N* XL

la variation de z qui lui correspond est 0,10, et le carré de sa moitié 0,0035; par conséquent, le pins grand arc quon néglige dans les dilTérentielles n'est que les 0,0028 d'un quadrant, ce qui donne une exactitude suffisante, car elle surpasse beaucoup celle à laquelle peuvent atteindre les observations.

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N* XI

fdz cos (^''r^) et fdz sin {i^^j depuis zéro jusqu'à Tinfini sont égaks Tune et Tautre à i. Ainsi, pour avoir à laide de cette table l'intensité de lumière qui répond à une position donnée du point P, ou, ce qui revient au môine, à une valeur déterminée de z, considéré comme une des limites de rintégration poussée de l'autre part jusqu'à — oo» il faut chercher dans cette table les valeurs de fdz cas f-7iz^\ et fd: sm f^-nz^j qui répondent à cette valeur de 2, les augmenter de l'une et Tautre, faire la somme de leurs carrés, et en extraire la racine carrée, si cest la vitesse des molécules éthérées qu'on veut déterminer; quant à l'intensité, de la sensation, elle est donnée immédiatement par ia somme des carrés.

8. La seule inspection de cette table indique des variations périodiques d'intensité dans la lumière, à mesure qu'elle s'éloigne du bord de Tombre géométrique. Pour avoir les valeurs de z qui répondent aux nmxima et minima, c'est-à-dire aux points les plus éclairés et les plus sombres des bandes obscures et brillantes, il faut d'abord chercher dans ta table les nombres qui en approchent le plus, et calculer les intensités de lumière correspondantes; au moyen de ces données, et à Taide d'une formule très-simple, on peut déterminer avec une exactitude sufïisajite les valeurs de z qui répondent aux maœima et aux tninimu.

Si Ion représente par a la valeur approchée de z que donne immédiatement la table, par A et B celles de ^ + fdz cos (- m^'j et - -h fdzsinf- Ttz^j qui lui correspondent, et par t enfin le petit arc qu'il faut ajouter à a pour arriver au maximum ou au minimum de lumière, en négligeant dans le calcul le carré de f, on trouve :

^fîA — sin ( J ira* )

sm

\/[7rflA — sin ( { wa')] ' + [waB -¥ cos { ira')] '*

En substituant dans cette formule les nombres tirés de la table, on obtient les résultats suivants :

N** XI» 10, Ce tableau sert à déterminer la largeur des franges extérieures,

quelles que soient les distances respectives du point luininoux, du corps opaque et du carton sur lequel on reçoit ronibre, ou du foyer de la loupe avec laquelle on les observe. 11 suÛit, dans cliaque cas particulier, de chercher la constante par laquelle on doit multiplier les nombres donnés, c'est-à-dire la largeur qui répond à une différence d'un quart d ondulation entre la ligne droite et la ligne brisée passant par le bord du corps opaque.

11, On ne peut pas présenter de résultats généraux relativement aux franges intérieures d'une ombre étroite, ou à celles qui sont produites par une très-petite ouverture. Il faut cliercher les maxinm ou minima de lumière, pour chaque cas particulier, avec la première table et la formule donl j'ai déjà parlé. Lorsqu'on veut les déterminer dans l'ombre d'un corps étroit, les intégrales doivent être prises depuis t'in&ni négatif jusqu'à l'inSai positif, moins l'intervalle occupé par le corps. Lorsqu'on cherche les maxitmi et minifna de lumière produits par une petite ouverture, les limites de l'intégra lion sont les deux bords de celte ouverture,

12, Cette théorie rend compte de toutes les différences qu'on remarque entre la position des bandes obscures et brillantes, dans les diverses circonstances, et celle que Ton déduit de la première hv^othèse que j'avais adoptée,

Je ne parlerai ici que d'un cas remarquable par la simplicité de la loi du phénomène. Dans le second Mémoire que j'ai eu rhonneur de présenter à l'Académie sur la diffraction, j'ai observé que lorsquon produit des franges par l'interposition don diaphragme percé d'une ouverture très-étroite, rintervalle compris entre les milieux des bandes obscures du i^ ordre varie depuis une jusqu'à deux largeurs de franges. On ne peut pas approcher beaucoup de la première limite, que j'ai indiquée par induction, et non d'après des observations directes. On approche davantage de la seconde, en diminuant l'ouverture du diaphragme et l'éloignant sufTisamment du point lumineux. Mais on latleint complètement avec une ouverture bien moins étroite en plaçant

"âne lentille contre le diaphragme et en observant les franges à son foyer. Alors l'intervalle compris entre les deux bandes obscnres du t"^ ordre est toujours le double des autres intervalles compris entre deux bandes consécutives, quelle que soit la distance du diaphragme au point lumineux. Cette expérience, qui m'avait été indiquée par la théorie, m'en paraît une confirmation frappante,

13, Je terminerai cette note en faisant observer qu'il résulte aussi de la théorie que je viens d'exposer que la lumière qui se répand dans l'ombre des corps doit décroître rapidement à mesure qne les rayons s'éloignent de la tangente, et d'une manière graduelle, sans ces tnaxinia et minima d'intensité qui forment des franges, toutes les fois du moins que le corps opaque est assez large pour qu'un point quelconque, pris dans Tintérieur de son ombre, ne puisse pas recevoir de lumière sensible des deux côtés à la fois. On peut s'en convaincre aisément avec la table ci-dessus» en retranchant - de chacun des nombres correspondants des intégrales /(/z cos ( ^^^ M ^ifdz sîn ( - trz^ J , et faisant la somme de leurs carrés, ce qni donne Fifitensité de la lu^ mière répandue dans l'ombre aux points qui correspondent à chaque valeur de z.

Paris, le 19 avril 1818.

A. FRESNEL