III

XLIII. Second supplément al Mémoire sur la dolblk réfraction, lu à l'Institut le 96 novembre 1891 [3i mars 1899 ).

1 . L'existence de trois axes rectangulaire» d élasticité , admise hypothétiquement au premier Supplément , dans le calcul de la surface d'élasticité des cristaux à deux axes, est en réalité (ainsi que l'auteur l'a reconnu depuis) une propriété générale de tous les milieux élastiques. Lorsque les trois axes des molécules restent parallèles dans toute l'étendue du milieu, il présente les propriétés des cristaux à deux axes optiques ou à un seul. — Ce parallélisme parait avoir lieu dans toute cristallisation régulière. — Anomalie qu'offre toutefois, à cel égard , le cristal de roche 30q

i. Dans ce second Supplément il ne sera question que des principes fondamentaux de l'élasticité des milieux, et des conséquences les plus simples qui en dérivent relativement à leurs propriétés optiques. — L'auteur va d'abord démontrer le principe général qu'il vient d'énoncer i-jti

Celte démonstration débute par la détermination, en grandeur et en direction , de la force résultante produite par trou déplacements rectan- Ijulaires différentiels égaiu, pris pour unité, ces petits déplacement* étant considérés au point de vue statique, isolément, sans dérangement du reste du milieu 370

4-5. Calculs (avec figure explicative) qui conduisent à cette conséquence.

que la composante produite, dans le sens d'un axe, par le déplacement suivant un des deux autres, est égale à celle que produit, dans la direction de celui-ci , un déplacement pareil suivant le premier axe 3 7 1

li. Ce théorème, étant démontré par l'action individuelle de chaque molécule M sur le point A, l'est en conséquence pour la somme des actions exercées par toutes les molécules du même milieu sur le même point matériel. — De là se déduisent les expressions analytiques des trois composantes du petit déplacement dont il s'agit , parallèlement à chacun des trois axes rectangulaires, expression ne renfermant que six constantes arbitraires, et les cosinus des angles X, Y, Z déterminent la direction de la résultante avec ces axes. . . 370

7. Procédant ensuite synlliéliquement, i au leur arrive à démontrer qu'il existe toujours une direction pour laquelle la résultante des trois

TABLE ANALYTIQUE Dt TOME II. 651

rutaim.

\LIII. tantes est dirigée suivant la ligne même du déplacement. — Calculant en effet d'après cette condition les angles que fait la direction cherchée avec les axes rectangulaires, ou est conduit si une équation du huitième degré, qui doit avoir au moins une racine réelle 37ti

8. De ce résultat se déduit facilement la conséquence qu'if existe deux

autres axes d'élasticité perpendiculaires entre eux et au premier 378

y. Si donc les axes d'élasticité relatif» à chaque molécule sont dirigés de la même manière dans toute l'étendue du milieu, il doit présenter les propriétés optiques déduites de la supposition de trois axes d élasticité, — Ce qui suppose le parallélisme des faces de ses particules, ou des lignes homologues de ses groupes moléculaires 3^8

Anomalie que présente, à cet égard , le cristal de roche. — Observations d'Herschel à ce sujet 37;»

1 o. Considérations sur la question de savoir si un cristal peut avoir phts de

deux axes optiques 379

ti. Dans le cas du parallélisme précité, le cristal, ainsi qu'on l'a démontré, ne peut avoir que deux axes optiques. — Dans ce même cas, il ne peut jamais offrir que deux images des objets. — Démonstration analytique de ce principe 379

lyW deux modes de vibration qui se propagent sans déviations de leurs oscillations, et dans lesquels on peut toujours décomposer l'onde incidente , s'exécutent dans des directions rectangulaires, c'est-à-dire de la manière la plus indépendante 38a

