DÉMONSTRATION EXPÉRIMENTALE DE LA LOI DU CARRÉ DU COSINUS

Le mauvais état de ma santé et l'altération profonde que ma vue a éprouvée presque subitement , m'ont inspiré le désir, j'ai presque dit m'ont imposé le devoir de procéder à une prompte publication des résultats scientifîques qui , depuis longtemps, donnent dans mes cartons. Je me suis décidé à commencer par la photométrie, cette science qui, née au sein de l'Académie des sciences, est restée presque stationnaire au point de vue expérimental , au milieu des brillants progrès que l'oplepuis un demi-siècle.

lières exfiériences photométriques datent les faisais alors avec un appareil mobile que

re n*& pas encore été imprimé. L'introduction et ont seules paru daas le tome 3LXX des Comptesatiafns de tAcadémie des sciences.

PREMIER MÉMOIRE SUR LA PHOTOMÉTRIE. 469

«tenais à la main. Cependant, telle était la bonté du Principe dont je faisais l'application, que plusieurs des résultats obtenus ainsi servirent à Fresnel à vérifier ses formules théoriques.

Au moment de livrer à l'appréciation du public le bit de recherches poursuivies à bâtons rompus, pendant ie longues années, mais avec des instruments perfecionnés, il m'a paru que mes communications ne devaient m se borner à des faits isolés. Il était préférable de tonner des résultats liés entre eux et constituant des chapitres définis et distincts de la science. Mais, sous ce rapport, mes registres offraient de nombreuses lacunes çue l'état de ma vue ne m'aurait pas permis de remplir avec l'exactitude convenable. Heureusement M. Laugier, Dotre confrère , et M. Petit, directeur de l'Observatoire de Toulouse , ont bien voulu , à ma prière , renoncer œomentanément à leurs travaux personnels et venir à Bon aide avec leurs jeunes yeux. Pendant près de trois Bois, toutes les fois que les circonstances atmosphériques fiaient favorables, ils se sont dévoués à l'exécution de Bes expériences avec un zèle, une attention et une patience dont je suis heureux de leur témoigner ici toute lia reconnaissance. Peu de jours leur ont suffi pour se feniliariser avec ce nouveau genre d'observations, pour ïebien garantir des causes d'erreurs qui se présentent à Aaque pas ; pour me convaincre , enfin , que le cas fchéant, ils pourront, livrés à eux-mêmes, compléter mon œuvre, tirer de mes instruments et de mes méthodes le parti le plus avantageux , et faire faire à la science de nouveaux progrès. Pour être juste, je ne dois pas oublier

de faire mention du concours intelligent que M^ Charles * Mathieu, élève astronome de T Observatoire, nous a prêté quelquefois.

On voudra bien remarquer que dès que ToBil joue un rôle essentiel dans Tappréciation des phénomènes, il n*est pas inutile de s'assurer que diverses personnes arrivent^ aux mêmes résultats.

Dans ce Mémoire, je m'occuperai exclusivement des expériences par lesquelles j'ai démontré la loi photométrlque que les physiciens ont appelée loi du carré du cosinus.

J'ai suivi dans cette recherche deux voies différentes.

La première est celle que je signalai en août 18âS,, dans un Mémoire lu devant l'Académie, et que M. Babi-. net eut la bonté de publier par extraits dans la traductioD: française de VOpiique d'Herschel *.

On s'étonnerait avec raison qu'un intervalle de dii« sept années n'eût pas suffi à la réalisation de mes expériences, si je n'ajoutais qu'elles exigeaient impérieusement la connaissance exacte et préalable des quantités d» lumière réfléchie et transmise sous un certain nombre d'inclinaisons par une lame de verre à faces parallèles Or, chose singulière, ces quantités, bases de la photomé?] trie, ne se trouvent pas dans l'ouvrage classique de^ Bouguer et n'existent dans celui de Lambert qu'affectéei^/ d'erreurs qui les rendent tout à fait impropres à dcs^' recherches délicates. , '

Si quelque physicien a tenté d'appuyer ses déduction '

1. Voir pr6oédeminent, p. 150, et TAppendice placé à la fin deW. voluuio* . . A

SOR LA PHOTOMÉTRIK. 474

sor les données empruntées au célèbre géomètre allemand , il a dû trouver des résultats très-discordants , et je ne m* étonne pas qu*il les ait gardés dans son portefeuille. Pour moi , je vis, dès les premiers essais de mon système d'expériences, qu'il me fallait renoncer à cher- \ cher dans les livres les données sur lesquelles elles se fondent; qu'il était nécessaire, en un mot, de prendre la question par sa base , sans rien emprunter ni à Lambert m à ses successeurs. Je ferai connaître , dans une des plus prochaines séances, la méthode que j'ai imaginée pour obtenir avec toute la précision désirable les déterminations qui m'étaient indispensables. Maintenant je me contenterai de dire que par cette méthode nouvelle on a pu déterminer directement :

L'angle de k" 32', compté à partir de la surface , sous fequel uneJame de crown-glass réfléchit quatre fois plus de lumière qu'elle n'en transmet.

