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INTRODUCTION

différentes, avaient réfracté un même rayon de la même quantité, se trouvèrent eo effet les conséquences de ces lois; il en fut de même des conditions où deux (ilaques de même épaisseur et de directions différentes avaient transmis ces mêmes rayons avec la même vitesse. Les règles données par Biot pour définir la position des plans de polarisation des deux rayons réfractés et pour évaluer la différence de leurs vitesses de propagation y trouvèrent également leur explication ^^^ De nouvelles expériences sur la topaze, plus variées et aussi précises que les premières, vinrent apporter à la loi générale de nouvelles confirmations. Enfin il ne fut pas difficile de démontrer Texistence nécessaire de deux axes optiques et de déterminer les propriétés de ces deux direclions d une manière (dus précise que n avait pu le faire la seule expérience. Les axes ne sont autre chose que les normales aux deux systèmes de sections circulaires que présente 1 ellipsoïde à trois axes inégaux dont il a été question tout à Theure: comme tout diamètre de ces sections circulaires a les propriétés d'un axe d'une section elliptique, on voit que, sur une onde plane perpendiculaire à un axe ojitique, la direction des vibrations peut être quelconque, et que la vitesse de propagation en est indépendante. Ainsi suivant un axe optique il n'y a ni polarisation déterminée, ni double réfraction, ni par conséquent modification de lu lumière par inter* férence dans les expériences de polarisation chromatique. Ces propriétés sont précisément celles qui caractérisent l'axe unique des cristaux à un axe; mais tandis que cet axe unique est, relativement au milieu cristallin , un axe de symétrie et occupe en conséquence la même position pour toutes les couleurs, les axes optiques des cristaux à deux axes sont simplement des directions suivant

t'' H fallut seulement prendre pour nksses de propagation les inverses des Videurs adoptées par Biot, ainsi qu'on

doit toujoun» ta faire quciud on pasf^e du syflttïine de I*dmissioa au système des ondes.

Lxxviii INTRODUCTION.

lesquelles il y a compensation entre les causes tendant à produire la double rëfraction , et toutes les fois que la dispersion est sensible, leurs situations sont très-différentes pour les diverses couleurs '^^

Entièrement persuade par ces expériences de la vérité de sa loi, Fresnel en rechercha l'explication mécanique, et bien quon doive reconnaître que le succès n'a pas couronné ses efforts, cette dernière recherche n'en a pas moins exercé sur la science une influence considérable, qui s'est étendue bien au delà des limites de la théorie de la lumière.

On y doit distinguer deux parties.

La première dans l'ordre logique (mais non dans l'ordre historique) est l'étude des forces que développent dans un milieu élastique les petits déplacements moléculaires. Sans faire aucune hypothèse sur l'arrangement des molécules ni sur la loi de leurs actions mutuelles , Fresnel démontre par des raisonnements synthétiques, faciles à traduire par l'analyse :

1 "" Que si une molécule du milieu éprouve un petit déplacement, toutes les autres demeurant immobiles, la force qui la sollicite est la résultante des trois forces qui la solliciteraient, si elle éprouvait tour à tour trois déplacements parallèles à trois axes rectangulaires quelconques et égaux ^ux projections du déplacement réel sur ces trois axes;

3** Qu'en général cette force accélératrice est inclinée sur la direction du déplacement, mais qu'il existe toujours trois axes rectangulaires tels qu'un déplacement parallèle à l'un d'eux donne naissance à une force accélératrice qui lui est parallèle;

^') On sait que la confirmation la et Lloyd sur les propriétés des axes

plus éclatante de la loi de Fresnel a optiques et sur celles des points singu-

été donnée plus de dix ans après sa liers de la surface de Tonde, mort par les travaux de MM. Hamilton

LïttU

INTRODUCTION

Que si des déplacements égaux parallèles à ces trois axes donnent lieu à des forces accélératrices égales, nne direction quelconque jouit des mêmes propriétés;

i** Que si des déplacements égaux parallèles à deux axes donnent lieu à des forces accélératrices égales, toute direction contenue dans le plan des axes jouit des mêmes propriétés ^^l

Si le milieu est homogène dans toute son étendue, les axes dont il s'agit ont partout la même direction et peuvent recevoir le nom à^axes d'élasticité.

