oi

0 ,5oo

1 ,oo3

5* si^iE,

1 ,oi8

6* séBIB.

o",ii7

6",oo7

N XIV

N' XIV. On voit donc que Thypothèse dç condensations et dUatations pro*

duites par l'action des corps sûr les rayons lumineux est insuffisante pour expliquer les phénomènes de la diffraction. A Taide dû principe des inlerférences, au contraire, on peut concevoir non-seu* leinent les variations de largeur que les franges extérieures éprouvent lorsqu'on rapproche ou qu'on éloigne l'écran du point lumineux, mais encore la marche curviligne de leurs bandes obscures et brillantes. La loi des interférences, ou de l'influence mutuelle des rayonê lumineux, est une conséquence immédiate du système des ondes; d*aî{^ leui*s elle est démontrée ou conGrmée par tant d'expériences diverses, que c'est actuellement un des principes de l'optique les plus incontestables.

17. Grimaldi a reconnu le premier l'action que les rayons lumineux exercent les uns sur les autres. Dans ces derniers temps, le cél^re docteur Thomas Young a prouvé, par une expérience simple et ingénieuse, que les franges intérieures résultent de la rencontre àei rayons infléchis de chaque côté du corps opaque, en interceptant avec un écran un des deux faisceaux lumineux; ce qui fiait toujours évanouir complètement les franges intérieures, quelles que soient la forme, la masse et la nature de l'écran, et soit qu'on intercepte le faisceau lumineux avant ou après son immersion dans l'ombre.

18. On produit des franges plus vives et plus tranchées, en faisant, dans un carton ou une feuille métallique, deux fentes parallèles trèsfines et suffisamment rapprochées, et plaçant cet écran ainsi percé devant un point lumineux; alors, si on en observe l'ombre avec une loupe placée entre le corps opaque et l'œil, on voit un grand nombre de franges colorées bien distinctes, lorsque la lumière arrive par les deux ouvertures à la fois, et qui disparaissent dès que la lumière d'une des fentes est interceptée.

19. Quand on fait concourir sous un très-petit angle deux faisceaux lumineux , provenant toujours d'une source commune et régulièrement réfléchis par deux miroirs métalliques, on obtient encore des franges semblables, et dont les couleurs sont même plus pures et plus bril-

tanteB, Pour les produire, U faut avoir grand soin que dans Tendroil i\'" XIV\ Lôù se touchent les deux miroirs, ou du moins dans une partie des lârÉ^ti^s en contact, la surface de Tun ne dépasse pas sensiblement celle [de rautre, afm que la diOc^rence des chemins parcourus soit très-petite 'ponr les layons rénéchis qui se réunissent sur la portion commune dfs deux champs lumineux '^L Je remarquerai en passant que la théorip tseule des intcrféiences pouvait donner Tidée de cette expérience, et jqu une telle expérience exigeait des précautions assez délicates et des {t4toniieraents assez longs pour qu1l tût presque^ impossible que le hasard y conduisit.

, Si Ton enlève un des miroirs, ou qu'on intercepte la lumière (ju'ii 'réflécliit, soit avant, soil après la rédexion, on fait disparaîtie les franges, comme dans les ras précédenls. Ce qui prouve bien encore [ue ces franges sont produites ppr le concours des deux faisceaux lumineux, cl non par Faction des bords des miroirs, c'est qu'elles sont toujours perpendiculaires à la ligne qui joint les deux images du point lumineux, quelle que soit son inclinaison par rapport à ces bords, du moins dans létendue du champ counnun des deux faisceaux régulièment réfléchis ^'^^

20. Les franges qu'on observe dans rintérieur de Tombie d'un Borps étroit, ou celles qu'on obtient avec deux miroirs, résultant évi-

*'^ Dans lu lumière hlaocbe, et même

dans une lumière oiissi hamogènc que posaibfe. on n'aperçoîl jamais qu*un nombre de franges smet limité n parce que, la himièt'e nrv énue au plus grand degré de Biniplicilë [non ]>uisse aïteindi-e sans en diminuer trap rinlL'nsilé, élant encore composée de rayon» liéti^rogèncsi, les bandes obscures el brilhïiim qu'il a produisent , el qui tiont pas Im ni^me largeur, empiètent les unes iur les uli^ è mesure qu'elles s*^]oignent Je celles

du i" ordre » et finissent par s^elTacer complètement; c^est pourquoi Ton n'aperçoit plus tic franges dès que la dîfiérence des ehenïins parcounis devient un peu sensible. On peiû consulter, sur les dt^taib de cette expérience? et de son explication par le principe des interférences , rarliclesur la lumière du Supplément h la traduction Française de la Chimie de Tbonjson , que nous avons déjà cité ^*\

f*^ Lorsque les franges se prolongent mi delà, leurs parties extérieures résultant do

f« Voveiî*i*XXXÎ.

IV* XIV. demmeot de l'influence mutuelle des rayons lumineux, Tanalogie indique qu'il doit en être de même pour les franges extëriettres qui bordent les ombres des corps éclairés par un point lumineux. La première hypothèse qui se présente à la pensée, c'est qu'ellea sont produites par la rencontre des rayons directs et des rayom réfléchis sur les bords du corps opaque, tandis que les firangea inté» Heures résultent de l'action réciproque des rayons infléchis dans l'ombre, des deux côtés du corps opaque, ces rayons infléchis partant également de sa surface, ou de points infiniment voisnia. Telle parait être l'opinion de M. Young, et c'est aussi celle que j avais adoptée d'abord, avant qu'un examen plus approfondi des phénomènes m'en eût fait reconnaître l'inexactitude. Je vais néanmoins la suivre dans ses conséquences, et rappeler les formules que j'en avais déduites, pour faciliter la comparaison de cett^ théorie avec celle que je hii ai substituée.

Soit R le point radieux, A A' le corps opaque, FT le carton blanc sur lequel on reçoit son ombre, ou le plan focal de la loupe avec laquelle on observe les franges. RT et RT' sont les rayons tangents ao bord du corps opaque, et T et T' les limites de l'ombre géométrique. Je représente par a ia distance RR du point lumineux au corps opaque, par b la distance BG de ce corps au carton, et par c sa largeur A A', que je suppose assez petite relativement aux distances a et 6, pour qu'on puisse indifféremment mesurer la largeur des franges dans un plan perpendiculaire à RT ou à la ligne RC qui passe par le milieu de l'ombre.

Cela posé, occupons-nous d'abord des franges extérieures. Soit F

concours des rayons régulièrement réfléchis par un des miroirs et des rayons infléchis près du bord de l'autre , leur direction doit Atre différente. En observant le phénomène

avec attention, on voit que, dans un cas comme dans l'autre , la forme et la position des franges sont toujours d'accord avec la théorie des interférences.

point pris sur le carton en dehors de i ombre : la iliBérence dm chemins parcourus par les rayous directs et les rayons rélléchis sur le bord du corps opaf|ue qui concourent en ce point est RA + AF — RF. .Représentant FT par x, réduisant eu séries les valeurs de HF, r\ll et fAF, en négligeant tous les termes multipliés pai' une puissance de .£ ou de c plus élevée que le carré, à cause de la petitesse de ces quantités par rapport aux distances a et 6, les termes qui contiennent c s^ détruisent mutuellement, et Fou trouve, pour la dilFérenre des rhe^ inins parcourus,

loù Ton tire

ih[a^b]

H 21. SI Ion représente par X là longueur dune onde lumineux, c est-à-dire, Imtervallc compris entre deux poinL*^ de Té t lier où les mêmes oscillations s'exécutent simultanément et dans le même sens, ^ X sera rinlervalle compris entre les molécules éthérées dont les vitesses sont aussi pareilles au même instant, mais dirigées en mm contraires. Ainsi deux systèmes d*ondes séparés par un intervalle égal à A saccorderont parfaitement ilans leurs vibrations; ils se conti^arieronl complètement lorsque Hntervalle des points eorrespondanta sei a égal a -X- En eonséquence, d'après la formule ci-dessus, la vatpui'

Bde X q«î correspond au point le plus sombre de la bande obscure du 1^ ordre devrait être

'IMais il résulte au contraire de Tobservation <|ue c'est à peu près lendroit le plus brillant de la première frange. D'après la même théorie, le bord de Tombre géométrique où la dillérence des cbemins par^ courus est nulle devrait être plus brillant que le reste de la frange, c'est précisément le point le plus sombre en dehors de l'ombre géonétrique. En général, la position des bandes obscures et brillantes iéduite de cette formule est pres([ue exactement inverse de celle que

N' XIV

272 THEOllIE DE LA LDMIKKK. — PREMtÈHE SECTION.

N* XIV. Honne Inexpérience* C'est là la première rlilficuité que [irésonte celle liji'^orie. Pour la lever, il faut suppofier que les rayniis ré(î*5chiî? sur le hard (le Técrari ^ prou veut un retard d'une demiKjndulation; alors on doit ajouter -X k la dilTéience d des cheniins pairuurus, et la forriiule fj^néraie devient

■>}fr{«l-h&)

En substituant successivement à la piate de d dans cette formule, -X, - X, -X, ^X, etc. on a, pour les valeurs de x qui r/*pondefit au\ bandes obscures du i*'' ordre, du 3% iu 3% du 4*, etc.

Ces formules parai^st?nt s'accorder assez bien avec Tobservation; cependant cm recoiniaît pai' des mesures irécises que les rapjHïrt» qu'elles «établissent entre les largeurs des franges ne sont jias tout à fait exacte, comme nous le verrons bientôt.

22* Je pasae maintenant aux franges intérieures formées dans Tombre par le concours îles deux faisceaux lumineux inflécbis en A et A.

Soit M un poifit quelconque pris dans Tintérieur de Tombre : fintensité de la lumière en ce point dépend du degré d'accord ou de discordance entre les vibrations des rayons AM et ATVi qui s'y réunissent, ou de la différence des chemins parcourus A'M — AM. Je représente par X la distance MC du point M au milieu de l'ombre, et par d la différence entre les chemins parcourus, et je trouve

où, développant les radicaux en séries, et négligeant les puissances

supérieures de a;, à cause de la petitesse de cette quantité par rapport

à 6, on a

I ex

d'où

bd x= —

MÉMOIRK COURONNÉ SUR LA DIFFRACTION. 273

En substituant successivenienl à )a place de d dans cette formule, i^Xy -X, -A, ^A, etc, on a, pour les valeurs de ,r qui répondent mx bandes obscures du 1"=^ ordre, du a% du 3% du û% etc.