L'angle de T l\ sous lequel la lumière réfléchie est double de la lumière transmise.

L'angle de 11" 8', sous lequel la lumière réfléchie est ^e à la lumière transmise.

L'angle de iT 17', sous lequel la lumière réfléchie est ^le à la moitié de la lumière transmise.

Enfin l'angle de 26° 38', sous lequel la lumière réflécfcie est le quart de la lumière transmise.

Ces angles, déterminés directement, sont les seuls lont on ait à faire usage pour appliquer la première léthode de vérification. La seconde exige que l'on coulisse exactement la quantité de lumière transmise ou fléchie pour des angles compris entre les précédents.

472 PREMIER MËMOIIB

Or, c*est à quoi on arrive par une ioteqMhtKm dTantant plus légitime , qu'entre le premier angle oonespondant à 4* 32' et le dernier qui s'élève à 26* 38', c'est-à-dire pour un intervalle de 22" 6', on a dnq dâerminatioDs directes.

Lorsqu'un faisceau de lumière ordinaire traverse perpendiculairement un cristal de chaux carbonatée, il se partage en deux faisceaux d'égale intensité : l'un suit la route ordinaire; l'autre, une route extraordinaire. Les deux faisceaux ordinaire et extraordinaire sont contenus dans un plan qui a été appelé la section principale.

Ne nous occupons que du faisceau ordinaire. Soumettons la lumière qui le compose à l'action d'un second cristal qui prendra le nom de cristal analyseur.

Si la section principale de ce second cristal est parallèle à la section principale du premier, la lumière provenant de celui-ci ne donnera qu'une image : l'image ordinaire. Dès que les sections principales cesseront d'être parallèles , l'image extraordinaire commencera à naître. Elle augmentera graduellement d'intensité à mesure que l'angle des deux sections s'accroîtra. Enfin l'image extraordinaire sera aussi vive que l'image ordinaire, quand l'angle des deux sections sera égal à 45^ Au delà de cet angle, ce sera l'image extraordinaire qui surpassera l'image ordinaire. Lorsque l'angle des deux sections atteindra 90% l'image extraordinaire subsistera seule. Le sens de la polarisation des deux images est , pour

'•^y^n ordinaire, le plan de la section principale du

SUR LA PHOTOMÉTRIB. 473

cristal analyseur ; et pour le rayon extraordinaire, le plan perpendiculaire.

On peut se demander maintenant suivant quelle loi augmente l'intensité du rayon extraordinaire, ou suivant quelle loi diminue l'intensité du faisceau ordinaire, à mesure que l'angle formé par les sections principales du premier cristal et du cristal analyseur va en augmentant.

On remarquera que lorsque cet angle est nul, l'image extraordinaire n'existe pas; que cette image extraor-r dinaire existe seule, qu'elle a absorbé toute la lumière lorsque les deux sections sont rectangulaires entre elles ; «ifin, qu'il y a autant de lumière dans l'image extraordinaire que dans l'image ordinaire , lorsque les sections principales sont inclinées l'une à l'autre de l\!&^» Or le

cosinus de 0" est l'unité, le cosinus de 45** = %/-, et le

cosinus de 90**= zéro. On satisfera donc aux trois intensités que possède le faisceau ordinaire, comme Malus l'avait observé, en supposant que cette intensité varie proportionnellement au carré du/;osinus de l'angle formé par les sections principales. Mais peut- on compter sur une loi qui n'est ainsi vérifiée que sur les deux points extrêmes et le point milieu? Il est permis d'en douter. C'est pour suppléer à l'insufTisance de ces preuves que j'ai entrepris les expériences qui font l'objet de ce Mémoire.

Les phénomènes sont absolument les mêmes lorsqu'on 3bserve l'image réfléchie, sous les angles convenables.

