V* MÉMOIBE SUR LA RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE

quement, comme deux couleurs complénicnlaires, mais leur mélange piwluini une teinte intermédiaire, qui devra ^tre une moyenne exacte, quand les faisceaux constituants de chaque teinte auront ^''J une égale intensité f*î; elle sera donc alors de même nature que celle qui résulte d'une dilFérence d'un huitième d'ondulation, mais un peu moins pure.

N^ XVL

^*' 11 ml possible que tes formules de MaluB^^sin* ( et/cos' i\ qui repr^senlent bien le rapport dlulensilé dea deux faisceaux dans lesquels la lumière est divisée pai* la double rëiraction tpiaud i est égal h zéro, 65" ou 90° , ne le repr<^fientent plus exactement pour les azimuts intermédiaires, du moins suivuiit

les principes de la théorie des ondulalioiis. [Je n*avais point encore fait attention que sîn* i et cos" i repr<5senteut \m intensil^s d** la sensation , et sin t ^ cos i les vitesses des molécules lumineuses dans leurs oscillations. conformément au principe de la conservalion des forcée vives, — (Note margittate.) \

'^^ L'auteur a i*elranché le passage suivant de sa première rédaction , se réservant de traiter dans le Supplément xïe son Mémoire ce qui n y est qu'indiqué, ainsi qu'il résulte dune note marginale au crayon :

Vàt la même intensité, c'est-à-dire lorsque cos'j -sîn*j sera égal

k asio**; mais celle équation donne un tiers de quadrant pour la valeur de s; d'où il résulterait que pour avoir la couleur moyenne entre celles quon observe en plaçant la âcction principale du second rhomboïde dans les plans RR' et 00', il faudrait f en partant de ta direction RR\ lui faire parcourir les deux tiers de Tangie RCO, et non pas la moitié, comme Tanalogie paraîtrait Tindiquer. Je me propose de vérifier ce résultat de la théorie que je viens d'exposer et deji Airmules de Malus, aussitôt que Tappareil gradué, que je fais construire, sera terminé. Cette vérification, quoique fort délicate, me parait possible en prenant pour terme de comparaison de la teinte moyenne celle que développe dans la même lame la lumière potarisée qui n'a éprouvé qu une seule réflexion intérieure.

A cette difijculté près, qui me reste à lever et qui ne me paraît point encor«* une objection contre la théorie que je viens d'exposer, je crois avoir expliqué comment une lame cristallisée parallèle à Taxe pouvait présenter, pendant la rotation du second rhomboïde, ces variétés de couleurs qu'on n^avait remarquées jusqu à présent que dans les plaques de cristal de roche taillées perpendiculairement à l'axe et dans certains fluides. Je suis parvenu à imiter encore plus complètement

' N"* XVI. ce me semble, parce qu aucune espèce de rayons ny sera totalemnt détruite. Néanmoins, je crois que cette différence de vivacité doit être aussi difficile à reconnaître que celle qui existe entre le vert homogène du spectre et le vert composé de jaune et de bleu.

37. Je ne m'étendrai pas davantage sur la théorie de ces phénomènes dans lesquels les lames cristallisées parallèles à Taxe se colorent suivant des lois si différentes de celles qu'on avait observées jusqu'à présent. Ce que j'en ai dit suffit pour faire voir comment on peut, à l'aide d'une seule hypothèse, expliquer ces nouvelles teintes par les mêmes principes que la coloration ordinaire des lames cri»-tallisées.

Je suis loin cependant de considérer la théorie que j'ai exposée dans ce Mémoire et le précédent comme une explication complète des phénomènes. Les principes sur lesquels elle repose présentent encore des difficultés qui ne pourront être résolues sans doute que lorsqu'on saura en quoi consiste cette modification transversale des ondes lumineuses à laquelle Malus a donné le nom de polarisation.

En attendant, il n'est pas inutile de tâcher de réunir les faits sons

les pliéiiomoiies de coloration que présentent les plaques de cristal de roche perpendiculaires à Taxe, en plaçant la lame mince parallèle à Taxe entre deux systèmes de prismes accouplés, disposes de façon que le plan de réflexion dans le premier système fût perpendiculaire au plan de réflexion dans le second. Alors, non-seulement la rotation d'un des rhomboïdes changeait la nature des teintes, mais elles paraissaient ne dépendre, comme dans les plaques de cristal de roche perpendiculaires à Taxe, que de Tangle que faisaient entre elles les sections principales des deux rhomboïdes; car en les faisant varier de la même quantité et dans le même sens, je n altérais point les couleurs des images. Je donnais aussi à ce système des quatre prismes et de la lame cristallisée la propriété de faire tourner les molécules lumineuses de droite à gauche ou de gauche à droite, pour me servir des expressions de M. Biot, selon le côté où je plaçais Taxe de la lame cristallisée par rapport au plan de réflexion. On peut se rendre compte des singuliers résultats de cette expérience par des raisonnements semblables à ceux que je viens de faire pour un cas moins compliqué.

I- MÉMOIRE SUR LA REFLEXION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE. /i85 un même point de vue, en les rattachant à un petit nombre de prin- i\o XVI. cipes généraux. C'est le moyen d'en saisir plus aisément les lois, et je pense que des efforts de ce genre peuvent contribuer, autant que les observations mêmes, à l'avancement de la science.

A Paris, le lo novembre 1817.

A. FRESNEL

N» XVII

SUR LES MODIFICATIONS QUE LA RÉFLEXION IMPRIME A LA LUMIÈRE POLARISÉE".

[PRéSBNTÂ \ L'INSTITUT LK Hj JANVIER 1818.]