N^ un.

it, par conséquent, pour rintervalle compris entre les milieux de deux

bandes obscures consécutives, — •

L'expression générale d'un nombre n quelconque de ces intervalles

.1 nbX

est donc

23, Tant que les bandes extrêmes sont suffisamment éloignées des bords de Tombre, cette formule s'accorde assez bien avec lobservation; mais lorsqu'elles s'en approchent beaucoup, ou les dépassent, on reconnaît une petite différence entre lear position réelle et celle qui se déduit de la formule. En général ce calcul donne toujours des largeui^s un peu plus grandes que Tobservation, J en ferai voir la raison en exposant la véritable théorie de la diffraction-

Il résulte aussi de cette formule que la largeur des franges intérieures devrait être entièrement indépendante de la distance a du point lumineux au corps opaque; mais celte loi n'est pas parfaitement d'accord avec rexpérience, surtout lorsque les franges occupent toute la largeur de l'ombre; alors leur position varie sensiblement avec la dis-

tance a.

|2â. D'après la formule ::

si

!inkh{u-^h]

ique nous venons de trouver pour les franges extérieures, leur position dépend de a aussi bien que de A* L'expérience démontre en effet que leur largeur augmente ou diminue selon que le corps opaque est plus bu moins rapproché du point lumineux, et les rapports entre les différentes largeurs d'une même frange, déduits de !a formule, sont précisément ceux que donne robservation. Mais la conséquence la plus remarquable de cette formule, c'est que» a restant constant, la distance -de la bande obscure ou brillante que Ion considère au bord de rambre

N* KIV. géométrique, n'est [im proportioimellft à b, comme pour h^ franges int^Srieures; de sorte que eettc bande ne parcourt poiul, romme cellesci, une ligne droite, niaiâ une hyperbole dont la courbure doit être sensible* C'est aussi ce que l'expérience confirme, ainsi quon Ta vu par les observations rapportées plus baut

En considérant laccord frappant de ces formules avec rexpérieDce, il était naturel de les regarder comme Texpression fidèle de la loi des phénomènes, et d attribuer les petites diiFérences entre le calcul et les observations aux inexactitudes inséparables de mesures aussi débcates^^^ Mais foi'squon examine a ivement l'hypothèse sur laquelle

f** Il paraîtrait an premier abord qti'on poiuTail adaplar cette théarit; uu s v9 tente de J'émissioti , en y lotrodubant le principe des îflteHiïrences , comiue je Tai indiqn»^ plus liaat. Mais , outre la coraplî cation des liypothèses fondameataKe§ et ie peu de prob^bilité de que)ques*unes , ce principe conduirail. ce me semble , è dea conséquences contrai j'eâ ati système de l'émisaion.

M. Arogo a remarqué que rinterposition d'uue tame mince Iransparente sur les bords d'un corps opaque asséï étroit poui' produire des franges dans Tint Prieur de son ombre déplaçait cea franges et les portait du côt^ de Tëcran transparent ^'\ Or il résulte de ce phénomène, en adoptant le principe des interférences, que les rayons qui ont traversé la lame ont été retardés dans leur marche, puisque les mêmes franges, dans tous les cas, doivent répondre à des intervalles ^ux entre les instants d'arrivée des rayons. Cette conséquence, qui confirme si bien le système des ondulations, est en opposition manifeste avec celui de rémission, où l'on est obligé d'admettre que la lumière marche plus vite dans les

arjw denses que dans le* milieux roren. On no peat éviter celle objecUon qu en

ib«ti tuant la dilTérence des accès d^ mo- ■ seules iuiubeuives à leur différence de

larcbe ; mais on perdrait oinsi tous tes avtntages du prbcipe des interfëreiiees, en rempkçâDt une idée nette par une idée vagae . une explication satisfaisante par ime aulre iiui ne facilite pas rintellîgenoe des pJ»éno-

lèues- Car on conçoit bien C43inm**nt deiL\ molécules lumineuse qui vienoenl frappet le même point de la rétine pixKluisejit de£< sensations pins ou moins vives, selon Tintervalle de temps qui sépare ces deujt chocs consécutifs, en raison des accords oa des discordances qui en résulteat^ntre les T3)rations qu'ils tendent à produire dans le nerf optique; tandis qu'on ne voit pas aussi clairement, à beaucbup près, ce qui peut résulter de la différence d'accès des deux molécules lominefases , et <X)iiimait , en frappant simultanément le nerf optique, eHes ne produisent plus aucun effet dès qu'elles sont dans des accès contraires, quoique! y ait d'aâleurs un accord parfait entre leurs chocs mécaniques.

'') Voyei n* VI.

'mémoire couronné sur la diffraction.

rfelîës reposent* et qu'on lu suit dans ses conséquences, on reconnaît

qu'elle est en contradiction avec les l'aibs.

25, Si les franges qui bordent les ombres résultaient effectivement |du concours des rayons directs et des rayons réfléchis sur le bord de [Técran, leur intensité dépendrait nécessairement de rétendue et de [la courbure de sa surface, et les franges produites par le dos d'un Wmoir, par exemple, devraient être beaucoup plus apparentes que

celles qui partent du fil; or, quand on les observe avec une loupe, à

Iune distance de quelques centimètres seulement, on n'aperçoit entre elles aucune différence sensible d mtensité. Pour faciliter cette comparaison, on peut se servir d'une plaque dacier qui présente à la fois iur le même bord une partie arrondie et une partie tranchante, dont [es arêtes extrêmes soient sur le prolongement l'une de fautre* Alors on pourra s assurer aisément que les franges ont la même intensité dans toute leur étendue.

B *Hj. On sait que, sous des incidences très-obliques, des surfaces mates réfléchissent presque aussi bien la lumière que les miroii-s les

Inneux polis; la raison en est facile à donner dans le système de Témisiion et dans celui des ondtdations **l Mais, si Ton conçoit que de grandes obliquités doivent faire disparaître la différence de poli, on ne voit pas comment l'intensité de la lumière réfléchie pourrait devenir indépendante du degré de courbure de le surface réfléchissante^ car il est clair que plus son rayon de courbure sera petit, et plus les

N" XIV

^*^ Le paragraphe 36 ee terminait primitivement ainsi :

Va». Mais, si Ton conçoit que de grandes obliqtiités doîvetit faire disparaître im

iifférences de poli, on ne voit pas comment la quantité de lumière réfléchie pour-

^fail être indépendante de Tétenduede la surface réfléchissanle; et de quelque façon

|uoîi suppose que s opère cette réflexion dans le pliénomèoe de la dinraction, il

st évident que la quantité de lumière envoyée par le bord du corps qui porte

ombre, dans un point quelconque de fespace éclairé, dépend de retendue et do

^là forme de sa surface,

N* XIV. rayons rénéchis devront diverger, quelle que soit (J'ailleors leur oblî^ qui té relativement à la surface.

27. Je me suis encore assuré, par une autre expérience bien simple,

de Finexactitude de Thypothèse que j avais adoptée d'abord, et que je

combats actuellemenL Ayant découpé une feuille de cuivre dans la

forme repréii^entéc par la figure a , je la plaçai devant un point lumi-

^ neux, à quatre mètres de distance environ,

j^ „ dans une chambre obscure, et j*examinai son

'^''''^'''^ ombre avec une loupe. Or» voici ce que j ob»er-

q y ii: i,j n n vai, en m'en éloignant graduellement. Lorsque

i , les larges franges produites par chacune des

ouvertures très-étroites CEE'C et DFFD' étaient sorties, en se dilatant, de i ombre géométrique de CDFE, qui ne recevait plus alors qu'une lumière sensiblement blanche de chaque fente en particulier, les franges intérieures provenant de la rencontre des deux faisceaux de lumière présentaient des couleurs beaucoup plus vives et plus pures que celles des franges intérieures de Tombre de ABDG, et avaient en même temps plus d'éclat. En m'éloignant davantage, je voyais ia lumière diminuer dans toute l'étendue de Tombre de ABFE, mais plus rapidement derrière EFDC que dans ia partie supérieure; en sorte qu il y avait un instant où l'intensité de la lumière paraissait la même de haut en bas, après lequel les franges devenaient plus obscures dans la partie inférieure ^'^ quoique leurs couleurs fussent toujours beaucoup plus pures.

S'il ny avait de lumière infléchie que celle qui a rasé, les bords mêmes du corps opaque, les franges de la partie supérieure devraient être plus nettes que celles de la partie inférieure, et présenter des couleurs plus pures, car les premières proviendraient du concours de deux

^'' Pour qae cette différence d^obscorité valle qui les sépare, et qae ia feaille de

entre les deux parties de Tombre puisse être cuivre soit suffisanunent âoignée du point

bien prononcée, il faut que les fentes CE et lumineux. DF soient très-étroites par rapport à l*intei^

^sternes d ondes ayant leurs centres sur les deux côtés AC et BD, tan- N" XIV. dis que les autres seraient formées [jar le concours de quatre systèmes d ondes ayant leurs centres sur les bords CE , GE^ DF, DF'; ce qui diminuerait nécessairement la différence dïuteusité des bandes obscures et brillantes dans la lumière bomogène, ou la pureté des couleurs dans la lumtèj e blanche, puisque les franges produites par les rayons réfléchis et infléchis sur CK et DF ne coïncideraient pas parfaitement avec les qui proviendraient du concours des rayons partis de CE et de

rtïT' : or, comme je viens de le dire» Texpérience présente le contraire. On pourrait expliquer, dans la même hypothèse, comment il se fait que lombre de ECDF est mieux éclairée que celle de ABDC, par la double source de lumière que fournissent les deux bords de chaque fente; mais il résulterait de cetle explication même que !a partie inférieure devrait toujours conserver sa supériorité d'éclat, et nous venons de voir qu il n'en est pas ainsi,

28, Il résulte des expériencas que je viens de rapporter, qu'on ne peut pas attribuer les phénomènes de la dlffraclion aux seuls rayons qui touchent les bords des corps, et quil faut admettre qu'une infîntté d'autres rayons séparés de ces corps par des intervalles sensibles se trouvent néanmoins écartés de leur première direction, et concourent aussi à la formatioTi des franges,

29, La dilatation qu'éprouve un faisceau lumineux en passant par une ouverture très-étroite démontre, d'une manière encore plus directe, que rinflexion de la lumière s'étend à une distance sensible iles bords du diaphragme. C'est en réfléchissant sur ce phénomène que j'ai reconnu Terreur dans laquelle j*élais tombé d'abord. Lorsqu'on rapproche beaucoup Tune de l'autre deux lames opaques placées devanl un point lumineux dans une chambre obscure, on voit l'espace éclairé par i'ouverture qui les sépare s*élargir considérablement. Ce sont les deux couteaux de Newton. Je suppose que, comme dans son expérience^ les bords de louverture soient tranchants et parfaitement affilés : non que cela influe sur le phénomène, mais seulement pour rendre plus évidente la conséquence qu on doit en tirer. La petite quantité

278 THÉORIE DE LA LUMIEBE. — PREMIEKB ^..^.

N® XIV. <Ie fiiyoïis (jui ont louche les tranehants, étant répandue dans uv e^ijac*» aussi étendu, ne pourrait produire qu'une lumière tnfH^nsilile^ ou du moins exlrêmi^ment faible, et au milieu de laquelle on devrait distinguer une hande brillante tracée par le pinccati des rayons directs. Il n*en est \\m ainsi cependant, et la teinte blanche paraît d'une inten-

sité à peu prèg uniforme dans un espace beaucoup plus grand que ia projection de Fouverture^'^; elle s'afîaibtit ensuite, mais par degrés juîiqu*aux bandes obscures du i"" ordre, Cétait sans doute pour rendn raison de la quantité considérable de lumière infléchie que Newto avait suppfKsé que Faction des coq)s sur les rayons lumineux s'éteti dait a des distances trés-sensibles. Mais cptte hypothèse ne peut sou tenir un examen approfondi,

30. Si la dilatation d'un faisceau lumineux qui passe à travers une=^ ouverture étroite était occasionnée par des forces attractives ou répulsives émauaul des bords de rouverture, l'intensité de ces forces et, par conséquent, leur action sur la lumière devraient varier nécessmrrpnmê avec la nature, la masse et la surface des bords de Técran, Ton le force?^^pnifiuite par un corps, qui agit à une distance sensible, prenant s«»

source dans une étendue sensible de sa niasse ou de sa surface, dé ^

pend des positions relatives et de la quantité de particules que le corp==^ ^^*s préseîite dans cette sphère d'aclivlté, ou, ce qui revient au même, d^ ^^e la forme de sa surface. Si donc le phénomène dont il s*agit provenait ^ de Faction de pareilles forces, on devrait, en opposant un corps ar— londl à un tranchant, voir les rayons lumineux s'InBéchir plus duo côté cpie de Fautre : or cesl ce qui n'a pas lieu, comme je m'en suis assuré par une expérience fort simple. J'ai fait passer un faisceau lumineux entre deux plaques d'acier très-rapprochées, dont les bords verticaux, bien dressés sur toute leur longueur, étaient tranchants

<*) L'espace édairé est d*autaût plus grand même plus ëloignë du point Imnineoi; de

par rapport à la projection conique de l'ou- telle sorte qn*en augmentant safiSsamment

verture qu'on âoigne davantage du dia- ces deux distances on pourrait obtenir le

phragme le carton blanc sur lequel on reçoit même effet avec une ouverture d'une lar-

son ombre, et que ce diaphragme est lui- geur quelconque.