171 PUBU1BR MËH'OIRB

pnr la surfuce de l'eau, du verre, etc. Le plan de réflexion remplit alors le r&le que nous avons assigné à la section principale du premier cristal dans les expériences rapportées plus haut

Supposons qu'au lieu de choisir un objet circonscrit et d'un éclat variable dans ses diverses parties, comme est la flamme d'une bougie, on fasse réfléchir sur le plan polarisant un large faisceau de lumière uniforme, comme celui qui provient d'une feuille de papier blanc. Supposons de plus que le cristal analyseur ait une double réfraction très-peu sensible, que cesoit,pareieniple, une lame de cristal de roche taillée parallèlement aui arêtes du prisme hexaèdre. Tous les phénomènes que noui avons décrits comme se passant dans le cristal analyseur s'opéreront dans la lame de cristal de roche ; seulement, à cause de l'étendue de l'objet d'où la lumière émane et de la petitesse de ta double réfraction du cristal, ces phénomènes ne seront plus, si je puis ainsi parler, que latents ; ils ne pourront plus être vus que des yeux de l'esprit.

Cherchons à les analyser, et l'on reconnaîtra, chose étrange, que la comparaison des images ordinaire et extraordinaire qui ne se serait effectuée qu'avec une difficulté extrême et une grande incertitude quand ces images restaient séparées, s'opère au contraire avec précision a osées et confondues, ipale de la lame de cristal de rodi^ emier cristal analyseur, coïncide-t-elte iflèxion, la lumière reste dans l'éta' out entière dans le plan de réflesion-

SUR LA PHOTOMÉTRIE. 475

La section principale de la lame cesse -t-elle de coïnci-. cter avec le plan primitif de polarisation, la lumière îffovenant de chaque point du papier se partage en deux parties, Tune polarisée dans le plan actuel de la section principale de la plaque, Tautre dans un plan rectangulaire. Mathématiquement parlant, quelque faible que soit la double réfraction de la lame , ces deux images ne coïnci- ^dent pas; mais l'image ordinaire d'un point A coïncide avec rimage extraordinaire d'un point voisin B, également temineux, de telle sorte que les phénomènes doivent se ^sser comme -si les rayons provenant des images ordinaire et extraordinaire de chaque point du papier suivaient exactement la même route pour arriver à l'œil. Si l'on se rappelle maintenant que, suivant un des principes élémentaires de la polarisation, deux rayons polarisés rectangulairement et de même intensité se comportent dans leur ensemble comme de la lumière neutre, on reconnaîtra fpB dans le cas actuel il arrive à l'œil, de chaque point f jk papier, de la lumière partiellement polarisée, et que .cette polarisation partielle est d'autant plus intense que : te» sections principales forment entre elles un angle plus ': petit.

- , Supposons maintenant que la loi du carré du cosinus ^ loit exacte. Dans un azimut i, l'intensité de l'image ordi- ^ Baire est F cos^ i , l'intensité de l'image extraordinaire " est Fsin^i : c'est la loi du carré du cosinus.

- Mais, en vertu du principe de polarisation cité plus . haut, ce dernier faisceau F sin^ t, combiné avec une portion équivalente de l'autre faisceau, fera SFsin^i de

- lumière neutre.

Il ne restera donc de lumière polarisée provenant du faisceau ordinaire (que F cos^ t — F sin^ a = F cos 2 1.

Ainsi, dans chaque faisceau arrivant à Toeil, le rapport de la lumière polarisée à la lumière totale est

Fcos2t

— = — ou cos2t« F

Ce rapport numérique est tellement lié à la loi des intensités des rayons ordinaire et extraordinaire, que s'il est vérifié par l'expérience, on pourra en conclure avec assurance que la loi des intensités est également hors de toute contestation.

Venons maintenant au principe qui domine tout dans cette recherche.

J'ai découvert jadis que, lorsqu'un faisceau neutre tombe sur une lame transparente à faces parallèles, la quantité de lumière polarisée (remarquez bien que je ne dis pas la proportion) est exactement la même dans les deux faisceaux réfléchi et transmis*.

Cela posé, supposons que le faisceau réfléchi soit la moitié du faisceau transmis; la proportion de lumière polarisée que contiendra le premier faisceau sera double de la proportion de lumière polarisée qui sera renfermée dans le faisceau transmis. Si l'intensité du faisceau réfléchi est le quart de l'intensité du faisceau transmis, la pro-

1. Voir t IV des Notices scientifiques^ t. VII des Œuvres^ p. 324 et 379.

SUR LA PHOTOMÉTRIK. m

portion de lumière polarisée (}ue contiendra ee dernier faisceau sera le quart de lai proportion renferniée dans le faisceau réfléchi. En général, si les faisceaux transmis et réfléchi sont respectivement ma et a, la quantité 6 de

lumière polarisée qui forme la partie aliquote - de la

lumière réfléchie sera la portion aliquote m -r de la lumière

transmise.