1 . f^^Les méthodes particulières que j'ai suivies jusqu'à présent pour expliquer les principaux phénomènes de la coloration des lames cristallisées ne peuvent s'appliquer qu'à des cas fort simples, et où il n'est pas nécessaire, pour juger des variations des teintes, de connaître ia loi générale de l'influence réciproque des ondes lumineuses. Dès

^** Ce Mt^moire est le supplément d'un joint et n'a été présenté à ia signature de antre qui avait été lu à l'Institut le ai no- M. Delambre que vers ia fin du mois de vembre 1817. Mais ce supplément n'y a été janvier 1818. — [Note marginale, |

(*) Ce supplément N"" XVII est en partie compris dans le rapport académique du & juin 1891. (Voir ci-après, N** XX). Il se rattache autant aux Mémoires sur ia diffraction. N"" XI et XIV, qu'aux Mémoires sur les couleurs des lames cristallisées douées de la double réfraction, N*' XV et XVI.

Voir, à l'occasion de ce Mémoire , la note (b) , p. 1 7 1 , et les lettres a Léonor Fresnel des 98 novembre 1817 et 3 juin 1818.

Nous reproduisons ici le texte du manuscrit autographe déposé aux archives de l'Institut; il porte des notes marginales au crayon de la main d'A. Fresnel, et postérieures à la rédaction primitive.

Nous croyons inutile de signaler toutes les parties empruntées textuellement à cet écrit et insérées dans d'autres Mémoires.

N« XVJI.

I»« THiiO«lK DE LA LUMIÈRE, —DEUXIÈME SECTION.

N" XVIL <jiroïi Vf ut calculer les toinles avec préclsioii, ou m^me se fenffr^ rtimpte seulement des laits les plui* snj liants, quaiirl le nombre de^ iaifireaux coiislituunts C8t un |)cu coDsidéiahle, ou sent la niL*cc&sIté de déteniliner exai:temeut Tac tion qu*ils exercent les uns sur les autres,

La fiolution générale des questions de cette espèce dépend donc de la sr du lion du priibl^'^tue suivant :

fùant dmimes le« iniemiiés dun nmnln^e q^idennqae de mpièmm itimdm htmimmm, et leurs posiliom respectives, ou lemn différents tkgrés d'aecwdM f^i de dinrorduneen , déiennintr tintetmtè de ht iumifre totale.

J entends par in(m»ilé de la lumière relie du niouvennuit lumineux, e est-ri-dire la vitesse des molécules de Tétlier dans leurs oscillations, Quant à Tinlensité de la sensation ^ (jul paraît devoir ^tre pnipurtioirnèfle au carré de cette vitesse, il n*€st pas nécessaire de la considérer ici ï^*, "

2, D'après le principe des petits mouvements, la vitesse totale im- |H imée à une nndécule quelconque est égale à la somme des vitesses que chaque onde lui aurait inquimée séparément. Comme ces ofides iw loïncidont pas, ces différentes vitesses ne dépendent pas seulement de Tintensité de chaque uttde, mais encore de sa position par rapport à la molécule. 11 faut donc connaître la loi suivant laquelle les vitesses d'oscillation varient dans la même onde, et pour cela remonter à la cause qui l'a produite et dont elle tient tous ses caractères.

L'hypothèse la plus simple qu'on puisse faire sur les vibrations des molécules des corps qui produisent la lumière, c'est quelles s'exécutent comme les oscillations d'un pendule, ou, ce qui revient au même, que la force accélératrice, qui tend à ramener les molécules dans leurs positions primitives, est proportionnelle à la distance dont elles s'en sont écartées. Quelque fonction qu'elle soit de cette distance, que je représente par r, elle peut toujours être mise sous la forme

A.r + B.r' + Cx' + T>x' + etc.

'- Il est plus naturel d'entendre par intensité de la lumière Vintensité de la sensatioH. — [ Note marginale, J

SUPPLEMENT AU MKMOIBE PRKCEDENT.

àm

la force accélératrice doit êtr

ille loi'sqt

Or, si \\

puisque la lorce acccuerairice uoit eire nulle loi'sque x^o, ur, sï ion suppose les excursions des molécules très-petites par rapport à Véteridue des sphères d'activité des forces attractives et répulsives, on pourra négliger devant Ar tous les autres ternies du développement, et regarder ta force accélératrice comme seasiblenieiit proportiormeHe à la distance X.

On a donc en général dans cette hypothèse diî^ — Aa:d/; mais iî = T--, ou df =: — ; substituant dans la première équation, on trouve :

intégrant, on a, doù

Substituant cette valeur de x dans la première équation, oo a,

intégrant, et choisissant convenablement la constante introduite par celte nouvelle intégration,

/ = ^mT.(sin = ^).ou. = y/Csin(/y/Â).

Si donc on prend pour unité de temps celui que la molécule emploie à revenir à sa première position, on aura, v:^a sin (^ tt/). Par conséquent, dans des oscillations isochrones, les vitesses correspondant à la mènu! valeur de t seront toujours proportionnelles à la cojistante a, tpii repiésente ainsi Tiutcnsité du mouvement vibratoire.

Considérons maintenant Tondulation produite dans Téther par les oscillations de cette molécule* L'énergie des vibrations lumineuses, à chaque point de cette onde, dépend de la vilesse de la molécule motrice au moment où elle a produit Imipulsion qui se fait sentir actuellement dans ce point. Ainsi la vitesse des molécules lumineuses en un point quelconque, après un temps i, est celle qui animait la molécule motrice à Tinstant '—fi ^ représentant la distance de ce poiril à la source du mouvement, et rifla longueur de Tondulatiaii lumineuse.

V XVÏl

490 THÉORIE DE LA LUMIÈRE. — DEUXIÈME SECTION, N* XVII. On a donc, en représenlaat par a h vitesse des moiécdes lumineuses, «^(ïsin 2iT{t—%) L

On peut, à l'aidi? de celte luiiiiule, calculer rintenstté des vibrations produites par le concours d'un nombre quelconque de fais<;eaoit lumineux, quand on connaît Tintensité de ces différents systèuies d'ondes et leurs positions respectives.