1-2. On a raisonné jusqu'ici dans l'hypothèse du point lumineux infiniment éloigné. — On a reconnu facilement qu'il ne peut y avoir de même que deux images produites, lorsque ce point sera assez voisin du cristal pour qu'on ait à tenir compte de la courbure de l'onde. — Le nombre des images dépend de celui des plans tangents qu'on peut mener par une même droite aux surfaces des divers systèmes d'ondes en lesquels la lumière se divise dans le cristal, et du nombre des points de contact. — Développements géométriques (accompagnés de deux croquis) et conséquences 38a

i3-iô. Conséquences rendues plus évidentes par le degré de l'équation des deux ondes. — CmIcuI (non terminé) sur les plans tangents à la surface de l'onde. — Au lieu de poursuivre le calcul direct, qui

<cwi>*>

ti

ruuunn. n»r«

\LIIf. exigeait des éliminations trop laborieuses, l'autour est arrivé par voie synthétique à l'équation de la surface de Tonde, dont il a vérifié a posteriori l'exactitude :

x3 ■+- y* -+- ■ a* x' m- 6» / + c' z*, a* (6* + cV- 6' (a* -+• c')

16. Considérations d'analogie qui ont conduit a l'équation [A]. — Véri-

fications nécessaires effectuées 386

1 7. Détail du calcul de cette équation 387

Eu lui substituant l'équation polaire, on pourra calculer la longueur

du rayon de l'onde, c'est-à-dire sa vitesse de propagation suivant

la direction même du rayon 388

18. Les intersections de la surface [A] avec chacun des plans coordon-

nés sont le système d'une ellipse et d'an cercle 388

19. L'équation générale de la surface de l'onde n'est décomposable en

deux facteurs du second degré que lorsque deux des axes sont égaux. — C'est alors le produit de la surface d'une sphère par relie d'un ellipsoïde de révolution 389

10. Application de la construction d'Huyghens au cas général des taux à deux axes. — Position de la droite par laquelle doit mené un plan tangent à chacuue des deux uappes de la surface représentée par l'équation [AJ. — Croquis explicatif 389

•j 1 . Directions de* axes données par l'observation. — Quant aux trois constantes a, b, c, qui représentent les vitesses de propagation de» vibrations parallèles aux x, y et t, elles peuvent être déterminées, soit par les observations ordinaires de réfraction , soit par les procédés beaucoup plus précis que fournil la diffraction 3y«

-.»•!. De la construction d'Huyghens appliquée à l'équation [A] on peut déduire des formules générales donnant la direction des rayons réfracté» pour toutes les incidences (comme Malus l'a fait pour le spath calcaire). — Méthode approximative applicable aux cristaux dont la double réfraction est faible 39 1

a3. Vérification de la foi de* vitesses' \w une expérience de diffraction. —

Explication et fifptre 39*

ih. Application du mol rayon dnm in théorie des ondes. — Remarque

d'Huyghens a ce sujet .... 3g3

ntutinn.

XLJII. 35. Développements théoriques, avec Jigure 3<)3

ti6. D'après cette déGnition , on voit que Yellipsoïde construit sur les mêmes axes rectangulaires que les surface» d'élasticité donne rigoureusement, par les deux axes de la section diamétrale, les vitesses des rayons réfractés perpendiculaires à cette section, comme la construction analogue faite dans la surface d'élasticité donne les vitesses de propagation des ondes parallèles à la section diamétrale; vitesses comptées perpendiculairement au plan des ondes. — De là se déduit la loi du produit des sinus de Biot, traduite dans le système

des ondulations 3q5

■>7-iN. (,'liangement dans l'application du nom d'axe optique ici donné à la li/riif suivant laquelle les rayons ordinaires et extraordinaires ont la même vitrssr.— Observations, avec ffptrr explicative , sur la marche des rayons à l'intérieur et à la sortie du cristal

StR I.K CALCUL DR LU PROPAGATION DES ONDKS RAMENÉ Al' PROBLEME DBS COPDRS VIBRANTES.

