PRÉTENDUE GÉOMÉTRIE SIMPLIFIER

busf3 en lisant son Mémoire ; car en parlant de la mesure des angles, il se contente de dire qu'il faut placer les pinnules dans la direction des mires, en visant avec soin. Cependant, une base de trois lieues à la distance do 2,S80,000;000 de lieues ne sous-tend qu'un angle d'environ O*.O003. Si l'on se trompe de cette quantité sur la mesure d'un des angles à la base, on pourra trouver, suivant le signe de l'erreur^ ou que l'objet est à une distance infinie , ou qu'il est une fois plus près de nous que sa distance réelle. Il suffirait même d'une incertitude de O^'.OOOi de seconde pour qu'on fût trompé sur la direction dans laquelle l'objet est placé. Au reste , les singuliers résultats auxquels l'auteur arrive proviennent de ce qu'il a supposé que les angles ne sont affectés d'aucune erreur ; mais alors il n'est pas nécessaire d'avoir recours à une base de trois lieues, car une étendue d'un millimètre suffirait tout aussi bien pour mesurer toutes les distances imaginables.

M. Sanches s'occupe aussi dans son Mémoire de la détermination du diamètre de la Terre, et comme, dans sa manière de raisonner, il croit arriver à une très-grande exactitude, il regrette beaucoup qu'on ne connaisse pas la quadrature du cercle, parce qu'il lui semble impossible sans cela de trouver avec précision la valeur de la circonférence du globe, sa solidité, etc., etc. Le paragraphe de M. Sanches qui est relatif à cette question est d'ailleurs assez curieux pour que nous croyons devoir le rapporter en entier : « Par une singulière bizarrerie , une inconcevable fatalité, on n'a point pu encore découvrir le secret de cette quadrature. Cependant le cercle est la plus

simple, la plus parfaite, la plus facile à faire et la plus spacieuse à périmètre égal de toutes les figures géométriques ; en outre, il est dans la nature, et le carré n'y est pas ; tous les corps célestes sont circulaires, aucun corps terrestre n*est de lui-même parfaitement carré, au point qu'on fouillerait jusqu'aux entrailles de la Terre sans en trouver un seul qui le fût ; on a néanmoins la mesure précise du carré, on ne saurait avoir celle du cercle ! D'où cela vient-il? Peut-être de ce que l'un est l'ouvrage de l'homme et l'autre celui de Dieu. »

Afin de ne pas abuser plus longtemps des moments de la Classe, nous ne multiplierons pas davantage les citations. Vos commissaires pensent que le Mémoire de M. Sancbes ne mérite aucune attention.

RAPPORT

La première partie du Mémoire dont nous allons rendre compte à la Classe est destinée à l'exposition des formules auxquelles l'auteur est arrivé sur le développement des fonctions en séries.

On remarque d'abord que M. Wronski veut créer une Inngue nouvelle; il change le nom d'analyse en celui

1. Rapport inédit lu à la Classe des sciences mathématiques et physiques de Tlnstitut le 11 novembre 1811 , au nom d'uue commission composée de MM. Legendre et Arago.

^algorithmie; il distingue la technie de Valgorithmie de la théorie de t algorithmie. Il développe une fonction suivant fes facultés progressive d'une autre fonction^ sans donner la définition de ces termes, quoiqu'ils n'aient été employés jusqu'à présent dans aucun ouvrage qui puisse faire autorité. Ici, la fonction par rapport à laquelle une autre fonction est développée est sa mesure algorithmique. Là, les fonctions dérivées sont qualifiées de fonctions aveugles f ou , par une condescendance à laquelle l'auteur paraît même se prêter de mauvaise grâce, de fonctions cyclopés, parce que, dit-il, elles n'ont qu'un nom et point de signification, etc., etc.

M. Wronski rapporte dans son Mémoire plusieurs formules de développement; mais au lieu de les démontrer d'une manière claire et précise, il se borne, pour toutes preuves, à dire qu'elles conduisent dans un cas particulier à une formule connue. L'un de vos commissaires (M. Legendre) a dans ses papiers des formules qui sont une extension de celles de M. La grange sur le retour des suites : il est possible que d'autres géomètres, en s' occupant de la même question, aient découvert des formules analogues; peut-être que les résultats de M. Wronski doivent être rangés dans cette classe. Mais pour les faire adopter, s'ils sont vrais, il faudrait qu'il les présentât en termes intelligibles. On a peine à deviner les raisons qui peuvent déterminer M. Wronski à ne donner toujours ses formules que comme des espèces d'énigmes dont il invite les géomètres à chercher la solution. N'auraiton pas quelque sujet de penser qu'à force de généraliser les formules de développement, l'auteur n'est plus en état

m SUR UN MÉMOIRE DE M. WRONSKI.

de les démontrer? Il ne sera peiit-ôtre pas inutile de rennarqucr ici que ces formules, quelque générales qu'elles soient, n'ont qu'une utilité bornée : elles ne peuvent servir que dans des cas très-simples, et il est fort douteux qu'on tire jamais parti , pour la solution de quelque problème important, des formules prolixes que quelques géomètres allemands ont publiées sur les développements des fonctions qui dépendent d'autres fonctions suivant des lois données. Le secret de la science ne se trouve pas dans ces développements, et il y a beaucoup plus de mérite à les éviter qu'à les effectuer. Ainsi, les formules de M. Wronski, en les supposant vraies, loin de renfermer en elles toute la science, comme l'auteur voudrait le faire croire, n'en offriraient qu'une petite partie et la partie la moins usuelle.

