XXXIX. EXTIUIT D'UN MéMOMB SUR LA DOUBLE REFRACTION
lu a l'Institut le 36 novembre 1811.
♦ ta) [Note préliminaire A'É. Yerdet sur l'importance de cet Extrait, qui, lu une semaine après la présentation du Mémoire N" XXXVIII. présente, fompan5 à celui-ci , un progrès considérante. ] 309
1. La vitesse du rayon dit ordinaire, supposée jusqu'alors constante dans un même cristal à un axe ou à plusieurs axes, varie, en réalité, dans un cristal à deux axes, avec la direction 3oo
}. Principe nouveau, suggéré par la théorie, confirmé par une expérience
sur la topaze 3i 0
3-5. Ih-emière vérification, par le moyen que fournit la diffraction de mesurer la différence de marche des rayons lumineux. — Seconde vérification, à l'aide de deux prismes isoscèles de topaze, tirés d'un même morceau et collés bout à bout. — Description de ce pètit appareil. — Effets obtenus sur Ic9 deux images 3i 1
riuumii.
XXXIX. Mesures de divergence peu différentes de celles de Itiot . — Cette théorie
(j- 8, concorde a\ec la loi du produit de* deux sinus relative à in différence
des carres des vitesse» des rayons ordinaires et extraordinaires, et avec la règle de Biot pour déterminer la direction des plans de polarisation. — Renvoi, pour la démonstration de la foi du produit
de» sinus, au Mémoire précédent (SS 36-35 ) 3i-i
fl-io. Comment la non-interférence des rayons polarisés à an^lc droit a conduit l'auteur au principe de la tiussybhsauté des vibbatiqhs limiuki ses , hypothèse à laquelle s'appliquent sans dilliculté tous les calculs if interférences 3 1 'i
i i . Constitution de la lumière polur^ée et de la lumière ordinaire dans l'hypothèse des vibration* transversales 3 t :>
m-ift. Résumé des idées théoriques développées dans le Mémoire XXXVIII et des principes qui s'en déduisent. — Cristaux à un axe. — Définition de l'élasticité. — Définition mécanique du plan de polarisation , etc. — Application aux phénomènes des lames cristallisées.
— Vitesses différentes de propagation dans différentes directions.
— Il suffit d'étudier la loi des vitesses des rayons ordinaires et extraordinaires dans les différents cristaux pour déterminer les autres phénomènes de la double réfraction 3i 5
l5. lm des vitesses à déduire de l'expérience. — Elle parait rigoureusement représentée par un ellipsoïde de révolution pour le spath calcaire: mais la surface de révolution donnant la loi des élasticités sera engendrée par une courbe du quatrième degré. — Elle ne présentera aussi qu'un maximum et un minimum du rayon vecteur, condition nécessaire pour que la lumière ne se divise qu'en deux st/xtètnrs d'ondes. — Dans le cas où la double réfraction est faible. cette surface se confond avec l'ellipsoïde (a) 3 1 7
* (ai | -Hypothèse bienlAt rectiliév,- - Sole de //. de Senarmont. j 3 1 8
Construction pour la détermination 'les vitesse* dans un plan tangent
à I onde 3 1 H
1 7. Cas de Y ellipsoïde de révolution qui répond aux cristaux à un axe 3 1 8
18. Lorsque Yellipsoùle diffère peu d'une sphère, il représente les élasticités du milieu avec une exactitude suflisante, puisqu'il ramène à la loi d'Huvghens 3 1 9
Si .
rl
riiiuariiw.