Je suppose d'abord (ju'ii s'agisse de déterminer les vitesses des lécuies lumineuses dans les vibrations résultant du concours de deux systèmes d'ondes distants Tun de l'autre d'un quart d ondulation, et dont les intensités sont a et a\ Je compte le temps t à partir du moment où ont commencé les vibrations du premier faisceau lumineux. Soient a et a les vitesses que le premier et le second système d'ondes tendentà imprimer à la même nmlécule lumineuse distante de la source du mouvement d'une quantité égale à x; on aura a := a sin [ 2ir{i -^1)1 et îi'" a' sin [371(1-^^^)], ou u'=-a'cos r37r(f-|)l; par cons4

quent^ la vitesse totale Usera égale à a sin 37r(/ -4) j-a'cos 37r(^— g}j Mais en faisant ar^Acosi, et a ^Asini, on peut toujours mettn cette expression sous la forme

Ajcosïsin r2tr(i^--^)l— sini cos r27r{/ ^|) |{t ou

Asin I 27r (/ — 2)— il.

Ainsi, l'onde résultant du concours des deux autres sera de même nature , mais aura une position et une intensité différentes. Les équations A cosi= a, et Asin 1 = a', donnent pour la valeur de A, c est-àdire pour l'intensité de l'onde résultante, y/ÔM-ô^ C'est précisément la valeur de la résultante de deux forces perpendiculaires égales à a et à a\

3. Il est aisé de voir aussi, d'après les mêmes équations, que la position de la nouvelle onde répond exactement à la situation angulaire de la résultante des deux forces perpendiculaires a et a'; car, d'après la formule U= Asin | 27r (f-^)- il, l'intervalle qui sépare cette onde

SUPPLÉMENT AL) MÉMOIRE PnÉCÉDENT. 491

de la première est égal à ^ ; or i est i'angle que la force a fait avec n* \V!L la résyitaiite A, puisque Acosi — a. Ainsi la similitude est complète entre ia résultante de deux forces rectangulaires cl celle de deux systèmes d'ondes distants d'un quart d'ondulation.

Ce résultat était lacile à prévoir» car il est clair que dans cette situation respective des ondes elles n exercent plus d'action les unes sur les autres, étant également éloignées de la discordance et de Taccord. En eflet, les points d un des systèmes d ondes où les molécules sont le plus agitées répondent à ceux de Tautre où le mouvement est nul au même instant, A ta vérité, dans les parties intermédiaires les deux systèmes de vibrations à ia fois tendent à pousser les molécules tantôt dans le même sens, tautut dans des sens opposés, d'oii résultent de?i additions et des soustractions de vitesses; mais il est aisé de voir que les additions sont exactement compensées par les soustractions, en sorte qu'en définitive les vibrations de chacun des deux faisceaux lumineux ne sont affaiblies ni fortifiées par celles de l'autre, et qu'on peut les considérer en conséquence comme s'exécutant séparément et indépendamment les unes des autres. C'est ainsi que deux farces peqjendiculaîres appliquées à un même point lui impriment, cliacune suivant sa dirertioti , , des vitesses égales à celles qu'elles auraient produites séparément,

h. La solution que je viens de donner du problème, dans le cas particulier où il s'agit de trouver la résultante de deux ondes séparées par un intervalle d'uu quart d'ondulation, suffit pour le résoudre dans tous les autres cas. Eu effet quels que soient le nombre des différents systèmes d'ondes et les intervalles qui les séparent, on peut toujours substituer à chacun d'eux ses composants rapportés à deux points communs distants d'un quart dondulatioii. Alors en ajoutant ou retran* chant, selon leurs signes, les vibrations des composants rapportées au même point, on ramènera le mouvement total à deux systèmes d'ondes séparés par un intervalle d'un quart d'ondulation, et la racine carrée de la somme des carrés de leurs intensités sera celle de la lumière totale, C*€st absolument le procédé qu on emploie en stati(|ue pour trouver la résultante d'un nombre quelconque de forces, La longueur de Tondula-

492 THÉORIE DK lA LtJMÎÈRE. — DEUXIÈME SECTION.

N" XVII Lion ié|iond ici à la circonférence dans le problème lie stali(jup, ei Tir*tervalle *rtin f|uart d ondulation entre les systèmes dond^sà rintervaile angulaire d'un quart de circont*^rencc qui sifpare les composante^;.

5. 11 arrivi* le plus souvent, dans les problèmes d'optique» que les intensités de lumière ou les teintes que Ion veut calculer ne résultent que du concours de deux systèmes d'ondes seulement, coninu' dans les anm^aui colorés et les phénomènes de coloration les plus ordinaires que présentent les iames cristallisées; en sorte qu'il est bon di* connaître la (orniute générale (jui donne la résultante de deux systèmes d'ondes séparés par un intervalle quelconque. On prévoit déjà le résultat que Ion olïtiendrait en appliquant à ce cas la méthode génénde que je viens d'exposer; mais je ne crois pas inutile de m'appesantir encore sur la théorie de ces mouvements vibratoire», et de prouver directement que Innde résultant du concours de deux autres, quelles que soient leurs positions relatives, répond exactement, pour son intensité et pour sa situation, à la résultante de deux forces égales aux intensités des deux faisceaux lumineux, et faisant entre elles un angle qui soit à la circonférence entière /omme Tin ter\ aile qui séparif les deux systèmes d'ondes est à la longueur d'une ondulation.