Deux instruments sont nécessaires pour résoudre le problème que nous avons en vue : le polariscope etlepo/orimètre.

Le polariscope est trop connu des physiciens pour qu'il ne suffise pas de rappeler ici qu'il se compose d'un tube de un à deux centimètres de diamètre, fermé à l'une de ses extrémités par une plaque de cristal de roche d'environ 5 millimètres d'épaisseur, taillée perpendiculairement aux arêtes du prisme hexaèdre, et portant à l'autre extrémité, en guise d'oculaire, un prisme en cristal de roche doublement réfringent et achromatisé ; ce prisme donne deux images de l'ouverture opposée. Si la lumière qui pénètre dans l'instrument est neutre, les deux images sont incolores. Si la lumière est complètement polarisée, les deux images brillent des plus vives couleurs. Si enfin la lumière est partiellement polarisée, les deux images de l'ouverture sont colorées, mais d'autant moins vivement que la proportion de lumière polarisée contenue dans le faisceau éclairant est plus faible. Ces couleurs

17» PREMIER HÉMOfRE

font découvrir les plus minimes proportions de lumière polarisée dans un faisceau mixte. C'est un procédé infaillible et d'une sensibilité que rien n'égale.

Le second instrument dont nous ferons usage, le polarimètre, est un polariscope devant lequel se trouve fixée une pile de plaques de verre susceptible de prendre relativement au faisceau incident toutes sortes d'inclinaisons. La mesure est fournie par un arc gradué convenablement disposé. A l'aide de cette pile on peut amener à l'état neutre tout rayon partiellement polarisé qui lartraverse, et l'on est certain d'être arrivé à cette transformation du faisceau lorsque l'instrument donne des images sans aucune trace de coloration.

Cet instrument a pris le nom de polarimètre. Il permet, en effet, de reconnaître, avec une pile donnée, si le nombre de rayons neutres contenus dans un faisceau partiellement polarisé est plus ou moins grand que dans un autre faisceau. On peut arriver à déterminer numériquement la proportion de lumière polarisée contenue dans un faisceau mixte; mais nous n'obtiendrons ce résultat que par une graduation de l'instrument qui suppose que la loi du cosinus est exacte. Pour éviter de tomber dans un cercle vicieux, nous ferons d*abord usage du polarimètre sans supposer sa graduation.

Tous ces principes étant posés, et les propriétés du polarimètre bien connues, nous allons passer à la solution du problème.

SUR LÀ PHÔTOMÊTRIË. 479

Je prends une lame de crown-glass à l'égard de laquelle rexpérience m'a appris que la lumière réfléchie est la. moitié de la lumière transmise sous F angle de i?"" iT avec la surface.

Je neutralise à l'aide du polarimètre la lumière réfléchie. J'exécute la même opération sur la lumière transmise. J'ai ainsi deux inclinaisons de la pile donnant, l'une (celle qui correspond à la lumière transmise) la neutralisation d'un faisceau renfermant une certaine proportion inconnue de lumière polarisée ; l'autre, la neutralisation d'un faisceau renfermant une proportion de lumière polarisée double de la précédente.

Gela posé, la pile étant placée sous ce dernier angle, je cherche sous quel angle azimutal i par rapport au plan de réflexion doit être placée la section principale de la lame de cristal de roche que traverse un faisceau polarisé pour que le faisceau sortant soit neutralisé, c'est-à-dire pour que cette lumière en sortant du cristal soit exactement composée comme le faisceau transmis par la lame de crown-glass. Je fais la même opération pour l'inclinaison de la pile qui correspondait à la neutralisation de la lumière réfléchie, et j'obtiens un second angle azimutal i' correspondant à une proportion de lumière polarisée double de la précédente.

L'expérience a donné, pour l'angle azimutal i S6' 42', et pour l'angle azimutal t' 27° 58'.

Si la loi que nous voulons vérifier est exacte, le rapport du cosinus 2 f au cosinus 2 1 doit être exprimé par le nombre 2.

Or, entre les nombres fournis par l'expérience, nous

êHO PREMIER MÉMOIRE

trouvons le nombre 1.96. C'est à environ g^ près le résultat que donne la loi à vérifia..

Remarquons quMI suffirait de faire varier les angles t' et i l'un de 5', l'autre de 11' en plus, pour satisfaire rigoureusement à la loi mathématique du cosinus.

Citons une seconde vérification pour le cas où la lumière réfléchie est le tiers de la lumière transmise : dans ce cas , on détermine les inclinaisons de la pile dont on se sert, qui correspondent respectivement aux neutralisations des deux faisceaux réfléchi et transmis.