Venons maintenant à la question qui , d'après le titre même du Mémoire de M. Wronski, semble avoir été son objet principal, c'est-à-dire à la prétendue réfutation de la Théorie des fonctions analytiques de M. Lagrange. Cette réfutation a été présentée à S. M. l'empereur et roi. Un semblable examen de la Mécanique céleste de M. Laplace doit bientôt suivre. Ces deux ouvrages avaient été désignés par la Classe pour les deux premiers prix décennaux. Tel paraît être le motif qui a déterminé M. Wronski à les attaquer.

Qui ne croirait qu'un auteur qui annonce , en débutant, qu'il va montrer que les Fonctions analytiques et la Mécanique céleste reposent sur des principes entièrement faux, n'ait d'imposantes preuves à apporter en faveur de son opinion? Avant de montrer à la Classe combien peu

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les objections de M. Wronski pourraient motiver ses prétentions fastueuses, il sera peut-être bon de donner un petit échantillon du style mathématique de Tauteur du Mémoire.

Voici ce que dit M. Wronski, à la page 20 de son Mémoire, des principes sur lesquels repose la théorie dos fonctions de M. Lagrange :

• Nous avons déjà indiqué dans notre philosophie des mathématiques l'origine de cette étrange erreur qui bouleverse tous les principes de Talgorithmie. On a vu qu'elle provient d'une espèce d'antinomie qu'impliquent les procédés du calcul différentiel et de la direction matérialiste qui, de nos jours, s'est glissée jusque dans les sciences mathématiques, dans ces sciences éminemment intellectuelles, qui, avant cette misérable époque de philosopliisme, n'avaient pas encore subi une pareille dégradation, etc., etc. »

Voyons cependant les objections que fait M. Wronski contre la théorie des fonctions.

Il avance d'abord que cette théorie repose sur deux principes qui ne sont pas démontrés, savoir, sur les équations (7) et (8) :

(7) /{x+n =/(ar) + Ai + Bi« + Ci» etc.

(8) / (X +i) =/ {X) +iP.

Mais de ces deux équations, la seconde est un moyen dont se sert M. Lagrange pour trouver la première. 11 suppose que P ne devient pas infini lorsque i = 0 ; dès lors on peut supposer P==B -f- iQ, B étant une fonction de X seule : de même on fera Q = G + îR etc. ; alors

l'équation (7) devient une conséquence de l'équation (8). 11 n'y a donc pas deux principes dans les équations citées, il n'y en a réellement qu'un.

Ce principe renferme, à la vérité, une supposition sur la nature de la fonction P, supposition qui est liée essentiellcment avec l'équation (7) ou avec la propriété qu'a la fonction /'(a? -|" 0 ^^ ^^ contenir dans son développement que des puissances entières de t, tant que x a une valeur indéterminée.

M. La grange a cherché à démontrer rigoureusement cette proposition. Voici l'objection que M. Wronski fait à son raisonnement. «Ce géomètre, dit-il, prétend que dans la généralité de la fonction /(.r) aucun terme du développement (7) ne peut contenir de puissances fractionnaires de î, parce que, vu la pluralité des racines, la série aurait plusieurs valeurs, ce qui serait absurde ; mais ne se pourrait-il pas que, dans cette série indéfinie, les valeurs différentes des radicaux se compensassent de manière à donner toujours la même valeur pour f[x'\- i) etc.?»

Voilà donc la difficulté dans laquelle réside toute la force du Mémoire de M. Wronski, « ne se pourrait-il pas, etc. » ; mais la réponse est toute simple.

Si les radicaux dont il s'agit se compensent exactement, c'est-à-dire se détruisent pour toute valeur de i qu'on peut supposer très-petite, afin que les séries soient convergentes, il ne restera donc que des puissances entières de t dans le développement, et alors la formule (7) est exacte.

Le seul doute auquel puisse donner lieu le raisonnement de M. Lagrange tient à ce qu'on pourrait deman-

SUR UN MfiMOIRE DE M. WRONSKI. ^25

der si les radicaux de i du développement ne doivent pas être tellement liés aux radicaux de œ contenus dans la fonction proposée, que, pour chaque valeur de ceux-ci, on ne puisse également employer qu'une valeur particulière de chaque radical de t dans la série. Cette difficulté est fort peu importante et a été d'ailleurs levée depuis longtemps par des moyens très-rigoureux. On n'a, par exemple, qu'à supposer que f (jr -|- ï) = /^ {x) -f- Aï" + B** -|- etc. Car alors on prouvera, à l'aide d'une simple substitution, que m=l. On sait d'ailleurs que la considération des autres termes de la série est entièrement inutile pour expliquer les principes fondamentaux du calcul différentiel.

Il n'y a donc rien de solide dans les objections de M. Wronski ; car celle que nous avons rapportée il y a un instant est la seule que l'on trouve au milieu d'une foule d'allégations vagues et insignifiimtes; ses raisonnements contre les fonctions dérivées et, en général, contre toutes les théories des dérivations se réduisent à dire qu'être coefficient de tel ou tel autre terme d'une série, cela ne signifie rien, etc., etc.

Ainsi, en résumé, vos commissaires ne peuvent avoir aucune opinion sur les formules de développement que renferme le Mémoire dont nous venons de rendre compte, parce que l'auteur ne les a pas démontrées, et que, de plus, il les a présentées en termes inintelligibles. Quant à la prétendue réfutation de la Théorie des fondions anahj" liqios de M. Lagrange, nous en avons assez dit pour montrer qu'elle ne méi*ite aucune attention.

RAPPORT