, et disposés de telle

dans une partie et arrondis dans une antre, et disposés fie telle sort que le bortl arrondi d'une des plaques répondait au tranchant de l'autre, et réciproquement. 11 en résultait (jue le tranchant, se trouvant à droite, par exemple, dans la partie supérieure de Touverture, ^tait à gauche dans sa partie inférieure. Par conséquent, pour peu que la dillérence d'action des deux bords eftt porté les rayons plus d'un côté que de l'autre, je m'en serais aperçu aux positions relatives des parties supérieure et inférieure de fintervaile clair du milieu, et surtout à celles des franges qui l'accompagnent, qui se seraient brisées vis-à-vis du point de passage des tranchants aux bords arrondis. Mais, en les observant attentivement^ j\ii remar([ué qu'elles étaient parfaitement droites sur toute leur longueur, ainsi que l'intervalle brillant du milieu, comme lorsque les deux plaques étaient disposées de façon que les bords de môme forme fussent opposés fun à rautre. On pourrait varier cette expérience en composant ces plaques de deux parties de natures différentes, et Ion obtiendrait certainement le môme résultat ^*l

3K Toutes les observations que j'ai faites jus([u*à présent m'ont démontré que la îiature des corps interposés n'avait pas plus d'infltience que leur masse et la forme de leurs bords sur rinllexion des rayons lumineux* Je n'en citerai qu'une, dans laquelle j'ai pris toutes les précautions nécessaires pour me bien assurer de l'exactitude de ce principe, qui d'ailleurs serait déjà suffisamment établi par Texpérience précédentelai recouvert une glace non étaraée d'une couche d'encre de Chine unie à une feuille mince de papier^ formant ensemble une épaisseur dun dixième de milhmètre. Avec la pointe d'un inslrumenl trancbant

*'* MM, Berlhollet et Malus avaient recooDu ' depiib longtemps que la naliire des corps Dû auciiae influence siu* h dilTraction de la ïfinuère, en employanl pour écran des ptique^ ainsi composées de matièref diftiiW notes, et qui pré$enUiieiit sur le mètue bord

un Kl étal irésHjense . par exemple, à la suite d'un morceau d'ivoire : mais ils n'avaient pas un moyen d obsenalion ausôi commode et au«8i précis que celui dont je me suis servi, de sorte qu'on pouvait craindre que de petites différences leur eussent échapp4^.

280 7 LA LUMIÈRE, — PREMlEtun ^^

XIV. j'ai In ^ is parallèles, et j aï enlevé soigneusement, entre

cm d( traits, le papier et l'encre de Chine qui adhéraient à ia surface du verre. Cette ouverture, mesnrée au micromètre» avait i"'", 17. Tai placé Tun contre l'autre deux cylindres de cuivre de i6""',5 de diamètre, et, en introduisant entre eux une lame graduée, en forme de coin, je les ai écartés jusqu'à ce que rintervalle qui les eéparait eût aussi î'^*,i7 de largeur. Ces cylindres, posés à côté de la giace noircie, étaient à ii^,oi5 du point )umiueu3t, et à i",663 du micromètre : j'ai mesuré la largeur des franges produites par ces deux ouverlun's, et j ai trouvé qu elle était absolument ia même- Voici les résultats de ces deux observations, qui ont été faites dans ta lumière blanche.

Intervalle entre les points les plus «ombres f '^ ot>servat]tin. , , , t""»^^

des deux bandes obscnres du 1" ordre à 1/

si^parntjori du rouge bistre et du violet , t* observation. , . , 1 ,4^

lotenralle entre les lixntlés des deux fr i" observation. , . , 3"*, a»

du second ordrfj à la séparation du rouge |

el du vert. ( a' observation. , , , 3 »«*

Il est difficile que les circonstances soient pjus différentes quant à la masse et a la nature des bords de l'ouverture. Dans un cas , ce n'est qu une couche d'encre de Chine qui produit les franges, pui^qne la glace à laquelle elle est unie remplit aussi rouverture; dans lautre, ce sont deux cylindres de cuivre massif de i4"",5 de diamètre, et qui présentent ainsi, sur les bords de l'ouverture, des masses et des surfaces considérables. On voit cependant qu'il n'y a pas de différence dans la dilatation du faisceau lumineux.

32. (^)I1 est donc certain que les phénomènes de la diffi*actioil ae dépendent point de la nature, de la masse ou de la forme des corps

^*' Le paragraphe Sa était primitivemont rédigé ainsi :

Var. n est donc certain que les phénomènes de la diffraction ne dépendent point de la nature, de la masse ou de la forme des corps qui interceptant la

'mémoire couronné sur la diffraction* 181

qui interceptent la lumière **^ mais seulement des dimensions de Fespace dans lequel elle est interceptée, ou de k largeur de louverture par laquelle elle est introduite. On doit, en conséquence, rejeter riiypothèse qui attribuerait ces phénomènes à des forces attractives ou répulsives, dont Taction s'étendrait à une distance des corps aussi sensible que celle à laquelle les ï^ayons peuvent être infléchis : on ne peut pas admettre davantage que la diffraction est occasionnée par de petites atmosplières de la même étendue que la sphère d activité de

**^ Du moim tanl qu on ne reçoit pas Tombre trop près du bord de récraa, ou (jue lo surface t&sée par les rayons lumineux n'a paa trop d'«^ tendue relativement à celte dUUnce; car il pourrait se faire, dans ce cas, tpie les rayons rëfli^his eussent une mflueice sensible sur i 'aspect du pbénoinèDet GOmme cela arrive lorsque la surface

rasëe par les rayons lumiDeux est celle d'un miroir pian d'un ou de deux décimètre de

iargeur, par exemple, et qu'on en observe les franges h une petite distance, D ailleurs Û y aurait alors des difiraciion$ ëuecestmcs sur une étendue trop considérable pour qu'on put en faire abstraction.

N« XÎV.

lumière ^*K niais seulement de Téteodue de l'espace dans lequel elle est interceptée, ou de rouverture par laquelle elle est introduite. On doit en conséquence rejeter Thypothèi^e qui attribuerait ces phénomènes à des forces attractives ou répulsives ^'étendant à une distance sensible de la surface des corps* D*un autre côté, il n est pas possible de concevoir aubement, dans le système de rémission, la dilatation d*un faisceau lumineux passant par une ouverture étroite, et cette dilatation est parfaitement démontrée. H en résulte donc que les phénomènes de la difTractioti fiont LDexpIicables dans le système de rémission.

^^ Lorsque la anrface du corps rase par les nyoiti« lumineui est aaaei étendue , il peirl a priver oe|?eadant que la luQiièrt< réjiutjtl^rpinciit réflédiie ait uoe ifl0Ljen€« sensible dans h phén amène. Si Ton se sert^ par eieraple^ d'aune giace d'un ou deux dédmètrei de lai^ur» et qu'on rindine Wiicoiiptde manière «pie sa surfaciï soit pti'squ^ tonjour» parallèle aux rapns încidenljf alors on voit un nouveau a^fstéme de peUtf>« bandea o\»curei et briHaiiles se mêler a*ec les frangin ordinaire» produite* par Paréte du miroir* Os oouvdie» franges, beautotip ptua ntes que ka

premières, proviennent évidemment du concoui^ des rayons directs avec les rayons r^ulièpement réfléchis par le miroir, qui ont alors parcouru un rhcmnn trè&-peu différenl.

Quand on otisérve les franges trè$*près de îeur origine* h forme et l'étendue du corps opaque doivent influer inr leurintc*nsîlé et leur position* lors même que c'^l un cylindre d'un Irès-pelit rayon ^ p«rce qtie l^inlentîté de la lumière réfléchie par un miroir convexe augmente rapidement à mesure que ta dittanee à laquelle on k reçoit diminne.

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dans h système des ondulations, sans le secours d'aucune hypothèse ^coûdaire, et en s'appuyant seuiement sur le principe d'Huygfaens et sur celui des interférences, qui sont l'un et Taiitre des conséquences de Thypothèse fondamentale*

En admettant que la lumière consiste dans des vibrations de Téther, semblables à celle» des ondes sonores, il est aisé de se rendre raison de Tinflexion des rayons lumineux à des distances sensibles de l'écran ^\

N« XIV

^'^ C'est ici que commença TExtrail publié dens les Anuales de chiniie et de physique,

émi ii a été tjuesUori dam lu note de l'édileur placée tu commenceiiienl de ce Méruoii-e. Tout ce qui précède est remplace dans TExtrait par le passage luivant t

(T A vont d'etposer h théorie de la diffraction à laquerie j*ai été conduit par le syatème des *" ouddAtioDs , je crois devoîi* rappeler fe résultat de mes observalious qui me paraît le plus i^ditlicîle k coucdier avec l'bypothèse de I tknîâsion.