Soit r la dist^nice du centre du premier système d*ondes à la molécule lumineuse que Ton considère, et t Finstant où Ton veut calculer sa vitesse; celle que lui imprime Tonde du premier système est égaie à asin I 27r(^~|) , a étant l'intensité de ce faisceau lumineux. Si Ion représente par a' l'intensité du second , et par c l'intervalle qui sépare les points correspondants des deux systèmes d'ondes, la vitesse résultant du second sera a sin [ 27r(^ — ^4^)1 , et par conséquent la vitesse

totale imprimée à la molécule, asin [ 27r(/-^) 1 +a sin [ 27r (f - -j-jh ou

(a + a ces 27r^j sin | 27r(/ — ^) 1 —a' sin 27r2COs | 2'«"(^ — j)| ; expression qui peut toujours se mettre sous la forme

Acosi sin I 27r(/ — |) 1 —Asin i cosr27r(f — |) 1 , •

SUPPLÉMENT AU MÉMOIRE PRÉCÉDENT. /i93

ou ■ iV XVIf.

Asin[27r(/-|) — «j, en faisant

a + acos f 27rTJ = Acos «, et a'sinf27r^WA sin/.

Elevant chaque membre de ces équations au carré, et les ajoutant. on a,

A*^ = d^ + (3p'-\-i ad CCS (2îr ^) ;

d'où

K—±\/ d^ + d^+ 2 ad cos (2'7r-.).

C'est la valeur de la résultante de deux forces a et d faisant entre elles un angle égal à 27ty

Il résulte de cette formule générale que l'intensité de la lumière totale est égale à la somme de celles des deux faisceaux constituants, dans le cas de l'accord parfait, à leur différence quand ils discordent complètement, et enfin à la racine carrée de la somme de leurs carrés lorsque leurs vibrations correspondantes sont à un quart d'ondulation les unes des autres, ce qu'on avait déjà démontré f^^.

Il est facile de voir que la position de l'onde répond exactement à la situation angulaire de la résultante des deux forces a et d. En effet, la distance de la première onde à la seconde est c, et h l'onde résultante — d, et la distance de celle-ci à la seconde c — -d. Par con-

séquent les angles correspondants sont 27r4, i et 27rj— t. Or en

multipliant par sin i Téquation a + a cos(27r^j = Acosi, et par cos/

l'équation a'sin 27r^ =Asin i, et les retranchant Tune de l'autre, on trouve

rt sini^a'sin (in^—ij,

^'^ J'entends toujours par intensité de la vitesse des inolëcuies lumineuses dans leurs Inmihre, dans ce Mémoire et le suivant, oscillations. \Note marginale,] non pas Tintensitf^ de la sensation , mais la

hU THÉORIE DE LA LlîMIÈIlE.

;S" X\n* fjui,nvf^c lV*quatîoii

DEUXIKME section;

a sin ( 27T

sin * ,

siniismairjiiaia

floinip ht proportion

L'cxpreasion générale Asin f27r(^— ^) — il dt* )a vitesse des molécules dans Tonde résultant du concours de deux autres démontre que cette onde a la même longueur que see composantes « et que les vitc&seê des pointe correspondants sont proportionnelles; en sorte que Tonde résullante est toujours de même nature que ses composantes et n'en dilîère que par Tintensité, cest-à-dirv par k quantité constante ijui uudtipHe les rapports do vitesse de toutes les molécules qui la composent. En la combinant successivement avec de nouvelles ondes, on retrouverait toujours des expressions de même forme, propriété remarquable de cette sorte de fonctions. Ainsi, dans la résultante d'un nond>re ([uelconquc de syslènies d ondes de même longueur, les molécules lumineuses sont toujours animées de vitesses proportionnelles à celles des cotnposantes, aux points situés à la même distance de l'extrémité de chaque onde<

J\ii fait voir dans le second Mémoire que j'ai eu riionneur de présenter à l'Académie W, que pour expliquer la position des anneaux colorés réfléchis, il fallait supposer que la réflexion à la surface des corps transparents a lieu jusqu'à une profondeur d'un quart d'ondulation ''^

^'^ Le docteur Young a très-bien expliqué la tache noire centrale sans cette hypothèse , en rappelant que la vitesse d'un corps élastique qui en choque un autre change de signe selon qu il a plus ou moins de masse

que le corps choqué , et en concluant que les vitesses des molécules lumineuses doivent être affectées de signes contraires dans leur réflexion en dehors et en dedans du verre. [Note marginale de l'auteur,]

^"•^ Supplément au deuxième Mémoire sur la diffraction N' X, SS 18 et 19. Dans la présente édition ce Mémoire est réellement le quatrième parmi ceux que Tauteur a déposés à r Académie des sciences; mais Fresnel ne considérait son premier Mémoire et le complément qu'il y avait joint (n" 11 et IV) que comme un essai de rédaction du Mémoire n' VIll, qui a dû porter, dans une édition complète , le titre de deuxième Mémoire sur la diflraction.

Cl? qu'on pouvait encore démoritier clireclemetit, comme je l'ai lait observer, par des considérations sur la réflexion même. Il résiiilc de la théorie que je viens d'exposer que, malgré la nmllitude d ondulations partielles dont se compose l'onde réfléchie, dans cette hypothèse, elle est aussi simple que Tonde incidente et absolument pareille, à Tintensité près»

6. Je vais appliquer maintenant cette théorie au calcul des couleurs produites par les lames cristallisées dans plusieurs cas j>articuliers, et je m occuperai d'abord de celui où deux lames paralh>les à raie, de même nature et d'égale épaisseur, ont leurs axes croisés sous Tanfjle de i5°* M, Biot a conclu de ses formules que lorsque la section principale du rhomboïde de spath calcaire, dont on se sert [KUir analyser la lumière, est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif de polarisation, la teinte de chaque image doit rester invariable quand on fait tourner dans son plan le système des deux lames croisées. On va voir que la théorie des interférences conduit à un résultat différent. Soit PP' le plan de la polarisation primitive, 00' l'axe de la première lame, et OjO,' celui de la seconde. % *^ Je suppose que la section principale du

rhomboïde de spath calcaire, avec lequel on observe ces couleurs, soit parallèle a PP'. Je représente par i l'angle PCO. Par faction du premier cristal le faisceau lumineux se divisera en deux systèmes d'ondes polarisés, Tun suivant Taxe 00' et fautre \y suivant le plan perpendiculaire EE'. Les

ondulations ordinaires s exécutant dans le ^cristal d'une manière indépendante des ondulations exlraordinairej^, puisque des rayons lumineux polarisés en sens contraires ne s'influencent pas, on doit assimiler ces deux systèmes d'ondes à deux forces perpendiculaires entre elles tu. Ainsi A représentant la vitesse des mo-