Ces théorèmes, d'une si remarquable simplicité, doivent être regardés comme le point de départ d'une science nouvelle, qui est devenue aujourd'hui lune des branches les plus importantes de rétude de la nature : la théorie générale de r élasticité. Sans doute on avait déjà traité bien des questions relatives à Téquilîbre et au mouvement intérieur des corps, mais ^ excepté dans ie cas des fluides, et surtout des fluides élastiques, les solutions avaient été toujours empruntées à des considérations en partie théoriques, en partie empiriques et spéciales à chaque question, et même à des hypothèses inadmissibles, Fresnel fut le premier à introduire dans ces études les méthodes exactes et générales de la mécanique rationnelle, et, si simple que fût le problème qu'il s'était posé, relativement aux problèmes qu'on a abordés plus tard, en le résolvant d'une manière rigoureuse, il fit ce qu'il y a â la fois de plus important et de plus rare, il ouvrit h la science une voie nouvelle* Les noms de Cauchy, de Green , de Poisson, de M, Lamé disent assez si cette voie a été féconde ^''.

f'î Ce n'est paa arbitrairement» ni pour les besoins d'un vain panégyrique, gu'on rattache i^œuvre de ces sa-

vants illustres à TœuvTe de FregneK comme à son point de départ. Les tmvaux de Caucliy, qui sont les plus beaux

^* fci se lit eu marge, sur le manuscrit autographe, cette apc^tille trac^ au crayon, TVone de Vdlipamie à mtercaïer, , .

INTRODUCTION

On ne saurait donc estimer trop haut la valeur des premières recherches de Fresnel sur la constitution des milieux élastiques, mais on doit reconnaître aussi que ces recherches n'ont pas été poussées assez loin pour conduire au but qu'il avait en vue, la démonstration a priori de sa loi générale de la double réfraction. Tout lecteur attentif du Mémoire célèbre où cette démonstration est essayée doit en effet s'étonner qu'une série de raisonnements, tantôt incomplets, tantôt entièrement inexacts, ait conduit leur auteur à l'établissement d'une des plus grandes lois de la nature, et, s'il s'agissait d'un autre que de Fresnel, on pourrait même être tenté de dire qu'il a dû au plus singulier des hasards la plus belle

titres de ce grand géomètre dans le domaine de la physique mathématique, les Mémoires sur l'équilibre et le mouvement intérieur des corps, considérés tantôt comme des masses continues, tantât comme des assemblages de points matériels disjoints , qu'on trouve dans les premiers Exercices de mathématiques, sont postérieurs de quelques années aux recherches de Fresnel sur la double réfraction; l'application que Fauteur s'est hâté de faire des conséquences de son analyse aux théories de la double réfraction et de la dispersion, fait bien voir que l'optique n'a jamais été étrangère à ses préoccupations. La polémique môme que Poisson a soutenue contre Fresnel sur le principe de la théorie des ondes î*) est une preuve de l'influence que les découvertes du physicien ont exercée sur l'esprit du

géomètre. EnGn l'admirable Mémoire où Green a établi, de la manière la plus simple et la plus solide, les bases définitives de la théorie de l'élasticité, a pour titre : Sur la propagation de la lumière dans les nUUeux cristallisés ^**K Les premiers travaux de M. Lamé ont eu seuls leur origine plutôt dans la mécanique pratique que dans l'optique; mais on sait quelle place M. Lamé a donnée plus tard à cette science danf^ ses leçons sur l'élasticité.

Les seuls écrits antérieurs à Fresnel où l'on trouve des notions justes sur les inégalités d'élasticité qui peuvent exister dans les corps et sur leur répartition régulière par rapport à certains axes ou plans de symétrie sont, à ma connaissance, ceux du grand minéralogiste allemand Samuel - Christian Weis (***),

^*^ Voyex plus loin un résuma de celte controreree. (**) Cambridge TraMactions , l. VII.

(♦♦♦) Voyez en particulier son Mémoire sur les divisions naturelles des systèmes cristallins, publié dans les Mémoires de T Académie de Beriin pour 181 5.

INTRODUCTION. lxxxi

de ses découvertes. Le premier Mémoire sur la double réfraction, demeure inëdit jusqu'à ce jour, nous a montre par quelle admirable gënëralisation de faits connus il a été réellement conduit à cette découverte; les deux Suppléments à ce Mémoire, qui l'ont suivi à quelques mois de distance, et qui paraissent aussi pour la première fois dans cette édition ^*', vont nous révéler en détail la marche successive de ses pensées, et comment il en est venu à se persuader qu'une suite d'hypothèses plausibles, mais nullement évidentes, était une véritable démonstration. On sait d'ailleurs que bien des physiciens éminents les ont reçues pour telles.