(tTous les phénoinèned de h diffraction s'accordent à démontrer que ïes rayons lumineux trqtii paseent auprès des corps ne sont pas iéutemcnt infléchis h leur BUiface même, mais freiicure à des distances Irèa-seusiblee de cette surface , et qui peuvent être d'autant plus cou- ««id^rables que le point luiuiueux est plus éloigné. Ainsi, par eîtempfe, s il est h une distiiace îïiufiniei comme une étoile, quelle que soit la largeur d'une ouverture par laquelle on fait '^ passer le faisceau lumineux, en s*en éloignant suflfisamiDent on le verra toujours se dilater «-et répandre une lumière à \m\ï pi'ès uniforme dans un espace beaucoup plus large que la ffprojectiûtï de Touverture, On a vu, dans les noies jointes au rapport de M. Arago. que cet reflet ne pouvait se concevoir qu'en supposant que les rayons s'inûéchiiëeoi à des distanças fftrèsHtensibles des bords de rouverturc, puisque, s'il u*y avait que ïes rayons qui ont mièé ses tbords qui éprouvassent cette inflexion » In quantité de lumière infléchie v beaucoup moindre -ttfit celle qu'on observe, ne présenterait qu'une teinte obscure sur laquelle se détacherait ••vivement la projection brillante de Touvertui-e formée par le pinceau des rayons directs,

tUtis ii les moléculee lumineuses sont dérangées de leur direction pnmitive par T influence f des corps en passant à des distances très-sensibles de leur surface, il faut supposer, d'après fîle systènie de rémission , que cet eflet est produit par des forces attractives et répulsives ^qni énâUent des corps, et dont la sphère d activité embrasse les mêmes intervalles, ou bien «^rattribner è de petites atmosphères aussi étendues que ces sphères d'activité, et dont le «pouvoir réfiringent différerait de celui du milieu environnant. Mais il résulterait également trde ces deux hypothèses que TinflexioD des rayotis varierait avec la forme ou la nature ffd^ bords de Touverture: or Ton peut s'assurer, par des expériences variées et des meffmr&B précisée, que ces circonstances n'exercent aucune înfUience appn^Able sur le phé-

38i THÉORIE DE LA LUMIÈRE. — PREMIÈRE SECTION.

N« XIV. En eflfet, quand une petite partie d*un fluide élastique a éfHrouvé une condensation, par exemple, die tend k se dUater dans toutes les directions; et si, dans une onde entière, les molécules ne se meuvent que parallèlement à la normale, cela tient k ce que toutes les parties de Tonde situées sur la même surface sphérique ^prouvent simultanément la même condensation ou dilatation, et qu'ainsi les pressons transversdes se font équdibre. Mais, dès qu'une portion de Tonde lumineuse se trouve interceptée ou retardée dans sa marche par Tin* terposition d un écran opaque ou transparent, on conçoit que cet équilibre transversal est détruit, et qu'il doit en résulter pour les diflërents points de Tonde la faculté d'envoyer des rayons suivant de nouvdleB directions.

n serait sans doute bien difficile de sliivre par Tanalyse mécanique toutes les modifications que Tonde lumineuse éprouve successivement depuis Tinstant où la rencontre de Técran en a intercepté une partie : aussi n'est-ce pas de cette manière que nous allons essayer de déter^ miner les lois de la diffraction. Nous ne chercherons pas k découvrir ce qui se passe dans le voisinage du corps opaque, où ces lois sont sans doute extrêmement compliquées, et où la forme des bords de Técran doit avoir encore une influence notable sur la position et Tintensité

(rnomèBe^*\ et que la dilatation du faisceau lumineux dépend uniquement de la largeur de irrouverture. Les phâioroènes de la diffraction sont donc inexplicables dans te système de (T rémission.

(rDans cdui des ondulations, au contraire, il est aisé de se rendre raison de Tinflexion ffdes rayons lumineux à des distances sensibles de Técran. En effet, quand une petite partie rrd'un fluide élastique a éprouvé une condensation , par exemple, die tend à se dilater, été.»

Le reste de TExtrait est une reproduction pure et simple du Mémoire, sauf une suppression qui sera indiquée en son lieu.

^*) Du moins, Uat qu*oa ne reçoit pas Tombre lorsque la surface rasée par les rayons Inmincux

trop près du bord de Técran, ou que la surface est celle d*un miroir suffisamment étendu, et

du corps opaque rasée par les rayons lumineux qu^on en observe les franges i une petite distance.

n*a pas trop d*étendue relativement à cette dis- D'ailleurs il y aurait des difiractioos

tance; car il pourrait se faire, dans ce cas, que sur une étendue trop considérable poor qa^on les rayons réfléchis eussent une influence sensible pût en (aire abstraction. surTaspect des phénomènes, comme cela arrire

'mémoire couronné sur la diffraction. 38S

des franges. Nous nous proposons de calculer les intensités relatives N* XÎV. des différents points de Tonde lumineuse seulement après quelle a dépassé Técran d'un grand nombre d'ondulations. Ainsi les positions de Tonde que nous considérerons seront toujours censées éloignées de l'écran d'une quantité très-considérable par rapport à la longueur d'une ondulation lumineuse.

3â, Nous n'envisagerons pas le problème des vibrations d'un fluide élastique sous le même point de vue que les géomètres l'ont fait ordinairement, c est-à-dire» en ne considérant qu'un seul ébranlement. Dans la nature, les vibrations ne sont jamais isolées; elles se répètent toujours un grand nombre de fois, comme on peut le remarquer dans les oscillations d'un pendule ou les vibrations des corps sonores* Nous supposerons que les vibrations des particules lumineuses s'exécutent de la même manière, en se succédant régulièrement par séries nombreuses; liypothèse où nous conduit l'analogie, et qui d'ailleurs paraît une conséquence des forces qui tiennent les molécules des corps en équilibre. Pour concevoir une succession nombreuse d'oscillations à peu près égales de la même particule éclairante, il suffit de supposer que sa densité est beaucoup plus grande que celle du fluide dans lequel elle oscille. Cest ce qu'on devait déjà conclure de la régularité des mouvements planétaires au travers de ce même fluide, qui remplit les espaces célestes. 11 est très-probable aussi que le nerf optique n'est ébranlé, de manière à produire la sensation de la vision, qu'après un certain nombre de chocs successifs.

Quelque étendus qu'on suppose tous les systèmes d'ondes lumineuses, il est clair ipi'ils ont des limites, et qu*en envisageant leurs interférences on ne peut pas dire de leurs extrémités ce qui est vrai pour Fespace dans lequel ils se superposent. Ainsi, par exemple, deux systèmes d ondes d'égale longueur et de même intensité, différant dans leur marche dune demi-ondulation, ne se détruisent mutuellement que dans les points de Téther oh ils se rencontrent, et les deux j demi-ondes extrêmes échappent à Finterférence.

Nous supposerons néanmoins que les systèmes d'ondes éprouvent la

Ml THÊOHfË DE LA LUMIÈRE. — PREMIÈRE SECTION,

N'' XfV. même modification dans toute leur étendue, la différence entre cette hypothèse et la réalité devant être inappréciable pour nos sens; ou, ce ffui revient au même, nous considérerons ces séries d'ondulations lumineuses comme indéfinies et comme des vibrations généraiee de Téther, clanB le calcul de leurs interféreBces»

SOLtJfiaiV DU PAOBLÈIIË ÙU lIlTBAmE3SClâ.

35* Einnt données kê inlêmiiéB et les pomtiùm rêlatms ctun nanére q^iekmtfus de sif sternes êmide$ luminmmm de même tof^nmir^^\ et qui ëBprù* pagmt miimnt la métne direciion^ déterminer tintmsité dei vihtaiions rësui^ ] tant du mmouTH de cen différents systèmes imdds, tmt-à*dxrt, la vitmÊ$^ mciltatoire des molécuhn éthérées ^^K

D'après le principe général de la coexistence des petits mouvements^ la vitesse totale imprimée à une molécule quelconque du fluide est égale à la somme des vitesses que Tonde de chaque système lui aurait imprimée séparément. Comme ces ondes ne coïncident pas, ces différentes vitesses ne dépendent pos seulement de rintensilé de chaque onde, mais encore de sa position par rapport à la molécule, dans 1 instant que Ton considère. Il faut donc connaître la loi suivant laquelle les vitesses d oscillation varient dans la même onde, et, pour

'^^ Nous ne nona occuperons pai des iii« je^ seratl îii tînt ment trop rapide p<mr être terTéreocaa des ondae lumineuâes de bugueurs différentes, qu on doit considérer eD gënérd comme émanant de acurces différentes, fît qiiif n étant pas en conséquence anqaities h la simultanéité^ dans leurs perttuliatîoiia, ne eauroienl présenter des effets conitants p«r leur influence mutuelle. D'ailleurs, on supposant m^e que ces effets fussent constants, la succession r<^guHère de renforceraeats et d'aj Faiblisse menti de vibration tjui ï-éfiui tarait des interférences des deui espèces d^onde» , et que l'on peut exactement comparer aux battements que font entendre deux »oni» discordants; cette succession^ dis-

appréciable, et n€ prDdniratt qu une seoMtion continue,

^'' C'est M. Thomas Voun(( qui le pn^ mier a introduit le principe des int^éreucei en optique, où il en a fait beaucoup d'appiicalione ingénieuses* Mais, dâus les problèmes d optique qu'il a r^lus de cette manière il n'a considéra, je crois, que I» cas extrêmes d'accord ou de discordance complète entre deux syptème» d'ondei) , sans ealcider Tinten^^ité de la lujiuère pour les cas inteiiiiédiûires et pour un nombre quelconque de systèmes d ondes , comme je me propose de le faire ici.

MEMOIRE COUaONNE SUR LA DIFFRACTION. 287

[eda, remonter à la cause qui la produite et dont elle tient tous ses caractères.

36* H est naturel de supposer que les vthratioiis des particules éclairantes qui produisent la lumière s'exécutent conmie celles des corps sonores, c est-à-dire, suivant les mômes lois que les petites oscillations dun pendule, ou, ce qui revient au même, que la force accélératrice qui tend à ramener les molécules dans leurs positions d'équi^ libre est proportionnelle à la distance dont elles se sont écartées. [ Quelque fonction qu elle soit de cette distance, que je représente par jî, *elle peut toujours être mise sous la forme A jc 4- Bj:^ + Cjt* + etc. puîs- I qu'elle doit être nulle quand x= o : or, si l'on suppose les excursioïis 1 des molécules très-peiiles par rapport à l'étendue des sphères d'actijiité des forces attractives et répulsives, on pourra négliger devant kx les autres termes du développement, et regarder la force accélératrice comme sensiblement proportionnelle à la distance x. Cette hypothèse, indiquée par l'analogie, et la plus simple que Ton puisse faire sur les vibrations des particules éclairantes, doit nous conduire [à des résultats exacts, puisqu'on ne remarque pas que les lois de la lumière varient avec son intensité.

Si Ion représente par v la vitesse dWcillation d'une molécuie éclairante au bout d'un temps /; on aura donc rfv = — kxdi; njais i;^-3|, ou dt^—^. Substituant dans la première équation, on trouve, vdv = — hsdx. Intégrant, on a, v^=C — k$^; d'oà

N" XIV

Substituant cette valeur de x dans la première équation, un a

intégrant, t = C + -4^ arc f sin = -=] .

Si donc on prend pour origine du temps celle du mouvement, la cons- [tante C devra être nulle, et l'on aura :

' " ^ ^^^' (^'°~ V^)* ou t; = y^ sin {t y/ A).

N' XIV

[on

nd pour unité de temps celui qui s'écouîe depuis le départ de la molécule jusqu'à son retour, on aura, v^^~G sin (airf). Ainsi, dans des oscillatious isochrones, les vitesses correspondant à la même valeur de / seront toujours proportionnelles à là constante y^C, qui représente en conséquence Fintensité du mouvement vibratoire.