On doit âsiitinîter &um h deux foro^ dans lesquels se

pf^rpm^mtMrm les deux systèmes rraiirles faci* des rorp^s

h^' Wii.

lumière l ra nsf )a reti ts , qn oiqu e

sur»

496 THÉO m E DE LA LUMIÈRE. — DEUXIEME SECTION.

N* XVIL ii^€ules dans la liuiuèrc incidente, el a et a leurs vitesses dans (cb fjij sceaux ordinaire et exlraonlinairt', on a iY*(|uation : A^ :^ a^ 4- a''^ f*^, ijni signifie que A étant le rayon dn cercle, ael a' sotjI le mm^ et le cosinus du mftme ani^le. Mais cet angle doit être mvl quand i c»l nul, égal ft 45° quand i est de 65", égal à 90^ quand i est un aiigle droit, el ainsi de suite pour chaque huitième de circonférence; il est donc nalurt 1 de suppiser que cet angle est précisément Tangk i\ On verra d aiHfUïrs que les résultats auxquels conduit cette hypotliè^ic s'acconienl hien avec les faits*

myrmw r^fl^chis et !ea rayons réfracté* s'iot1uena.nU muluelleiiienl {junnd ils sont ra^ mméà à le oième directioiK parce qu'au moment où ils se séparent ils tendent à proriîiir*? fios ondes ind<^|iQndonlea{**}. Pftrcon- EM^jiiBiit, le carré delà vitesse des molécti!e« hanineusf^ dans le faisceau incident doit être i^pl h la somme des carrés des vitesses des molécules dans le faisceau réfléclù et le fflïàceau transmis ^"l C/est au moyen de ce principe que le docteur Young 0 su concilier w>fî édification des anneau % Iran «mis avec une e5tp<5rienc-e tj-ès-i m portante de M. Arago, qui dt^motJtie qu'ils sont d une inteusilé abaoîue ëgale à celle des anneaux réfléchis. Ainsi il paraît hien prouver que les anneaux transmis sont formes par le concours des rayons directs et des rayons réfléchis deux fois dans la lame d'air. Or, pour concilier maintenant cette formation des anneaux transrais avec les conséquences auxquelles j'ai été conduit sur la profondeur de la ré-

flexion è la surface des corps transparents, il faut supposer que. indépendaairaL ut de$ chemins parcouniB, les rayons réflécliis diffèrent d uu quart d'ondulation îles rayons transmis. Cette liypothèse, qui me pi-ali très -probable en cUe-mt^uie * 0 favantagc de donf»er err cpidqite mrit urie nouvdlf roiaiin du princi(ie que je viens d^énoncer. Il n'est pas inutile [>eul-êtrfi de rappeler uu Hîitre principe dénsonlré par Tanalyw* mécanique, qui a beaucoup de rapport avec celui-ci : c'est que la vites^ des mol^ niJcs lumineuses, h mesure que l»^ f>ndes s'éloigueut du centime do vibration . diminue proportion ne Hement h cette distance (***), tandis que retendue de la surface à laquelle se communique le mouvement ondulatoire augmente proportionnellement au carré de la même distance. Ainsi , dans ce cas , comme dans le précédent, les subdivisions des vitesses sont les racines carrées des subdivi-. sions des rayons.

^*5 Celte équation se déduit bien plus naturellement du principe de la conservation des force» vives, auquel je ne songeais pas alors. [Note morgiiiaié.]

^**) 11 faut substituer ici le principe de la conservation des forces vives à Tassinnilation à deux forces perpendiculaires. [Noie marginale.]

(**♦) C'est encore la conservation des forces vives. [Note marginale.]

^'^ Ceir énonce incomplet a été plus lard rectifié par Fresncl, en tenant compte des diflerentes densités de l'élher dans divers milieux. — Voyez le N* XXXI. [E. Verdet.]

\ étant l'intensité de la lumière incidente, A cosf sera celie du faisceau polarisé suivant 00', et AsiniCfJle du faisceau polarisé suivant EE'; enfin, par Tact ion de la seconde lame cristallisée et du

I rhomboïde de spatli calcaire, chacun de ces faisceaux se divisera en quatre, ce qui fera en tout huit systèmes d ondes, dont quatre dans rimage ordinaire et quatre dans Timage extraordinaire.

^fc Les quatre faisceaux composant Tîmage ordinaire seront :

N" XVll.

cos I cos 4 5^ cos ( 45^ + 1) A^ ^

— sin i sin 4 5'' cos {àB°+i) A,. .

cos I sin 4 5** sin (45*' + i) At^ + . P,0,E\,P.

sïn f cos 4 5** sin (45^^ -h i) A,^.,

y et e représentant les nombres des ondulations ordinaires et extraordinaires dans chacune des lames cristallisées, pour l'espèce de rayons que 1 on considère. J ai employé ici la môme notation que dans le Mémoire précédent* Les lettres placées sous chacun des faisceaux constituants indiquent la marche de leurs plans de polarisation, La valeur du troisième faisceau est affectée du signe — , parce que l'extrémité P de son plan de polarisation, au lieu de revenir en P, comme dans les autres faisceaux, est allée en F, Or, d'après la règle déduite des observations de M* Biot, cette opposition dans la marche du plan de polarisation entraîne une différence d'une demi -ondulation, qu'on peut également indiquer par le signe — on par Taddiiion de - au nombre o -f- c des ondulations parcourues.