Dans les cristaux à un axe, il est évident, par raison de symétrie, que tout déplacement perpendiculaire à l'axe, d'une seule molécule, doit donner naissance à une force élastique, dirigée en sens contraire du déplacement et indépendante de la direction particulière du déplacement dans un plan perpendiculaire à Taxe. Un déplacement parallèle à l'axe doit aussi donner naissance à une force élastique dirigée en sens contraire du déplacement, mais d'une intensité différente de la précédente. On sait d'autre part que toutes les ondes planes polarisées dans la section principale se propagent dans le cristal avec une vitesse constante , la vitesse des rayons ordinaires, et que toutes les ondes planes dont le plan contient l'axe, et qui sont polarisées perpendiculairement à la section principale, se propagent avec une autre vitesse constante, qui est la vitesse des rayons extraordinaires perpendiculaires à l'axe. Ces propriétés remarquables deviennent des conséquences d'un même principe si l'on admet :

1° Que les vibrations de la lumière polarisée sont perpendiculaires au plan de polarisation;

^*J Ce sont les numéros XLII et 22 janvier 1822, et le deuxième le XLIII. Le premier Supplément a été i*' avril de la même année, présenté à l'Académie des sciences le

Lxxxii INTRODUCTION. V

â"" Que lorsque dans le plan d'une onde plane les vibrations ont lieu parallèlement ou perpendiculairement à Taxe optique, les forces élastiques qu'elles développent ne diffèrent des forces élastiques développées par le déplacement parallèle d'une seule molécule, que par un facteur constant, indépendant de la direction particulière du plan de l'onde.

La supposition est d'ailleurs tout à fait plausible, car elle conduit à regarder les vibrations de toutes les ondes ordinaires comme s'exécutant perpendiculairement à l'axe optique, et la simplicité de ce caractère commun paraît l'explication de l'identité de leurs propriétés. Si l'on remarque que dans un cristal à un axe toute droite perpendiculaire à l'axe est l'intersection de deux plans par rapport auxquels le cristal est symétrique, on est porté à admettre que, dans les cristaux à deux axes, lorsque les vibrations d'une onde plane sont parallèles à l'un des trois axes d'élasticité, c'est-à-dire à l'une des trois intersections des trois plans rectangulaires de symétrie, elles développent aussi des forces élastiques proportionnelles à celles qui résulteraient du déplacement d'une molécule unique, quelle que soit la direction particulière du plan de l'onde ; et [cette hypothèse explique] l'existence de trois groupes de rayons qui, dans chacun des trois plans de symétrie du cristal, se réfractent conformément à la loi de Descartes, mais avec des indices différents. Quoi de plus naturel que d'étendre ensuite à tous les cas une hypothèse qui rend un compte si satisfaisant de tant de particularités du phénomène?

C'est ainsi que Fresnel s'est trouvé conduit à admettre comme un principe de sa théorie que, dans tous les cas, les forces élastiques mises en jeu par la propagation d'un système d'ondes planes, à vibrations rectilignes et transversales, ne dépendent que de la direction des vibrations et sont dans un rapport constant avec les forces élastiques mises en jeu par le déplacement parai-

INTRODUCTION. lxxxhi

lèle d'une molécule unique. Mais pour rendre compte des phénomènes au moyen de cette hypothèse, il est nécessaire dy en ajouter une seconde, qui a paru à Fresnel n'être que Texpression pure et simple du principe fondamental de la transversalité des vibrations. Si les vibrations sont perpendiculaires au plan de polarisation, les vibrations d'une onde plane extraordinaire dans un cristal à un axe doivent être parallèles à la section principale, c'estr-à-dire contenues dans le plan qui passe par Taxe et par la normale à l'onde; s'il est en outre nécessaire qu'elles soient absolument transversales, elles doivent être précisément dirigées suivant l'intersection du plan de l'onde et de la section principale. Mais la force élastique développée par un déplacement pa> rallèle à cette direction n'est pas dirigée en sens inverse du déplacement, car cette propriété n'appartient qu'aux forces élastiques développées par des déplacements parallèles ou perpendiculaires à l'axe : seulement, par raison de symétrie la force élastique dont il s'agit est, comme le déplacement d'où elle résulte, contenue dans la section principale, et par conséquent sa composante parallèle au plan de l'onde est parallèle au déplacement. Donc, si cette composante était seule efficace, la propagation des vibrations extraordinaires serait expliquée, et si, en prenant pour mesure de la vitesse de propagation la racine carrée de cette composante, on retrouvait les lois connues de la propagation des ondes extraordinaires, on pourrait se croire autorisé à prendre cette nouvelle hypothèse pour l'expression de la vérité.

Or c'est précisément ce qui arrive. Dans un cristal quelconque à un ou à deux axes, il résulte de la loi de Fresnel que les deux vibrations rectangulaires qui peuvent se propager par des ondes planes normales à une même droite sont telles que les déplacements parallèles d'une molécule unique développent des élasticités dont les projections sur le plan des ondes sont parallèles au dé-