiîii la r*5fleximi de la lumière lurSi[Ue le deuxième mdieu est pîus iWriugent que I*' premier, eomme Fresnel, après Youiiff. la suppose daus lu UitWie des imiieauïi eulorés (voir les n*' IV et X), et il peut y avoir peHe d'une demi-longueiir d'onduiatîoii daus certains cas, Ionique le deuiiième milieu est moins r^fringeiil que le premier. Mais il y a (oujouii opposition de sigoe entre les vitesses retlëchiea sous des incideuc^'si correaponriantes aux deux surfaces d une larne transimreiiU; environuée de toutes parts par le mèirje milieu. Otte opjMj&itîon de îfigne est en rM^alile tnut ce i^neiigt h théorie ile« anneaux edloi^es. [K, Vërdet.]
iV MÉMOIRE SUH LA RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE POLARISfl:K. 791
dépasse guère ce terme, et qu après être restée quelque temps au même fi" X\\ puiut pendant quon augmente Imclinaison des rayons irirideuts, elle diminue continueUeoFent jusqu'à la seconde limite de réllexiuii totale, (lù elle devient tout à fait insensible. On peut, à l'aide de la formule (C). calculer ce maximum, qui répond au minimum de cos (a— ^), en différentiarit par rapport à x et égalant le coefficient différentiel h zéro, ce i]ui donne, après plusieurs réductions,
(c4- j)x— a =o, trm'i Ton tire
« t, substituant cette valeur de :r dans la lormule (G), tm a
m su Jisti tuant à la place de c sa valeur, on trouve 45*" 56' - pour le juaxijuum de a - ^, ce qui excède bien peu, comme on voit, le tmitième de la circonférence- En mettant aussi pour c sa valeur dan.s la loinmle x ou sin^i^-:^— , on trouve i—Si^* 20'^; tel est Tangle dlneidenee qui donne le maximum de dépolarisation (lartielle pniduite par une seule réflexion intérieure du verre de Sainl-Gobain.
21. Après iniHre assuré ainsi que la formule (C) représentait bien la marche générale du phénomène entre les deux limites de la léflexîmi conqdète, et donnait précisément ^ ces deux limites el flans rincideuce de 50" les résultats que j'avais observés depuis longtemps, j ai fait (pielï|ues expériences imuvelles pour véiifier cette formule' dans les incidences intermédiaires, I^e degré île dépolarisation le plus lacile a con^t^ter est celui de la dépolarisation complète, parce qu'il donne deux images d'égale intensité quand on analyse la lumière avec mi rhomboïde d(î spath d'Islande, et deux images incolores quand on la fait passer dans un tube rempli d'esseiuîe de térébenthine; cest pou 1 quoi j ai loujoui^ fait en sorte d'arriver à la ilépolarisalion complète par la Huccessioiï des réflexions totales, dans les expériences nouvelles ijue je vais rapporter.
7!)2 THÉOHIE DE LA LUMIÈBE. — DEUXIÈME SECTION.
D'après la valftiir maximum rpie nous venons de trouver pour a-jS, ♦*l qui excède à peine iFun deffre hi huitit^uie flf* Ifi circoufi^roricc, i\ esl clair que, pour avoir entre les deux faiscenux une différence de marche égale a un quart d'ondulation^ il faut au moins deux réflexiunï^ totales dans lintérieur du verre. J'ai voulu déduire de la foruiule (C) l'incidence exacte qui satisfaisait à cette condition, cest-à^-dire donnait ri- {{oureusteuïent un btiittènie d'ondulation de différencftà chaque réflexion, et, pour que la formule pût servir h d*aulreîî expériences où le nombre dm réflexions serait plus considérable, j'ai résolu le problème flune manière générale en représentant par a le cosinus de la partie quelconque de circonférence à laquelle an voulait que lare a — (3 fût égal, et, égala nt la valeur décos (a— j3) au cosinus donné ^j, j'ai eu Téquation :
OU enfin,
d'où Ton tire
^ a , pu *iCT^ — (*^+ 0^^ i =a(c+ i)x — a.
JT,—
,€-¥■ l((l +ej:
■<i)[ir-t-i^'(i
^^8in I
On voit que x, ou sin^i, a en général deux valeurs différentes, qui ne deviennent égales que dans le cas du maximum de la différence de marche a— jS, parce qu'alors a étant égal à
1, ou a-h 1 à 7^7; — 7, (c4- i)'(i -ha)— 8c=:o,
et le radical s'évanouit.
(]uand on fait a égal à ces AS*' ou 1/- , on trouve pour les deux valeurs
correspondantes de l'angle d'incidence, z = 48^37'- et i = 54°37'^. La première des valeurs étant plus voisine que l'autre de la première hmite de la réflexion complète, qui est différente pour les diverses espèces de rayons, on sent aisément que, calculée d'après le rapport de réfraction des rayons jaunes, elle devra donner des résultats moins semblables pour les rayons de différente réfrangibilité; c'est donc la