XXXIX. La règle de Malus sur la direction du plan de polarisation résulte éga-
lement de In construction indiquée par l'auteur 3iq
iy. Im générale de la double réfraction, représentée à l'aide d'uu ellipsoïde
dont les trots diamètres conjugués rectangulaires sont inégaux 3 a o
Directions des deux axes du cristal suivant lesquelles les rayons ordinaires et extraordinaires se propagent avec la même vitesse 3 -\ o
«o. Diamètres perpendiculaires aux sections circulaires appelés par l'auteur axes optiques. — Suivant la remarque d'Herschel, ils varient avec l'espèce des rayons (a) 3s i
* (a) \ Soie d'E. Verdet sur ce dernier paragraphe, j 3 ai
1 1 . Règle de Biot pour déterminer dans les cristaux à deux axes la direction des plans de polarisation, déduite, par l'auteur, des propriétés géométriques de l'ellipsoïde, ainsi que la loi du produit des deux sinus. 3-J9
a-i. De cette vérification reportent deux théorèmes, relatifs à l'ellipsoïde ,
qui peut-être n'avaient pas été remarqués 3:»3
•»3. Conséquences nouvelles de la même théorie : i° variation de la vitesse des rayons dits ordinaires; a0 dans le cas où elle atteint son maximum, celle du rayon extraordinaire reste constante 3a3
Dans les cristaux où la douhle réfraction a peu d'énergie, ses lois peuvent être représentées à l'aide d'un ellipsoïde dont les trois axes conjugués rectangulaires sont généralement inégaux; et, plus rigoureusement, en substituant à Yellipse génératrice une courbe du quatrième degré, dont l'équation est déterminée par l'hypothèse de Yellipticité des ondes. — Développements théoriques et applications . 3'j'»
•x"]. Considérations théoriques sur la constitution des ondes lumineuses et
sur l'hypothèse de la transvrrs4Litk des vibmtioxs (a) 3 a G
* («) [ ;Votc jînafc d'E. Verdet, qui signale cet Extrait et le Mémoire qui le précède comme étant peut-être les plus intéressants des écrits jusqu'alors inédits d'A. Fresnel. — Observations sur les lacunes que présente sa théorie mécanique de la double réfraction. — Calculs de l'éditeur d'où résulte la confirmation analytique des faits découverts par fauteur. | 3 «6
XL. Note sir la double réfraction da.ns lbs cristaux à delx axes. insérée au Moniteur du m décembre i8si.
Contrairement à l'hypothèse admise jusqu'à présent, Fresnel a reconnu que, dans les cristaux à deux axes, les rayons dits ordinaires éprouvaient des variations de vitesse et de réfraction analogues à celles des rayons extraordinaires. — Énoncé de la construction au moyen de laquelle il représente les lois générales de la double rétraction par un ellipsoïde à trois axes inégaux. — Développements et conséquences 33 (
\ote additionnelle sur l'avantage de sa construction, qui représente par un simple ellipsoïde tes lois des vitesses des rayons orditutires et extraordinaires dans les cristaux à un axe et à deux axes, et donne en même temps la direction de leurs plans de polarisation. — Il l'ait observer, en terminant, que, tpour présenter des lois aussi rora- -plexes sous une forme si simple, i7 fallait être dans le secret de la " cause méca nique de la double réfraction, -n 3 3 3
XLI. KxTRAIT DU StWLÉMBXT Ali MÉMOIRE SIR LA DOUBLE RÉFRACTION, préseuté h l'In-litut le «Hi novembre i8ji [lu le i3 janvier t8*j |.
i. L'hypothèse du Mémoire .V XXXVIII sur la loi d'élasticité dans le» cristaux biréfrinffents ne s'accorde pas avec la loi d'Iluyghens sur le spath calcaire, ce qui pouvait faire supposer que l'ellipsoïde ne représentait qu'approximativement la loi d'élasticité pour les cristaux qui présentent beaucoup moins de différence de vitesse entre les rayons ordinaires et les rayons extraordinaires. — L'auteur est parvenu, par un calcul très-simple, à découvrir celte loi, en admettant l'existence, dans certains cristaux , de trois axes rectauffu laires d'élasticité 33,i
■j. Question de la participation du corps diaphane aux vibrations lumineuses. — Elle peut rester indécise 33ii