Le second et le troisième faisceau comptant h' même nombre d ondulations ^ leurs vitesses s ajoutent^ et les quatre faisceaux se réduisent I ainsi à trois :

^^ ^ cos i cos {iâ"* H- 1 ) A^^ î A ^ ^ , y ^ sin i sin (4 5" + i ) A^^

^^ Pour calculer l'intensité de la lumière résultant de leur concours, je les rapporte à deux points séparés par un intervalle d'un quart d'ondulation. Je prends pour le premier de ces points celui qui répond à et pour le second celui qui répond à oH-f+^.

an THÉORIE DE LA LUMIÈRE. — DEUXIÈME SECTION.

N"" XVII. Je trouve pour la somme des composantes rapportées au premier point :

A W^cosi 008(45**+ «)cos[27r(c-o)]+^+w^sinisin(4

AJ^ + ^cos[27r(^-o)]j;

et pour la somme des composantes rapportées au second point :

A|-w-cosicos(45°+i)sin[27r(e-o)]+i/-sinisin(45'*+i)sin[27r(e--o)]| ou

~ A i/- cos (45° + 21 ) sin [27r [e — o)]. Ajoutant les carrés des deux sommes, on a :

A^|i+^œs[27r(e-o)]+icos^[27r(e-o)]+^cos^(45V2i)sin^[27r(e-o)] ou.

A^l^ + ^ cos[27r (e — o)]+ i + ^ sin^[27r(c — o)][2 cos^ (45V 21)— i]j, ou

A^ - + " cos [27r [e — 0)] + 7 sin^ [271 [e — 0)] cos [2 (45° + 2i)]|, ou enfin

A"- - -|-7COs[i27r(e — 0)] — -^-sin" [27r(c — 0)] sin 4î|.

Ainsi l'intensité de chaque espèce de rayons dans l'image ordinaire est donnée par la formule :

Ai/ ^4-- cos[27r(c — 0)] — y sin /|z sin"^ [27r(c — 0)]

dans laquelle 0 et c représentent les nombres de leurs ondulations ordinaires et extraordinaires dépendant de la longueur de ces ondulations (*l de l'épaisseur des lames cristallisées.

Si l'on cherche pareillement l'expression générale de l'intensité des rayons qui composent l'image ordinaire, dans le cas o\l l'on ne fait traverser à la lumière polarisée qu'une seule des deux lames disposée

SUPPLEMENT AU MEMOFRE PBÉCÉDENT. fl99

le façon que son axe fasse tiii angle de 65'^avec le plan de la polarigation primitive, ou trouve :

N' XVII

On voit que ces deux formules ne diffèrent que par le terme --^sîn4ïsin^[27r(e— a)], qui se trouve dans la première et n'esl pas dans la seconde. Par conséquent les teintes doivent i^tre semblables dans tontes les positions du système des deux lames superposées qui font évanouir ce terme, c*est-à-dire iorsquon a i = àh°^ i^^go", 1=^ 1 35**, i:= 180*, etc. C'est aussi ce que Texpérience confirme, et pour ces valeurs particulières de i, le tbéorème de M» Biot est parfai* tcmeiit exact. Mais dans tous les azimuts intermédiaires la teinte produite par les lames accouplées doit différer de lautre. Cette consé^ quenee de mes formules m'avait fait croire d abord que je ufétais trompé dans mon calcul, ou dans les raisonnements sur lesquels il était appuyé» tant j^avais peine à supposer que cette variation de teinte. Si elle avait lieu, eût échappé à un observateur aussi habile que M* Biot. Mais ayant remarqué qu'elle devait être très-légère, je pensât f|n'il était possible qu'il ne feût pas aperçue, et en répétant l'expérience je me suis assuré qu'effectivement la teinte changeait d'une mauière sensible.

Je ne me suis point servi du même moyen que M. Bîol pour croiser les axes des lames à 65^ Après avoir choisi one lame de sulfate dv chaux d'une épaisseur bien uniforme, et l'avoir coupée en deux avec une règle et un canif, j'ai superposé ces deux morceaux de façon que les côté>^ formés par la section commune fissent entre eux un angle de A 5^, ce que je pouvais exécuter à moins d'un degré près avec un rapporteur; tandis que par le procédé de M. Biot on se trompe aisément de 9 ou 3 degrés sur la direction des axes, si Ion n*y apporte le plus grand soin.

7* Les rayons pour lesquels e — o est un nombre entier, ou un uombre entier plus un demi, ne varient point d'intensité, quel que soif

l'azimut dans lequel on tourne le système des deux lames» car alors \v

N' XMI. terme —^sinliisin^[2n{e — o)] s'évanouit. Mais les rayons pour lesquels e — o est un nombre entier sont ceux qui ont le plus d'intensité dans Timage, comme il est aisé de le voir par l'inspection de la formule, car dans ce cas elle devient égale à A; et les rayons pour lesquels e — o est un nombre entier plus un demi sont au contraire exclus de l'image, puisque cette valeur de e — o substituée dans la formule donne zéio. Ainsi ce sont toujours les mêmes espèces de rayons qui dominent dans l'image et qui en sont exclus; par conséquent, les variations de sa teinte doivent être assez légères. Aussi n'éprouve-t-elle que des changements peu sensibles dans la nature de sa couleur; mais la vivacité de cette couleur varie d'une manière plus prononcée et assez apparente pour (ju'on puisse s'en convaincre en observant le phénomène avec attention.