37, Considérons maintenant rondulation produite dans Téther par les oscillations de cette molécule. L'énergie du mouvement de Téther à chaque point de Tonde dépend de la vitesse de la molécule motrice au moment oti elle a produit Timpulsion qui se fait sentir actuelleoient dans ce point, La vitesse des molécules éthérées en un point quelconque de l'espace , après un temps /, est proportionnelle à celle qui animait la molécule motrice à finstant t --^, œ représentant la distance de ce point à la source du mouvement, et X la longueur de Tondulation lumineuse. On a donc, en représentant par a la vitesse des molécules éthérées,

îi = asin [aTrfi — ? jl.

Ou sait que l'intensité a des vibrations du fluide est en raison inverse de la distance de Tonde au centre d'ébranlement; mais» vu la petitesse des ondes relativement à Téloignement où nous les supposons du point lumineux, nous pouvons faire abstraction, dans f étendue dune et même de plusieurs ondulations, de la variation de a, et considérer cette quantité comme constante.

38. On peut, à Taide de cette formule, calculer Tintensîté des vibrations produites par le concours d*un nombre quelconque de faisceaux lumineux, quand on connaît l'intensité de ces difTérents systèmes d'ondes et leurs positions respectives, 1

Je suppose dabord qu'il s agisse de déterminer les vitesses des molécules lumineuses dans les vibrations résultant du concours de deux systèmes d'ondes distants Tun de Tautre d'un quart d'ondulation ^ et I dont les intensités sont a et a\ Je compte le temps ^ à partir du moment où ont commencé les vibrations du premier faisceau lumineux. Soient a et m' les vitesses que le premier et le second système d ondes

tendent à inipriraer à ta mên>e molécule lumineuse distante de la «Hirce du mouvement d'une quantité égale à x, on aura ;

« = asin [^Trf/ — Ijl et

a — a sin

ou

Par conséquent, la \itesse totale U sera égale à

asin TaTrU — IjJ — a cos pTif/ — |j1;

mais, en faisant a = A cos ( et a' = A sin i, on peut toujours mettre cette expression sous la forme ;

A [costsin27rU — |jl — sîntcos pTrf^ — 1]1 , ou

Asin pTrf^— |j —M-

Ainsi Tonde résultant du concours des deux autres sera de même nature, mais aura une position et une intensité différentes. Les équations A cos î = a et A sin i = a donnent, pour la valeur de A, cestà'dire, pour l'intensité de l'onde résultante, y/a^ + a'*. C'est précisé^ ment la valeur de la résultante de deux forces rectangulaires égale^^ à a et à a'*

Il est aisé de voir aussi, d'après les mêmes équations, que la position de la nouvelle onde répond exactement à la situation angulaire de la résultante des deux forces rectangulaires a et a\ car, d'après la formule

U = Asin [^^('-'f )^']^

rintervalle qui sépare cette onde de ia première est égal à — : or i est Tangle que la force a fait avec la résultante A, puisque A cos i — a. Ainsi la similitude est complète entre la résultante de deux forces rectangulaires et celle de deux systèmes d'ondes distanls d'un quart d'ondulation.

39, La solution du problème que je viens de donner dans le cas particulier où il s agit de trouver la résultante de deux ondes séparées

N^ XIV

Jf" XIV. par un intervalle d'un quart d'ondulation, suRit pour le résoudre dans tous les autres cas. En eflH, quels que soient le nombre des diRérents systèmes d otidfts et les intervalles qui les si^pareut, on peut toujours -Hubstituer à chacun d'eux ses composants rapportés à deux points communs distants d'un quart d'ondulation; alors, en ajoubnt ou re^ Iranchant» selon leurs signes, les intensités des composants rapportés au m*^me point, on ramènera le mouvement total à deux systèmes d'ondes séparés par un intervalle d'un quart d'ondulation, et la racine carrée de la somme des carrés de leurs intensités sera rintensité de leur résultante. C'est absolument le procédé qu'on emploie en stalique pour trouver la résultante d*un nombre quelcouque de forces : ici la longueur de Tondulation répond à !a circonférence dans le problème de statique, et rintervalle d'un quart donduiation entre les systèmes d'ondes, à rintervalle angulaire d'un quart de circonférence ijui sépare les composantes.

40. Il arrive le plus souvent, dans les problèmes d'optique, que les intensités de lumière, ou les teintes que Ion veut calculer, ne résultent que du concours de deux systèmes d ondes seulement, comme dans les anneau )l colorés et les phénomènes de coloration les plus ordinaires que présentent les lames cristallisées; en sorte qu'il est bon de connaître la formule générale qui donne la résultante de deux systèmes d*ondes séparés par un intervalle quelconque. On prévoit déjà le résultat que Ion obtiendrait en appliquant à ce cas la méthode {jénérale que je viens d'exposer. Mais je ne crois pas inutile de m appesantir encore sur la théorie de ces mouvements vibratoires, et de [ïrouver directement que Ponde résu liant du concours des deux autres, quelles que soient leurs positions relatives, répond exactement, pour son intensité et })oursa situation, à la résultante de deux forces égales aux intensités des deux faisceaux lumineux, et faisant entre elles mi angle qui soil à la circonférence entière comme Tintervalle qui sépare les deux systèmes d'ondes est à la longueur d'une ondulation.

Soient x la distance du centre du premier système d'oufles à Ja molécule lumineuse que Ion considère, et t Imstant oi\ Ton veut

ealculer sa vitesse; celle que lui imprime ionde du premier système N*' XIV. est égale à

a étant Tintensité de ce faisceau lumineux. Si Ton représente par a' rintensité du second et par c Tintervalle qui sépare les points correspondants des deux systèmes d'ondes, la vitesse résultant du second sera

a'sin[27r(f-^)],

et, par conséquent, la vitesse totale imprimée à la molécule

asinTaTTU— jjj + a'sin [aTr^f — ^y^jJ , ou

|a+a'cosf aTTjJ 1 sin | 27rU — ?^ 1 — a'sin^aTr^ j ces j 27r(/~|jl ;

expression qui peut toujours se mettre sous la forme :

Acos i sin laTTU— ?j 1 — Asinicos laTrU— ^H , ou

Asin [aTT^f— I j """']' en faisant

a + a'cosf 27r|j=Acosi et * a'sin faTr^j = Asinf.

Elevant chaque membre de ces équations au carré et les ajoutant, on a

A^ = a* 4- a'^ + aoa' ces f 27r n ; d'où

A=dbi/a^ + a'*4-aaa'cosfa7r^j.

Cest la valeur de la résultante de deux forces a et a\ faisant entre elles un angle égal à stt^.

Al. Il résulte de cette formule générale que l'intensité des vibrations de la lumière totale est égale \ la somme de celles des deux faisceaux constituants dans le cas de l'accord parfait, à leur différence

N** XIV. quand Us discordent complètement, et enfin à la racine carrée de la somme de leurs carrés lorsque leurs vibrations correspondantes sont à un quart d ondulation les unes des autres; ce qu'on avait déjà démontré.

Il est facile de voir que la position de Tonde répond exactement à la situation angulaire de la résultante des deux forces a et a\ En effet, la distance de la première onde à la seconde est c, et à Tonde résultante —X, et la distance de celle-ci à la seconde c — — X; par

conséquent, les angles conespondanLs sont 27r |, i et 37r| — i,* or, en multipliant par sin t Téquation

G H-a'cos f 37r^ j := A cos i, et par cos i réquatiori

a'sin[3Tr|j"Asini,

el les retranchant l'une de l'autre, on trouve,

dsîn i = cr'sin faTT^ — i), qui, avec l'équation

a'sin(27rn=Asini, donne la proportion

sin f 27rr — i j :sini isinfaTTc j : :a : a': A.

42. L'expression générale A sin TaTr (( — ?] — el de la vitesse des molécules dans Tonde résultant du concours de deux autres démontre que cette onde a la même longueur que ses composantes, et que les vitesses des points correspondants sont proportionnelles; en sorte que Tonde résultante est toujours de même nature que ses composantes, et n'en diffère que par l'intensité, c'est-à-dire, par la quantité constante qui multiplie les rapports des vitesses de toutes les molécules auxquelles elle s'étend. En la combinant successivement avec de nouvelles ondes, on retrouverait toujours des expressions de même forme; propriété remarquable de cette sorte de fonctions. Ainsi, dans la résul-

>IÏ1

taûle d'an noaibre quelconque de systèmes doudcs de même longueur, les molécules lumineuses sont loujouis animées de vitesses proportionnelles à celles des composantes, aux points situés à la même distance de rextrémilé de chaque onde.

N^ XIV

AI'FUCÂTIOft m PfUfKCt^E D'UUTGHENB KU% PHé»OMÈK&S DE LA DIFFBlGTlôN,

43. Après avoir indiqué la manière de déterminer la résultante d'un nombre quelconque de systèmes d'ondes lumineuses, je vais faire voir comment, à l'aide de ces formules d'interférence et du seul principe d'Huyghens, il est possible d'expliquer et même de calculer tous les phénomènes de la diUVaction. Ce principe, qui me paraît une couséquence rigoureuse de Tliypothèse fondamentale, peut s énoncer ainsi : Les vibrations d'une onde lumineuse dans chucuji de ses points pmvmt être regardées comme la somme des înouvernents élémenîmrcs qu'y enverraient au instant i en agissanl isolément y toutes les parties de cette onde considèrée duns une quelconque de ses positions antérieures ^^\

Il résulte du principe de la coexistence des petits mouvements, que les vibrations produites en un point quelconque d'un fluide élastique par plusieurs ébranlements sont égales à la résultante de toutes les agitations envoyées au même instant dans ce point par ces différents centres d'ondulation^ quels que soient leur nombre^ leurs positions respectives, la nature et lepoque des ébranlenieiits divers. Ce principe, étant général, doit s'appliquer à tous les cas particuliers, le supposerai que ïi^B ébranlements, en nombre infini, sont de même espèce^ ont lieu ^simultanément, sont contigus et placés sur un même plan ou sur une même surface sphérique. Je ferai encore une hypollièse relativement à la nature de ces ébranlements ; je supposerai que les vitesses impri*

*'^ Je ooosidère toujours la succession d'une Infmiy d'ouiliilations, ou une vibrolion général du fluide. Cû n'est que dans ce iens qu on peut dire que deux ondes luminetnei te détruisent lorsq» ellea sont h une

derai-ondulûtîon l'une de Tautre. Les formules d'interférence que je viens de donner ne sont point appîir.abîes au cas d'une ondulation isolée, qui d ailleurs n'est pas c^lui de la nature.