3. Énoncé du principe d'après lequel on détermine Y intensité de r élasticité dans une direction quelconque, lorsque l'intensité, suivant chacun de ces trois axes, est connue 330
fi/i<> ŒUVKES D'AUGUSTIN FRESML
XLI. h. Démonstration de ce principe dans le même Supplément. — On en déduit la formule qui donne la composante v* de la foret élastique parallèle au déplacement. — Considérations mécaniques à ce sujet. — Deux directions suivant lesquelles cette composante est un maxi-
."». Prenant r pour rayon vecteur, l'auteur appelle surface d'élasticité la surface représentée par l'équation qui donne la valeur de r* :
v1 = a1 cosa X -f- 5* cos2 Y -t- c* cos* Z ,
dans laquelle X , Y", Z représentent les angles que le rayon vecteur Tait avec les trois axes; a, b et c sont alors les demi-axes de la surface. — Conséquenres géométriques et mécaniques. — Cette surface coïncide sensiblement avec 1 l'ellipsoïde indiqué au premier Mémoire, lorsque a, 6 et c différent peu; ce qui a lieu généralement, excepté pour le tpath calcaire 338
ti. Pourquoi il ne peut y avoir que deux axes optiques, et comment cette
équation couduit à la loi d'Huyghens 33o,
Pour un point de mire supposé tres-éloigné du cristal , les ondes sont sensiblement planes, et la vérification de la surface d'élasticité par la loi d'Huyghens est facile. — Dans le cas contraire, il devient nécessaire de connaître la forme de» ondes, pour calculer, |»ar le principe du plus court chemin, la direction du rayon visuel 33q
<»-■<>. A l'aide du principe de la composition des petite mouveuunu, on démontre aisément que la surface d'élasticité sera, pour les cristaux à un axe, un ellipsoïde de révolution, d'où ressort l'accord de la construction d'Huyghens avec l'équation d'élasticité 34o
i i - L'auteur n'a pu démontrer le théorème que pour le cas où Ponde est éloignée d'une distance très-grande relativement à la longueur d'une ondulation; ce qui est, au surplus, le cas le plus ordinaire des observations de ce genre 3ào
i •>. Toutes les lois connues de la lumière peuvent se déduire du principe de la composition des petits mouvements, en supposant aux onde» lumineuses la constitution indiquée par l'auteur. — Observations relatives aux objections élevées par Poisson , sur l'application de ce principe 3 h i
i3. Démonstration de ce théorème, que la vitesse de propagation,
pcrpetuliculairement au plan de Fonde, est proportionnelle à la racine carrée de F élasticité mite m jeu 3 'j i
Conclusion. — -Probabilités en faveur de celle théorie 3/i-j
SlPPLBMRNT AU MÉMOIRE Sl'R LA DOUBLE RÉFRACTION.
pié*enb! h l'Institut le 96 novembre i8ai [ 9 a janvier >8ga j.
L'hypothèse du Mémoire .V XXXVIII sur la loi <f élasticité des cristaux biréfringents , représentée par uo ellipsoïde, ne s'accorde pas avec la loi d'Iluyghens pour le spath calcaire (ce qui doit faire supposer qu'elle n'était qu'approximative pour les autres cristaux). — Par un calcul très-simple, l'auteur est arrivé à découvrir cette loi. eu admettant, dans certains cristaux, l'existence de trois axes rectangulaires d'élasticité 3fi 3
Question de la participation du corps diaphane aux vibrations lumineuses. — Elle peut rester indécise '.\hh
Énoncé du principe d'après lequel on détermine ['intensité de télasticité dans une direction quelconque .* 34 A
Démonstration de c« principe — Figure explicative 3 h f>
*,) [ Vole sur la propagation du mouvement ondulatoire d'une tranche à l'autre. — Considérations mécaniques qui donnent lieu de penser que le cristal de rocke n'est pas rigottreusetnent nu cristal à un are. — Expérience projetée.] 3/17
a'1, b*, cs représentant les élasticités relatives du milieu pour les déplacements parallèles aux trois axes rectangulaires, et X, Y, Z, les angles que fait avec les axes a, b, c, la direction quelconque du déplacement, dont la longueur est prise pour unité, la valeur de (a résultante / sera
\Jdl ros* X -h bl cos* Y -+- c'1 cos'-' Z ; et les cosinus des angles qu'elle fait avec les trois axes sont respec-
a1 cos X t' a» Y r* cot Z . , • w
livement : ^ - . — y — , — y — .