D'après la formule ces variations portent pnncipalement sur les deux espèces de rayons pour lesquelles e — o est égal à un nombre entier plus un quart, ou moins un quart; car alors dans le ternie — ^sin4ïsin^[27r(e — o)] le facteur sin' [27r(e — o)] devient égal à i. Quand i est égal au quart du quadrant, sin /ii = i, et le terme atteint son maximum. C'est alors que la teinte doit être la plus vive, puisque les rayons hétérogènes mêlés avec ceux qui dominent dans l'image sont parvenus à leur dernier degré d'affaiblissement. Au contraire, lorsque i est égal aux trois quarts du quadrant, sin ii devenant négatif, le terme — ) sin /i? sin" [27r(e — o)] change de signe, et les rayons qui dominent dans l'image se trouvent alors mêles avec la plus grande quantité possible de rayons hétérogènes. C'est donc dans cet azimut que la couleur de l'image est à son minimum d'intensité. L'expérience confirme parfaitement ces consécjuences de la théorie.

On peut rendre beaucoup plus sensibles les variations d'intensité des rayons pour lesquels c — o est égal à n-±j, en employant de la lumière liomogène, au lieu de lumière blanche, et choisissant précisément cette espèce de rayons, que l'on reconnaît aisément à la propriétt' de donner des images d'égale intensité, lorsque l'axe d'une des deux

lames est parallèle ou perpendiculaire an plan primitif de poiari* N° XVIL sation,

8. Je vais appliquer maintenant ia môme ihéoric à quelques-uni* des phénomènes les plus singuliers que présentent les couleurs développées dans les lames cristallisées, lorsque la lumière est modifiée par la réflexion complète.

Je m occuperai d abord du cas où la lumière polarisée , après avoir traversé nue lame mince cristallisée, est ensuite réfléchie deux fois dans Tintérieurdu verre sous l'incidence qui produit la dépoîarisation ronq>lète. Je suppose, comme dans mon dernier Mémoire, que Taxe de ce cristal Fait un angle de 65'' avec le plan de la polarisation primitive et le plan de réflexion. Soit PP' la projection de ces deux plans

qui, en conséquence de celte hypothès'e, Fig,-2. doivent coïncider ou être perpendiculaires

entre eux; soit 00' Taxe de la lame cristallisée^ et SS' la sef^tion principale du rhomboïde de spath calcaire, avec lequel on observe les couleurs. Je représente par i l'angle PCS qu'elle fait avec le plan primitif de polarisation. F étant l'intensité de la lumière incidente, les deux faisceaux, datis

h*squels elle se divise par lactioii de la lame, seront w-F^, et t/- F,; 0 et e représentant toujours les nombres des ondulations ordinaires et,extraordinaires exécutées dans ce cristal par Tespèce de rayons que Ton considère. Par Teffet de la double réflexion dans l'intérieur du verre, chacun de ces faisceaux se divise en deux systèmes d*ondes polarisés Tun parallèlement et Tautre perpendiculairement an plan d mcidence, celui-ci étant en avant d'un quart d'ondidation relativement au premier. Enfin Je second rhomboïde ^'^ de spath calcaire divise chacun de ces quatre faisceaux en deux autres. Je ne considérerai

^** Je suppose ici, comme dans le Métnmre prêcMmi^ que în polansation primi-

tive est produite pwr un Hïomîimdc de

^patli catcatre.

N* \V}h que ceux qui passent dans rimage ordinaire, l'image extraordinaire étant toujours de la feinte comidémen taire. Les quatre faisceaux lumineux, qui concourent à là lormation de Timage ordinaire, sont:

P;0,P,S. EOJ,S. P,E',P,S. I\E\T\S'.

Je rapporte ces quatre systèmes d ondes à deux points communs distants d'un quart d'ondulation, à ceux, par exemple, qui répondent à o et à 0 + ^» Je trouve pour la somme de toutes les composante** rapportées au premier :

F ^ sin 1 4- ^ cos ï cos [ 31T (c— 0 -4* ^ )] — i sin i ces [ 27r {e — o)]k

F 1^ sin I — ^ cos l'sin [air (e ^ f>)] — ^ sin i cos [âir {e — o)] j;

et pour celle des composantes rapportées au second :

F !^ cos i + * cos ï cos [271 [e — o)] — - sin i cos [27r («^ ^ ^ t)]1 ^ oti

Fj- cos ( + - cosi cos[27r(e — o)] — i sin i sin[27r(e — o)]{-

I^a première de ces expressions équivaut à

F U sm i — - sin [i -f- 27r [e — o) j |, et la seconde à

F - cos 1 4- - cos [i+ 27r (e — o)]|;

ajoutant leurs carrés, on trouve pour celui de la résultante :

F^ U + y — - sin i sin [i + 27r (e ~ o)] + - cos i cos [i + 27r (e — o)]|.

FMi+icos[2i-h27r(e — o)]|; Ainsi la résultante est égale à :

expression générale de l'intensité du rayon dans l'image ordinaire.

9. Lorsque la lumière polarisée, qui a traversé la lame cristallisée, N" XVIJ. est reçue immédiatement dans le second rhomboïde de spath calcaire , sans avoir été modifiée par la double réflexion, la section principale du second rhomboïde étant parallèle à celle du premier, l'intensité des rayons qui composent l'image ordinaire est donnée par la formule :

Ainsi la teinte de l'image réfléchie est la même que celle de l'image directe lorsque / est égal à zéro.

Quand il est égal à 90°, la première expression devient :

^sj -2-l^^^[^^{^^^)h

ce qui nous apprend que l'image réfléchie se colore de la teinte complémentaire.

Lorsque i est égal à 45°, l'intensité des rayons dans l'image réfléchie est représentée par

FyJ\+lcos[2it{e-o+\)];

c'est la teinte qui résulte d'un changement d'un quart d'ondulation dans l'intervalle {c—o)d, ou celle que donne la même lame quand la lumière polarisée a éprouvé les deux réflexions complètes avant de la traverser.