XfV. niées aux molécules sont toutes dirigées dans le même sens, perpendicutairement à la surface spliértijuc^'^ et sont en outre proportionnelles aui condensations; en sorte que les niol/^ctdes ne puissent pas avoir de mouvement rétrograde. J aurai ainsi reconstitué une onde dérivée par lensenible de ces ébranlements partiels. Il est donc vrai de dire que les vibrations d'une onde lumineuse dans chacun de ses points peuvent être regardées comme la résultante de tous les mouvements éléoientaires qu'y enverraient au m^me instant, en agissant isolément, toutes les parties de cette onde coihsidérée dans une quelconque de ses positions antérieures î^%

'^' 11 peut y avoir d^ond^ d^Hvë^ dans lesijuelles lu direction des vitesse absolues imprimëês mt molécules ne soîl pm perpi?fi< dictilaire à la siuface de l'onde. En infléchissant aux lois particulières de rmlerfdreiiee AeB rayons polarisés, je me suis convaincu » depuis la réaction de ce Ménoire . que les YÎbralionâ lumineuses s'ex^euienl perpendi* culairement anx rayons ou parallèlement à

la surface de Tonde, Les raisonnements et le* calculs contenus dans ce Mémoire s'accordent auiisi bien avec cette nouvelle bypothè^ qu'avec la pit-cédentet puisqu'ils sont ind*^pendants de la direction n^*elle des vibrations . el supposent seulement qu'elles s'exérolent dans le même sens pour tous les rayons ]>artis du môme système d'ondes qui concourent h la formation des franges.

<*"> Le paragraptie 43 était primitivement rédijjé de la manière suivante.

Var. Après avoir démontré dans la première seelioii de ce Mémoire que le système de rémission et même le principe des interférences, quand on ne l'applique qu'aux rayons directs et aux rayons ré^chisf sont insuffisants pour eipliquer les phénomènes de la diffraction , je vais faire voir maintenant qu on peut en dooner une explication sâiisfaisante et une théorie générale dans le système des ondulations, sans le secours d'aucune hypothèse secondaire, et en s'a ppuyant seulement sur le principe d'Huyghens, qui est une conséquence presque évidenle de Thypo* thèse fondamentale*

Voici comment on peut l'énoncer*

L^ v^raiiom d'une onde luminmâe dam chacun de se$ poiiUs peuvent être regardéu cowmB la rémUtmte de Îoum les mouvetnents MénmUmres qu^ erwerraient au mém$ mgiant , CTi eigissafU i$olément , ioutêi leê parties de cette onde considérée dans une qmkonque

âà, L'inteiisilé de 1 onde priniilive étant uniforme, il résuite de cette considération théorique, comme de toutes les autres, que cette unifoi mité se conservera pendant sa marche, si aucune partie de Tonde 11 est interceptée pu retardée relativement aux parties con ligues, parce que iâ ï^sultante des mouvements élémentaires dont je viens déparier ^8era la même pour tous les points. Mais si une portion de londe est arrêtée par rinterposition d'un coi'ps opaque, alors rintensité de chaque point variera avec sa distance au bord de Tombre, et ces variations seront surtout sensibles dans le voisinage des rayons tangents,

• Soient C le point lumineux, AG Fécran, AME l'onde arrivée en A et interceptée en partie par le corps opaque. Je la suppose divisée en une infinité de petits arcs Am, mm, mM, Mn, nn\ nn, etc. Pour avoir son intensité au point P dans une quelconque de ses positions suivantes BPD, il faut chercher la résultante de toutes les ondes élémentaires que chacune de ces poitious de Tonde primitive y enverrait en agissant isolément* L'impulsion qui a été communiquée à toutes les parties de fonde primitive étant dirigée suivant la normale, les mouvements qu'elles tendent à imprimer à Téther doivent être plus Intenses dans cette direc-

te 3.

A il

N- XTV.

de ics positiom uniérieures. Ce n'est aulre

h pressioa normale toutes ies pression

I posé ^*l

cliOFïe que substituer au mouvement ou à s direcles et obliques dont die ^ coni-

^i Un ébraalement quelconque dans un âuide

I âa»liquâ t^nJ en général à »e propager luivant

I lotitet lestlii^cttons. SU na s/^ formia pas en nvânl

[ des petite» oad^ autour de chaque point île ronde

IpdDcîpAle, c%t & CBiiâe de réquîlibre qui sVta-

Mil eftlre les rnouvement*! ;$itnu1lanéfi âù sos pai^

tm. Ikn, de nrém»? qu*en stalique on emploie

iontent dan» le calcul c!ea Tof^H» qui se dëbui-

sent , on peut ici rétablir les mouvi^nioriEi^ qui »e font équilibre « et considérer rpfli*t proiluil par diiique partie do l'onde indépendainmenl de Vin* flnence qu'exercent sur lui les autre» ébrùnlementa, et l*enseinble de toutes ces ondes clémeDlaîres doil équivatoîr att système primitir. T**l osl le prinripe d'Huygbene,

N"" XIV. tiôti que dans toute autre; et les rajoiis qui en émaneraient, si elles agissaient isolément, seraient d'autant plus faibles qu'ils s écarteraient davantage de cette direction W,

à5. La rccherclie de la loi suivant laquelle leur intensité varierai! autour de chaque centra d'ébranl ornent présenterait sans doute de grandes difficultés ; mais heureusement nous n'avons pas besoin de la connaître, car il est aisé de voir que les effets produits par ces rayon*^ se détruisent presque compl élément dès quils s inclinent sensiblement sur la normale, en sorte que ceux qui inlluenl d'une manière appréciable sur la quantité de lumière que reçoit chaque point P peuveni être regardés connne d'égale intensité ^^K •

*'^ Lorsque ïe centre dV^ïranlemeot a éprouvé une condensation, )q force ex pansive tend a pousser les moléculeii dans ton les directions ; et si elles n'ont pas de mouvements rétrogrades f cela tient uniquement à ce qne leurs vitesses initiales en avant détruisent celles que la di la la lion tend à leur imprimer en arrière ; mais il ne s'ensuit pas que r<^branlenienl ne puisse se propager que gui vaut la dii^ection des vilesses initiales , car la force eipansive dans un sens perpendiculaire , par exemple , se combine avec Pîmptikion primitive sans que ses elTots en soient affaiblis. Il est clair que Tintensit^ de Tonde

ainsi produite doit varier beaucoup dons les différentis points de sa circonférence . nonseulement à cause de rimpukion initiale, mais encore parce que les condensations ne sont pas assujetties à la niême loi, autour du centre de la partie ébranlée* Mais les variations d'intensité de Tonde dérivée doivent suivre néceâsairement une loi de continuité, et peuvent par conséquent être considérées comme insensibles dans un intervalle angulaire très-petit, surtout auprès de k normale à Tonde génératrice ; car. les vitesses initiales des raobkules rapportées è une diï'ectîon quelconque étant proportionnelles m

^*^ La même conclusion subsiste si Ton admet Tbypothèse des vibrations transversales, car Téther étant constitué de manière que les vibrations transversales puissent seules s*y propager, à Texcluaion des vibrations normales ^ le mouvement le plus intense devra être transmis suivant la direction qui est perpendiculaii*e à toute vibration comprise dans la surface de Tonde primitive, c'est-anlire suivant le rapn même de cette onde. La seule difféi'ence c'est cpie Tintensité du mouvement ti-ansmis suivant diverses directions égaie* ment inclinées sur ce rayon ne sera pas la même si la lumière ejt polarisée. Dans ces dernières années, on a cherché à déduire de cette remarque un moyen de reconnaître si les vibrations de la lumière i^olarisée sont parallèles ou perpendiculaires au plan de pôlarisation. [E, Veri>£t-]

En effet, considérons les rayons sensiblement inclinés EP, FP\ IP,

'concourant au point P, que je suppose distant de Tonde EA d'un grand nombre d ondulations. Prenons les deux arcs EF et FI d'une longueur

f telle que les différences EP—FP et FP— IP soient égales à une demiondulation. A cause de Tobliquité prononcée des rayons et de la petitesse d'une demi-ondulation par rapport à leur longueur, ces deux arcs seront presque égaux, et les rayons qu'ils envoient au point P sensiblement parallèles; en sorte qu'en raison de la différence d'une demiondulation qui existe entre les rayons correspondants des deux arcs, leurs efliets se détruiront mutueHemont.

On peut donc supposer que tous les rayons que îes diverses parties de Tonde primitive AE envoient au point P sont d'égale intensité, puisque les seuls rayons pour lesquels cette liypothèse soit inexacte, n'ont pas d'influence sensible sur la quantité de lumière qu'il reçoit. On peut aussi, par la même raison, pour simplifier le calcul de la résultante de toutes ces ondes élémentaires, considérer leurs mouvements vibra-

ftoires comme s exécutant suivant une mèrae direction » vu la petitesse des angles que les rayons font entre eux; en sorte que le problème se trouve ramené à celui-ci, que nous avons déjà résolu : Trouver la rémhanle d*un nombre quelconque de sptènies d*ondés luminmses parallèles , de mène longumir, dont les inlensités ei les positions relatives sont connues. Les intensités sont ici proportionnelles à la longueur des arcs éclairants, et les positions relatives sont données par les différences de cbemins parcourus.

46. Nous n'avons considéré, à proprement parler, que la section

■de Tonde faite par un plan perpendiculaire au bord de Técran projeté m A. Envisageons^la maintenant dans toute son étendue, et concetons^la divisée en fuseaux infiniment minces par des méridiens équi-

• «sosînuj d^l'angte que cette direction fait avec |. la normale, ces composantes varient dans un

rapport beaucoup moindre que !*iotervalle angulaire quand il est peu considérable ^'l

^*' Nok ajoutée à l'impression.

N*' XIV. disUiits perpendiculaires au plan de la figure ; on pourra leur appliquer les raisonnenients que nous venons de faire pour une section de fonde, et démontrer ainsi que les rayons d'une obliquité prononcée se détruisent mutuellement.

Ces luseaux parallèles au bord de fécran étant tous indéfiniment étendus dans le cae dont nous nous occupons, où Tonde lumineuse n'est interceptée que d*un seul côté, rintensilé de la résultante de toutes les vibrations qu ils envoient en P sera la même pour chacun d eux; car las rayons qui émanent de ces fuseaux doivent être considérés comme d'égale intensité, du moins dans la partie très-peu étendue de Tonde génératrice qui a une inÛuence sensible sur la lumière envoyée en P, à cause de Textréme petitesse de la différence entre les chemins parcourus. De plus, chaque résultante élémentaire sera évidemment en arrière de la même quantité par rapport au rayon parti du point du fuseau le plus voisin de P, c^est-à-dire du point où ca fuseau rencontre le plan de la figure. Ainsi les intervalles entre ces résultantes élémentaires seront égaux aux dilïérences des chemins parcourus par les rayons AP, m'P, mP, etc. compris dans le plan de la figure, et leurs intensités seront proportionnelles aux arcs \m\ m'm, uM, etc. Pour avoir l'intensité de leur résultante générale, il faut donc faire le même calcul auquel nous avions déjà été conduit, en ne considérant que la section de Tonde par un plan perpendiculaire au bord de Técran (») W,

47, Avant de calculer Texpression analytique de cette résultante, je

*^J Tant que le bord de Técran est rectiligne, il suflîl, pour déternrmei* les positions des bandûs ot»cures et lïriliantes et leurs in* teasîtéft FfiiâtîvêS , de coiigidërer la seçtiou de l'onde fuite par un plan perpiidiculaire au bord de f écran; uiais lorsqu'il est courbe uu composé de lignes droites faisant eutre elles des àQffles quelconques . il devient né-

cessaire dlotégrer suivant ïm dewL senâ nsctangutaires. ou cireulairemeot autour du point que Ion considère. Celt^ dernière méthode G4>t plus simple dans quelques cm particuliers, comme lorsqu'il s'agit, par exem* ple^ de calculer Tintensilé de la lumière dans la projection du centre d*un écran on d*une ouveiiurt! circulaire.