Employant ensuite cette même pile sous ces deux inclinaisons pour étudier le faisceau complètement polarisé après son passage par I^lMae de cristal de roche, on trouve pour les angles azinbutaux^i et %\ qui correspondent aux neutralisations :

D'après la loi, cos2i' devrait être égal au triple de cosâi; d'après l'expérience, le rapport est 2.97; ce qui s'accorde avec la loi mathématique aussi bien qu'on peut le désirer.

Remarquons que, dans oe dernier cas, la vérification porte sur un intervalle considérable (égal à 3^* 19' ^ 23My = 15*).

Ajoutons que l'on peut avec le polarimètre s'assurer que de part et d'autre de l'angle de fô^ et à distances i^^ri^les de cet angle^ les polarisations partielles sont équivalentes ^ et que le polariscope fait découvrir, avec toute la $^iisilùiité qui lui appartient, que ii5* est bien exacte-

SUR LA PHOTOMËTRIR. 481

ment le point où les rayons ordinaire et extraordinaire se neutralisent entièrement

Lorsqu'on souge aux bizarreries, aux résultats imprévus qui sont sortis des dernières recherches des physiciens sur La lumière, on doit se croire autorisé à porter le scepticisme jusqu'à ses dernières limites. On peut se demander, par exemple, si la loi du carré du cosinus, vraie pour des rayons confonflus , le serait encore si les images étaient séparées. Afin de ne laisser dans les esprits aucune trace d'un pareil doute, fai imaginé et institué un autre système d'expériences qui fera l'objet d'une seconde communication.

Peut-être demandera-t-on que je justifie l'importance que j'ai mise à vérifier expérimentalement la loi du carré du cosinus. Voici ma réponse :

Les lois mathématiques simples (je ne parle pas de celles qui résultent des simples formules d'interpolation) mettent sur la voie de la cause des phénomènes. Ces lois sont d'ailleurs si rares, dans le domaine de la physique, qu'une de plus est une acquisition précieuse.

La loi du carré du cosinus une fois démontrée expérimentalement, un observateur muni d'une lunette prismatique a sous la main le moyen de faire varier l'intensité des deux images que la lunette fournit, par des degrés presque insensibles et néanmoins parfaitement déterminés, par des dix-millièmes, par exemple.

La loi en question conduit à une méthode directe et

d'une exécution facile pour graduer expérimentalement le polarimètre. De là les moyens de résoudre une foule de questions de photométrie et d'optique qui ne seraient pas même abordables sans le secours de cet instrunnent : par exemple la détermination de la hauteur des nuages isolés qui se montrent si souvent dans un ciel serein, d'après la lumière partiellement polarisée qui correspond au nuage ; résultat paradoxal , pour le dire en passant, car l'observation de toute distance semble exiger impérieusement la mesure d'une base et les observations faites aux deux extrémités.

Grâce à l'extrême précision des méthodes que fournît la loi du carré du cosinus, j'ai pu amener à une solution définitive cette question astronomique si souvent posée et si diversement résolue : le bord et le centre du Soleil sont-ils également lumineux ?

L'hémisphère delà Lune visible de la Terre présente des parties très-brillantes et d'autres parties obscures qu'on a appelées improprement des mers. Quelles sont les intensités comparatives de ces régions, douées d'une puissance de réflexion si dissemblable? Le problème a pu être posé, mais jamais on ne l'a résolu. On verra que sa solution découle d'une manière très-simple d'un emploi judicieux de la loi du carré du cosinus.

Enfin , à l'aide de cette même loi , on détermine l'intensité comparative de la lumière lunaire provenant du Soleil , et de la lueur cendrée provenant de la Terre. On saura donc expérimentalement quelle est l'intensité comparative du Soleil et de la Terre , celle-ci étant considérée comme planète réfléchissant la lumière solaire. On saura

SUR LA PHOTOMÊTRIE. 483

aussi si les hémisphères terrestres successivement visibles de la Lune &ont plus ou moins lumineux suivant qu'ils renferment plus ou moins de parties terrestres (de continents), plus ou moins de régions aqueuses (de mers). On appréciera en même temps l'influence de l'état plus ou moins diaphane, plus ou moins nuageux de notre atmosphère; en sorte qu'il n'est pas impossible qu'un jour on aille chercher dans l'observation de la lumière cendrée des données sur la diaphanéité moyenne des divers hémisphères terrestres.

Telles sont quelques-unes des questions photométriques que je me propose de traiter successivement devant l'Académie. Leur énoncé suflTira , j'espère , pour justifier les détails dans lesquels je suis entré, et pour faire sentir l'importance d'une démonstration expérimentale de la loi du carré du cosinus.