Enfin, si l'on suppose dans la formule i égal à un quart ou à trois quarts de quadrant, on aura

^Vï+^^^^[^^(^""^"+"g)]'

Ce sont les deux espèces de teintes que développe dans la même lame la lumière polarisée modifiée par un nombre impair de réflexions complètes. Tous ces résultats de la théorie s'accordent parfaitement avec l'expérience.

N"" XVII. 10. Pour faire mieux ressortir les conséquences que Ton doit tirer

de la formule F 1/- + ^ ces [qi+ 2^(^ — 0)], je vais la comparer à

celle qui exprime 1 mtensité des rayons de l'image ordinaire, lorsque, toutes les autres parties de Tappareil restant dans la même situation, on supprime les prismes accouplés, dans lesquels la lumière éprouve deux réflexions consécutives. Je suppose donc que la lumière polarisée, après avoir traversé la lame cristallisée, est reçue immédiatement dans le rhomboïde de spadi calcaire. Alors Timage ordinaire est formée par le concours des deux faisceaux

^cos(45^-i)F, ^sin{45-^0F.

Pour avoir leur résultante, on peut se servir de la formule générale qui donne immédiatement la résultante de deux systèmes d ondes lumineuses, et Ton trouve :

Fi/ i 4-sin (45** — i) ces (45* — i) ces [air (e— 0)],

Fi/ -+-COS 3ïcos[27r(e — 0)].

Cette formule fait voir que plus i s'approche de 45**, plus la teinte de l'image s'affaiblit, et qu'enfin lorsque i est égal à 45**, l'image doit Atre absolument incolore, puisque l'expression générale de l'intensité

des rayons devenant alors Fi/ - et étant ainsi indépendante des valeurs particulières de e et de 0, ne varie point avec la longueur des vibrations lumineuses.

Dans la formule F i/- + -ces [21 + 271(^ — 0)] du cas précédent, au contraire, quelle que soit la valeur de i, les variations de e et deo font toujours passer cos[2i + 27r(e — o)]par toutes les valeurs possibles, depuis +1 jusqu'à — 1. Par conséquent les intensités des rayons de différentes espèces se trouvent toujours aussi inégales, et la teinte de

SUPPLÉMEKT Al MEMOIRE PRÉCÉDENT,

rinmgê, tout en cijangeant de nature, doit conserver h même degré N'' XVII. de vivacité.

Il résulte au contraire de la formule FW -H--cos 21 ces [27r(e— o)] que, dans le second cas, la rotation dti rhomboïde fait varier l'intensité de la couleur sans changer sa nature, l^n effet, les ondulations de différentes espèces s'exécutent indépendamment les unes des autres^ non-seulement à cause de la différence d'origine, mais encore parce que dans leur marche leurs mouvements se contrarient aussi souvent qu'ils s'accordent: les rayons divers qui composent la lumière blanche exerçant donc sur Torgane de la vue des actions distinctes et indépendantes^ la sensation de leur mélange n*est, à proprement parler, que le mélange des sensations partielles qu'ils lui font éprouver. Or il esl très-naturel de supposer que la force de la sensation est proportionnelle au carré de la vitesse des molécules lumineuses dans leurs oscillalions. Ainsi, pour juger de la nature de la teinte, il faut comparer les carrés des intensités des rayons de diverses couleurs, c'est-à-dire, dans le cas dont d s agit, les différentes valeurs de Texpression qui est sous le radical. Or la seule quantité variable étaîit cos 21 cos [^^^(e— 0)], les variations répondant aux différentes espèces de rayons seront toujours dans le même rapport, quelle que soit la valeur de 1, et seule^ ment plus ou moins faibles relativement au terme constant - . On doit donc en conclure que la teinte ne changera pas de nature, et qu'elle n'éprouvera d'au Ire altération que celle qui résidte du mélange d'une plus ou moins grande quantité de lumière blanche.

1 1 . J'ai dit, dansle Mémoire précédent^'î, qu on pouvait imiter les phénomènes que présentent les plaques de cristal de roche taillées perpendiculairement à Faxe, en plaçant une lame cristallisée parallèle à Taxe cîitre deux systèmes perpendiculaires de prismes accouplés, et de façon que son axe fît un angle de 45** avec chacun des deux plans de réflexion: qu'alors, non-seulement la rotation d'un des rhomboïdes faisait

«■ K* XVI.S ^M, p. /iOcnoie j.

Tî

N* HVïl, changer ta natarii des teintes, mais encom f|ue cm t^iintes restaienl consUintes <]iiatHl un faisait tourner les deux rhomboïdes dans le même senî* et de la iiièaie quantité aiigulairc; mais je nai pas donné k raison de cette loi i^marquahle. Je terminerai ce supplément par râ[>(jlleatiQn de U théorie des interférences à ce phénomène, que je coTisidérerai dans tonte sa généralité.

Soient PP^ le plan de h polarisation Fig.3. ^^ H, primitive; l\W le prentier plan dans lequel,

la lumière polarisée éprouve deux réflt!xionH romplètcs; 00' Taxe de la lame criHtiillisée; [liR\ le second plan de réflexion» et SS' ia section principale daj / / \ "^ ^^ second rhomboïde» Je représente ranglej PCS par i, l'angle PCR par r, rangl«!| FCB, par r\ etTangle PCO par a. L'imagej ordinaire sera formée par le concour»

des huit faisceaux suivants :

j , PtR,0,R„S* -H ces r ces (a — r) cos (/ — a) cos (r — f] F^ -,i

2 . P,R^O,T|,S, -h cos r Gos (a — r) sîn (/ — a) sïn [r — ï) F* ^i

J, P,R,E\H/,S'. — cos r sin {a r) sin (r — a) cos (r — i) F^ ^.i