L'expression de la composante r, parallèle à la direction du déplace-
incnl, ou au rayon recteur, répond à l'équation cherchée de la surface d'élasticité, pour laquelle on aura ainsi :
«r2 - fl' cos2 X h A5 cos2 Y r2 cos? L
Kilo est du quatrième degré, en remplaçant les coordonnées polaires par les coordonnées rectangulaires, el se confond sensiblement avec YelUpsoide, lorsque a, b et r diffèrent très-peu M<\
Démonstration analytique du tliéorème sur lequel repose la construction donnée pour déterminer la direction des plant de polarisation de» rayon* ordinaires et extraordinaires et leur vitesse de propagation .... 35 1
Démonstration analytique de ce théorème : Im surface d'élasticité de tout milieu à trois axes peut, comme F ellipsoïde, être coupée suivant un cercle par deux plans passant par Taxe moyen et également incline* *ur chacun de* deux autres axes
Conséquences : Quelle que soit l'énergie de la double réfraction d'un milieu à trois axes rectangulaires d'élasticité, il aura toujours deux axes optiques, si a, b et c sont inégaux, el il n'en aura que deux. — Propriétés des axes optiques •. . . 354
Conditions pour que les art* optiques soient perpendiculaires entre eux. — Même étendue, dans ce cas, des variations du carré de la vitesse pour les rayons ordinaires et extraordinaires 35F.
Le point lumineux étant supposé suflisammcnl éloigné, on n'a à considérer que des ondes planes, et l'on n'a à déterminer, quant aux rlTcls de la double réfraction , que les directions relatives du plan de l'onde en dedans et en dehors du cristal, d'après les vitesses de propagation , dans ce milieu, de chaque système d'ondes. — Il faut, dans ce cas, pour qu'il y ait séparation sensible des images, que la plaque cristallisée soit prismatique 3ô5
Analyse du cas où Vonde plane incidente est parallèle à la face d'entrée du prisme. — Figure explicative. — Détermination graphique du plan de l'onde émergente. — Développements théoriques. 350
Examen du cas où le point de mire est trt*-r approché. — Si l'on emploie un cristal à double réfraction très-forte, dans lequel la courbure des ondes diflère beaucoup de celle d'une sphère, il devient nécessaire de connaître la forme de ces ondes. — Pour plus de simplicité, l'auteur suppose le point de mire dans Tintérietir du
ris*»*»»*.
XLH. cristal. — Figure explicative. — De la direction de l'élément de l'imde emergeiile qui vient tomber sur l'ouverture de la pupille dé|>endent la positiou de l'image du point lumineux sur la rétine et, conséqueuïment, la direetion*du rayon visuel qui est perpendiculaire à l'élément de l'onde. — Cette normale est le rayon de plus prompte arrivée sur le milieu de l'élément 3S>«)
tfi-if>. Pour la détermination de ce rayon, il faut calculer l'équation de la surface de l'onde. — Figure et développements relatifs à la propagation des ondes émanées d'un centre donné. — La question se réduit au calcul d'une surface enveloppe 36o
16. Pour la solution du problème, il faudrait employer : i" l'équation de
la surface d'élasticité, a' l'équation de relation qui réduit à deux les trois variables X, Y et Z, 3° l'équation du plan sécant, ft" l'équation de conditiou pour le plus grand et le plus petit rayon vecteur compris dans ce plan. — Suit une partie du calcul non terminé (a). 36?
* (a) [Note d'E. Verdel. — Renvoi m Mémoire suivant, SS i3 et i4.J 363
1 7. Calcul pour te cas des dieux axes égaux. — La surface d'élasticité
devient surface de révolution, et celle de l'onde aussi. — L'auteur arrive par voie synthétique à cotte conclusion , que V ellipsoïde engendré par la rotation de l'ellipse «2xs-»-fr,tf'J = «268 autour de son axe des x (dont la moitié est ici b) sera la surface de Y onde extraordinaire, tandis que celle de ïonde ordinaire sera la sphère décrite d'un rayon b 363
1 8. Simplicité remarquable de cette théorie. — Sans autre hypothèse que
d'admettre dans le cristal deux axes égaux d'élasticité (ce que la forme rhomboïdale attribuée par Haûy à la molécule intégrante du . carbonate de chaux semblait indiquer d'avance) , elle conduit à déterminer la forme des ondes dans ce milieu , et concorde avec la
construction d'Iluyghens 36û
19-00. L'auteur termine ce Supplément par la démonstration d'un principe fondamental, celui d'après lequel il déduit la vitesse de propagation des ondes planes de l'énergie des forces élastiques qu'elles mettent enjeu 365
ai . Idée qu'avait eue l'auteur de ramener les questions relatives à la propagation des ondes dans un milieu élastique aux problèmes des cordes et des surfaces vibrantes 36;