•M). l'our démontrer que , dans les milieux élastiques <|in: Ion considère ici , la vitesse de propagation des vibrations transversales eil proportionnelle à la racine carrée tir l'élasticité mise en jeu, la question a été ramenée au problème des cordes vibrantes. — Discussion avec fn»r< explicative. — Les oscillations de chaque point de la ligne élastique s'exécutent suivant la loi du pendule, et l'on peut les calculer sans le secours d'une équation difl'ércnliclle. — Le ca> particulier de la courbe des sinus a, d'ailleurs, tout»' la généralité nécessaire pour l'application dont il s'agit, ainsi qu'il va être démontré. '.i[\<f

IjA LOI DBS SINl'S SE CONSERVE DANS LE5 ONDES LUMINEUSES, QUELQUES MILIEUX QU'ELLES TRAVERSENT.

3o. Discussion résumée par cette conclusim : De quelque manière que se produise un ébranlement primitif composé d'une série indéfini' de petites oscillations, et quelles que soient les réfractions successives qu'il éprouve en traversant divers milieux élastiques, il produira toujours dans chacun d'eux une série d'ondes dans lesquelles les vitesses absolues et les dérangements relatifs des molécules

m ŒUVRES D'AUGUSTIN FRESNEL.

XLIH. seront proportionnels aux sùms des abscisses ou des espaces parcourus 601

Kp.TOCB DBS ONDBS 8CB

3 1 . Pour raineuer au problème des corde* vibrante* le calcul de tu vitesse de propagation de* ondes (supposées planes et indéfinies), il faut concevoir le milieu terminé par un plan fixe qui leur est parallèle et réfléchit complètement les tranches du milieu en contact — Développements analytiques sur les conséquences de cette hypothèse, avec deux figure* explicatives 4o3

Démonstration di ck qui a btb dit touchant la duwebsion

DANS LE PBBU1ER MiMOlBB (N* XXXVIII. $ 3 1 , note).

3n. Si l'on suppose que l'action mutuelle des molécules n'est iru'à des distances très-petites relativement a la longueur iu camération (demi-ondulation), on arrivera k cette conclusion que. l'élasticité restant constante, les oscillations, dans deux concamérations inégales, s'exécuteront dans des temps proportionnels à leurs longueurs. — Conséquemment les vitesses de propagation de

tive A06

Reste à examiner le cas où rétendue de la sphère <T activité de* forces serait une portion sensible de la longueur d'ondulation. — Ici les durées des ondulations des concamérations ne sont plus proportionnelles à leurs longueurs. — Démonstration analytique. — L'auteur arrive par le calcul à cette conclusion, que la propagation de Fonde la plus courte sera un peu plus lente que celle de ronde la plus longue, conformément à l'expérience &07

(ielte explication de la dispersion n'est pas présentée comme la seule raison mécanique du phénomène. — Elle a seulement pour objet de démontrer qu'il n'est pas contraire à la* théorie des ondes lumineuses, comme Poisson l'avait objecté A 1 o

Cause de la dispersion des axes optique, dans les cristaux à deux axes. . û . 1 Grande dispersion observée par Herscbel dans certains cristaux.— Consi-

raictirai

XL1H. dérations sur se» causes, dont I auteur ne s'est pas complètement rendu compte (a)

(«) [Note d'É. Verdet sur les études d'A. Frcsnel relatives a la ditperti

xi'tn.

33. Application de l'équation d'élasticité au calcul des vitesses de propagation des ondes. — Considérations mécaniques tirées, comme les précédentes, des concamération». — Le théorème sur lequel repose l'équation d'élasticité s'applique rigoureusement au cas particulier on le» vibration» que l'on compare s'exécutent dans des plans d'ondulations parallèles Uii

L'auteur n'a pas encore pu démontrer, indépendamment de toute hypothèse »ur le» lois de» force* moléculaire», que l'équation d'élasticité s'applique rigoureusement au cas général où les plans d'ondulation sont diversement inclinés. — Questions théoriques restant à résoudre. — L'expérience autorise à admettre que : dan» les cris taux à uti axe, et dan» le» cristaux à deux axe», la vitesse de» rayons ne varie pas. Unit que le plan de polarisation reste le même, quels qui soient d'ailleurs 1rs changements de direction qu'un leur fasse épiouver (a) . ,

• yi) Suit d'K. Venlet sur les conséquences qnr- I on \»ul lircr relie lui expérimentale h i h