^* t^e paragraphe 66 et la note ont été ajoutés à f impression.

Fi|î.6^

vais dVbord tirer du principe d'Huyghens les conséquences qu on peut en déduire par de simples considérations géométriques.

Soit AG un corps opaque assez étroit pour qu'on puisse distinguer des franges dans intérieur de son ombre à la distance AB, Soient G le point éclairant, BU le carton blanc sur lequel on reçoit les franges, ou le plan du foyer de la loupe avec laquelle on lee observe.

Concevons Tonde primitive divisée en petits arcs, Am, mm\ mm^ etc. Gn, nn\ nn , «V, etc. de façon que les rayons menés du point P que 1 on considère dans Tinténeur de l'ombre, à deux points de division consécutifs diffèrent d'une demi-ondulation. Toutes les petites ondes envoyées en P par les éléments de cbacun de ces arcs seront en discordance complète avec les ondes élémentaires qui émanent dds parties correspondantes des deux arcs entre lesquels il est compris; en sorte que, si tous ces arcs étaient égaux, les rayon? qu'ils envoient en P se détruiraient mutuellement, à l'exception de Tare extrême mA, dont les rayons conserveraient la moitié de leur intensité, la moitié de la lumière envoyée par Tare mm, avec lequel il se trouve en discordance complète, étatit détruite par la moitié de celle de l'arc précédent m'm\ Ces arcs sont sensiblement égaux lorsque les rayons qui concourent au point P sont suffisamment inclinés par rapport à la normale. Alors Tonde résultante répond à peu près au milieu de imA, le seul arc qui produise un effet sensible > et se trouve ainsi en arrière d'un quart d'ondulation par rapport à Tonde élémentaire partie du bord A du corps opaque* La même chose ayant lieu relativement à l'autre partie Gn de Tonde incidente, le degré d'accord ou de discordance entre les vibrations lufnineuses qui se manifeste au point f* se trouve déterminé par la différence de longueur entre les deux rayons sP et tP qui émanent des milieux des arcs km et Gn, ou, ce qui revient au même, par la différence entre les deux rayons AP et GP partis des bords mêmes du corps opaque. Ainsi, bloque les franges intérieures que Ton consi-

N' XIV

'H^0¥â dère sont suBisauiment éloignées des bords de l'ombre géométrique, on peut leur appliquer sans erreur sensible la formule bifiée iur Thypothèse que les ondes infléchies ont leurs centres aux bords mêmes du corps opaque. Mais, à mesure que le point P se rapproche de B, Tare km devient plus grand par rapport à Tare mm\ i'arc min par rapport à Tare m'm^^ etc. ^■^; et de même, dans Tare m A, les éléments qui 3 voisinent le point A deviennent sensiblement plus grands que ceux situés vers le point m, et répondant à des différences égales de chemins parcourus. Il en résulte que le rayon efficace sP^^ ne doit plus être la moyenne entre les rayons extrêmes mV et AP, mais se rapprocher davantage de la longueur de celui-ci. De Tautre côté du corps opaque, au contraire, la différence entre le rayon GP et le rayon efficace /P approche d'autant plus d'être exactement égale à un quart d'ondulation, que le point P s'éloigne davantage de D. Ainsi la diflérence des chemins parcourus varie plus rapidement entre les rayons* efficaces sP et iV qu entre les rayons AP et GP; par conséquent les franges qui avoisinent le point B doivent être un peu moins éloignées du centre de lombre que ne Tindique la formule fondée sur la première hypothèse-

48, Après avoir examiné le cas où les franges sont produites par un corps étroit, je passe à %*&• / \ celui où elles le sont par une petite ouverture.

Soit A G louvcrture par laquelle on fait passer la lumière, Je la suppose d'abord assez étroite pour que les bandes obscures du 1*=' ordre soient dans l'intérieur de Tombre géométrique de Técrau et suffisamment éloignées des bords B et D. Soit P le point le plus sombre d\ine de ces deux bandes; il est aisé de voir qu il doit répondre à une différence d'une ondulation entre les deux

^'^ J'appelle ainsi celui qui mesure la distance de l'onde i-éaiiltanle à l'onde primitive, pai*ce que )a situation des bandes obscures

et brillantes est la même que si ces rayons tgicatu conoourai^t seuls h leur production.

^*^ Voyei sur la loi du dëcroissement des arcs élémentaires sucfjâesiJs n' XII (G), % S, note

rayons extrêmes AP et PG, En effet, si Ton conçoit un autre rayon PI mené de façon que sa longueur soit moyenne entre celle des deux autres, en conséquence de leur obliquité prononcée sur Tare AÏG, \p point I en sera à peu près le milieu. Cet arc se trouvera donc composé de deux autres, dont les éléments correspondants seront sensiblement égaux, et enverront au point P des vibrations contraires, qui devront par conséquent se détruire mutuellement.

Il est aisé de voir, par des raisonnements semblables, qoe les points les plus sombres des autres bandes obscures répondent à des dilTérences d'un nombre pair de demi - ondulations entre les rayons partant des lieux bords du diaphragme, et les points les plus éclairés des bandes brillantes, à des diflérences dun nombre impair de demi-ondulations, c est-à-dire qu'elles doivent être situées dans des pusitions absolument inverses de celles que Ton déduirait des accords ou des discordances des rayons extrêmes, dans l'hypothèse où ils concourraient seuls à la pioduction des franges^ à Texception cependant de la bande du milieu , ({ui doit être brillante dans un système comme dans Taotra. L'expérience conflrme les conséquences déduites de celui où Ton considère les franges comme résultant du concours des vibrations de tous les points de lare AG, et contredit par conséquent le système d'après lequel on les regarderait comme produites uniquement par les rayons iniléchis et réfléchis sur les bords mêmes du diaphragme. Ce sont aussi les premiers phénomènes qui m'ont fait reconnaître Tinexactitude de cette hypothèse, et m'ont conduit à la théorie dont je viens d*exposér le principe fondamental^ qui n'est autre que celui d'Huyghens, combiné avec le principe des interférences ^"K

â9. Dans le cas que nous venons de considérer, où les bandes obscures du premier ordre sont rejetées par la petitesse de Touverture à une distance assez considérable des bords de Tombre géométrique , il

N-^ XIV

*^ Le manns^nl ajoate nprès ces moti : Vab. Que Ton doit au docteur Young.

302 THÉORIE DE LA LUMIÈRE. — PREMIERE Sti- w.

N* XIV. j ésuile de la théorie, comme de l'expérience, que l'espace compris entre leurs points îes plus sombres est à trèsr-peu près le double des auU'es intervaties entre les milieux de deux bandes obscures consécutives, et d'au tout plus exactement (]uc l'ouverture est plus étroite ou le diaphragtBè jdos éloigné du [ioint luuïineux et du foyer de la loupe avec l«i{uelle on observe les lranj;cs, car, en augmentant suifisamment ces distances, on peut produire les mêmes eflets avec une ouverture d'une largeur quelconque- Mais lorsque ces distances ne sont pas assez considérables, et que l'ouverture est trop large pour que les rayons qui concourent à 1» formation des franges soient sufilsamntent inclinés sur ) onde hi mineuse AG, il arrive que les éléments correspon ants des arcs daus lesquels nous l'avons supposée divisée ne peuvent plus être considérés comme égaux entre eux, mais sont sensiblement plus larges du côté le plus voisin de la bande que l'on considère. Alors on ne peut plus déduire rigoureusement de la tbéorie la position des maxima ou mimma d Intensité de lumière qu en calculant la résultante de toutes les petites ondes élémentaires qui émanent de l'onde incidente,

50. Mais il est un cas très-remarquable où la connaissance de cette int^'grale n est pas nécessaire pour déterminer la loi des franges proiluites par une ouverture d'une largeur beaucoup [ilus considérable ; c'est lot^r[u on place devant le diaphragme une lentille qui porte le foyer des rayons réfractés sur Je plan dans lequel on observe les franges. Alors le centre de courbure de Tonde émergente se trouve dans ce plan, au lieu d'être au point lumineux ^'î, ce qui simplifie beaucoup le problème.

('^ Le principe fécoad que Fresnei énoDce sans le démontrer peut être déduit^ aoit de ia théorie générale des caustiques, soit d'une formule qu on a vue plus haut (n* FV, S 5 et 6, et n* VIII, S a8). Si deux rayons parallèles, vibrant d'accord et réfractés, Tun au sommet, Tautre vers le bord d'une surface sphérique convexe, ont, au point où ils se coupent, une diffà'ence de marche ^ale à — ^^^~^^^ sin ^i, r étant le rayon de !a surface, p Tindice de réfraction, i Tangie d'incidence du rayon réfracté vers les bords, il est dair qu'il» ani-

MEMOinE COURONNE SUR LA DIFFRACTION.

Soit 0 la projection du milieu de Touverture sur ce pian. Si du point 0 coEioie centre, et d'un rayon égal à AO, on décrit Tare AI'G, il i'epn^entera Tonde incidente teile f|!iVlle se trouve modifiée par l'interposition de la lentille* Maintenant, si du point P comme centre, et d'un

pn égni k AP, oii décrit l'arc AEF, les parties des rayons lurnirïcus concourent au point P comprises entre lare AI'G et Tare AEF seront les différences des chemins parcourus par les ondes élémentaires- Or, ces deux arcs ayant des courbures égales et tournées dans le même sens» il s'ensuit qu'à des intervalles égaux sur l'onde AI'G répondront des différences égales dans les chemins parcourus. Si donc on suppose cette onde divisée de manière que deux rayons consécutifs menés par les points fie division diffèrent d'une demi-ondulation , lorsque le point P sera placé de façon qucie nombre de ces arcs soit pair, il ne recevra plus de lumière, puisque les effets produits par ces arcs se détruiront deux à deux, les vibrations de leurs éléments correspondants étant à la fois d'égale intensité et en discordance complète, La lumière envoyée au point P parviendra, au contraire, à son «i^mmwm d'intensité quand ces arcs seront en nombre impair. 11 en résulte que les points les plus éclairés des bandes

N** XIV

vêîoni en même temp nwL deux points qu'on déterminera en prenant, h partir du point de concours, sur la direction du rayoa réfracté au sommet une longueur arbitraire /| et sur

la direction dn rayon r^fract^ vers les borda une longueur ^gale h l ^ LlJ^ZjJlmn*i Mais

SI l est trèâ'grand par rapport à — g -- sin */, le deuxième de c^ points sera très -peu

éloigné de la a[»hère qui paeserait par le premier et qui aurait pour centre le point de mneours des deux rayons ou même le foyer des rayons centraux qui en est très-voisin. On peat donc regarder les mouvements vibratoires qui ont lieu à chaque instant sm* la surface de cette sphère comme presque exactement concordants. On peut faire des calculs analogues sur la réfraction par une deuxième surface spliérique, et admettre, en conséquence , que des rayons parallèles et concordants réfractés par une lentille aiTivent en même temps sur une surface qiii diflfere Irès-peu de la sphère ayant pour centre le foyer principal et tangente h lo surface postérieure de la lentille. Les vibrations de Tétber étant concordantes en Ions leis points de cette suiface, elle peut recevoir le nom A*^nàè réfractée, et dans la théorie de la 1 4ffi«etimi on doit la traiter comme la surface de l'onde. On peut sans diiHcullé étendre ces »ii0Jdérations au cas ou les rayons incidents viennent d'un point situé à distance tlnie; le centre de Tonde réfractée est alors au foyer conjugué du point lumineux, [E. Viiwt.]

PF XIV. brilianles répoudronlà une dilTérence d'un nombre impair de demi-ondulations entre fes rayons partis des deux bords du diapliragme, et les points hs plus sombres des bandes obscures % une différence d'un nomlire pair de demi- ondulations. Par conséquent toutes les bandes obscures seront également espacées entre elles, à Texception des deux premières, dont rintervalle sera exactement double de celui qui sépare les autres. Ce résultat, que la théorie m'avait iudiqué d'avance, se trouve parfaitement confirmé par rexpérience. Je ne rapporterai qu une observation de ce genre faite dans une lumière roiige homogène. Pour porter le centre de Tonde incidente sur le micromètre, aa lieu d'une lentille ordinaire, j'ai employé un verre à surface cylindrique î*\ qne j'ai placé de manière que la droite génératrice fût parallèle aux bords de l'ouverture du diaphragme, afin de conserver aux franges toute leur longueur.

Largeur de louverture* . 3*",oo

Distiince du point lumineux au diaphragme, ou a. , . !ï™,5o7

Distance du diaphragme au micromètre, ou 6, . , . , r",i4o Intervalle entre les milieux des deux bandes obscures

du 1*' ordre. - •..,• o*",73

Entre la bande du i" ordre et celle du 3', o*",73

Entre celle du 3* et celle du 5' ....,. o*",73

On voit que le premier intervalle est égal aux doubles intervalles suivants.

J observai la même loi, et à des distances aussi peu considérables, avec des ouvertures beaucoup plus larges, par exemple d'un centimètre et même d'un centimètre et demi. Mais, en augmentant davantage l'ouverture du diaphragme, les franges devenaient confuses, quel-

^*^ Cette Bubstitutian ne modîGe en rien d'essentiel les conséquences de la note précédente. L'onde Téfraclée a !a forme d'un cylindre qui a pour base une courbe très-peu différente du cercle dont le centre est au foyer, et h considération d une onde cylindrique se ramène à celle d'nne onde circulaire plus aisément encore que celle d une onde sphërique. [ E. VenDEf . ]

que soin que je misse à bien placer ie rnicroniètre au foyer du verre .cylindrique ; ce qui tenait k ce que les rayons réfractés par ce verre ne

vibraient sensiblenienf d*accord qu'entre des limites assez rapprochées, [coranie cela a lieu pour les lentilles ordinaires,

51 . Lorsque Touverture du diapbragme ainsi combiné avec un verre i cylindrique n'est pas trop considérable, les bandes obscures et bri!- Hantes sont aussi prononcées que les franges produites par fe concours rdes rayons réfléchis sur deux miroirs. Mais dans celles-ci Tintensité de [la lumière reste la même pour toutes les franges, ou du moins les différences qu'on aperçoit tiennent uniquement à ce que la lumière em-

tployée n'est jamais d'une homogénéité parfaite; et si, d'une part, les bandes brillantes perdent par degrés une partie de leur éclat, les bandes obscures deviennent moins soud)r€s; en sorte que la somme de lumière d'une frange entière reste sensiblement la même. Dans Fautrc phénomène, au contraire, on observe, en s'éloignant du centre, une diminution rapide de la lumière, dont il est aisé de se rendre compte ■ par la théorie que nous venons d'exposer- En effet, tous les rayons émanés de Tonde AI'G qui concourent au milieu de la bande brillante du premier ordre se trouvent avoir parcouru des chemins égaux; en sorte que toutes les petites ondes élémentaires qu'ils apportent en ce point comcident et se foitifient mutuellement. 11 n'en est pas de môme Hdes autres bandes brillantes. Le point le plus éclairé de celles du second ■ordre, par exemple, répond à la division de l'onde ATG en trois arcs, dont les rayons extrêmes diffèrent d'une denii^ondulation ; les etlets I produits par deux de ces arcs se neutralisant mutuellement, ce point ne reçoit de lumière que du troisième, dont les vibrations se délruisent niênie en partie, à cause de la difi'érence d'une ilemi-ondulation entre [ses rajons extrêmes. Un raisonnement semblable fait voir que le milieu de ia bande brillante du troisième ordre ne doit être éclairé que par lun cinquième de fonde AI'G, dont la lumière est encore affaiblie par [ia discordance des rayons partis des points voisins des extrémités.

52. Reprenons le cas général des li anges qui proviennent d'une ou- I verture étroite , sans que la courbure de l'onde incidente soit changée

K^ XIV

306 THÉORIE DE LA LUMIERK. — l'REMfERE SECTION.

N" Xf\ pal- rinteipositiou d une ientiile* Parmi les principaux ph^înoniène» de dillractian, aucun ne présente des effets plus variés et plus conipii<)ués. Néanmoins, sans connaître la nature de 1 uitégrale qui nous servira bientôt à déterminer la position et Tintensîté des bandes obscures et brillantes, nous pouvons déjà résoudre un problème intéressant. Vou- Derture du dtaphrofpne variant , qtwUm sont les variaùmis que doivmd épfùuwmles distances du diaphragme au point lumineujc et au micrmmtre , pour que tes frange» comeiTenl (ss métnes largeurs et les tnémes rapporte d'intenMté? Soient A G et A 'G' les deux petites ouvertures inégales par lesquelles on fait passer la lumière. Je suppose que les points lumineux C et G' et les plans d observation PO et P'O' se trouvent placés aux distances convenables pour que les franges soient absolument pareilles dans les deux cas. Soient P et F deux points correspondants de la même frange; on doil avoir PO = F0^ 0 et 0' étant les projections des milieux des deux ouvertures sur les plans PO et P'O'. Si des points G et G' comme centres, avec des rayons égaux à G A et G'A\ on décrit des arcs de cercle A (G et ATG', et si Ton décrit ensuite des points 0 et 0' comme centres les arcs tangents FI H, FTH', les intervalles entre les premiers et les seconds seront les différences des chemins parcourus par les rayons qui concourent aux points 0 et 0'; or, pour que la résultante des ondes élémentaires qui émanent des différents points de Toude incidente présente les mêmes variations duitensité, il faut qu'elle soit composée d'éléments semblables; et cette condition sera renxpbe si l'on a AF — AT'. En effet, il en résulte d'abord que pour 0 et 0' les ditTérences des cbemins parcourus par les rayons qui émanent des points correspondants des ondes AIG et Al'G' seront égales; par conséquent, si Ton conçoit les deux ondes divisées en petits arcs proportionnels, les vibrations qulls enverront en 0 et 0' auront précisément entre elles les mêmes degrés d accord et de discordance, et les

MEMOIRE COURONNE SDR LA DIFFRACTION,

deux résultantes seront ainsi compoRées d'éléments pareils. On vmt aisément qu'il doit en être de même pour tous les autres points correspondants P et P', situés de façon que les droites CP et CT' divisent les ondes A G et A G' eu parties proportiotinelles. Par conséquent, la résultante des ondes élémentaires soit la même loi dans les deux cas.

Cela posé, je représente les largeurs AG et A'G' des deux ouvertures par € et c\ les distances Cl et CT par a et par a\ et 10 et FO' par 6 et b\ Les droites CP et CP' divisant les arcs A G et A' G' en parties proportionnelles, on a,

AG : Ar/ou c : c' :: Ml : Ml', dnù ^^ ^> Mais on a en outre les deux proportions,

GI:COoua:a + i::Ml: PO, etCTiCO oua^fl' + A'::Mi':Pïr; d'où Ton tire

N- XIV

miû^b]

pj. prQ^MT(«Vfe')^

Ces deux largeurs étant égales par hypothèse, on a

MI [a^b) W\[d^h')

Ml

MI

ac'{a' + b') = ac{a + b).

Telle est la première équation de condition.

H en faut encore une autre pour exprimer l'ëgalité des intervalles AF et A'F'. A cause de la petitesse des arcs AG etFH, A'G' elF'H', on a

AT

Al' 1 /c* c*\ ie*{tt+b),

A'c"— ' c"(a'+fe') ^^ —8 a'b' *

N* XIV, par coesécjuent h seconde tH|uatio]i de condition est

C Ut-H <

Eo combinant ces deux équations, on trouve les formules

bc'

et a'^

«=:Ti

abc''

6)-afe'

'^(i-hb) - ace*-

au BÉoyen desquelles on peut calculer les distances a' et b\ la largeur c' de la seconde ouverture étant donnée,

H est à remarquer que Téquation i' = — donne la proportion

b:h* ::c : a'; c'est-à-dire qu'une des conditions de 1 égalité des franges est que les distances du diapliragme au micromètre soient proportionnelles aux largeurs des ouvertures,

53. J'ai vérifié rexactitude de cette loi par l'expérience suivante : la largeur de l'ouverture étant d'abord de a millimètres, sa distance au point iuniincux de 3*^,ao8, et^sa distance au micromètre de i"',236j je me suis proposé de produire les mêmes franges avec une ouverture de i"*"*,5o. D'après les formules ci-dessus sa distance au point lumineux devait èlre de t™,o5îa, et sa distance au micromètre, de 0""^^^"].

Le tahlcau suivant présente à la fois les résultats de ia première et de la seconde observation. On voit qu'ils s'accordent parfailement.

humAhos

b«nde« oWqj^

partant dti centre.

nôTBa comuTNi^

Max dmn obnrrttiiïiii.

0IBTAl1Ct9

du cenirr Ant jhointi kf prtii »mbr«

DirFÉlli»CK!i.

%** obserfBtion,

i' obMfYâLkiti.

Grosse bande.

Brillant.

Trè»-pâle,

BrîDiiiil.

Mmimunt peu prononcé.

Sombre. ' ^immvM peu prononcé.

Obscur* Trèi-obacur.

1 «tr 1 M

"54, On peut faire sur les franges produites par des corps opaques très-(Hroits des raisonnements analogues à ceux que nous venons de faire pour les petites ouvertures. En représentant les mêmes distances par ies mômes lettres, et la largeur- du corps étroit par c, comme celle de la petite ouverture, on est conduit aux mômes formules,

abc''

et a'=-

a-h b)c^ — ace '

J'ai encore vérifié la loi dans ce cas par rexpérience. Après avoir employé un fil d^acier de i"™,3a5 de diamètre, placé à H^'^oiy du point lumineux, et à 3™»5a6 du micromètre, je me suis servi d'un autre fil d'acier qui avait seulement o"^^j& de diamètre, et j'ai disposé ce fil et le micromètre par rapport au point lumineux, de façon que a' fût égal à ©""lyyg, et 6' à 2"*,078, valeurs calculées d après les formules ci-dessus. Voici les résultats de ces deux observations.

N^ XIV

dit

en prtant Ou eenln-.

NOTES COHBDttE»