LIVRE IV. - CHAPITRE XIV. 32Ï

mètre que nous venons de considérer, ce qui a également lieu par rapport à la partie inférieure de l'anneau. Pour que cette résultante soit détruite par l'action de l'orbe solaire, et afin que l'anneau, en vertu de ces forces, soit en équilibre autour de son centre, il faut qu'elles soient contraires et que leurs moments par rapport à ce point soient égaux. La première de ces conditions exige que le changement de position supposé à l'anneau soit rétrograde; la seconde condition détermine la quantité de ce changement et par conséquent la vitesse du mouvement rétrograde de ses nœuds. Il est aisé de voir que cette vitesse est proportionnelle à la masse du Soleil, divisée par le cube de sa distance à la Terre et multipliée par le cosinus de l'obliquité de l'écliptique.

Le plan de l'anneau, dans deux positions consécutives, se coupant suivant un diamètre perpendiculaire à la ligne des nœuds, il en résulte que l'inclinaison de ces deux plans à l'écliptique est constante ; l'inclinaison de l'anneau ne varie donc point par l'action moyenne du Soleil.

Ce que l'on vient de voir relativement à un anneau, l'Analyse le démontre par rapport à un sphéroïde quelconque peu différent d'une sphère. L'action moyenne du Soleil produit dans les équinoxes un mouvement proportionnel à la masse de cet astre, divisée par le cube de sa distance et multipliée par le cosinus de l'obliquité de l'écliptique. Ce mouvement est rétrograde quand le sphéroïde est aplati à ses pôles; sa vitesse dépend de l'aplatissement du sphéroïde; mais l'inclinaison de l'équateur à l'écliptique reste toujours la même.

L'action de la Lune fait pareillement rétrograder les nœuds de l'équateur terrestre sur le plan de son orbite; mais, la position de ce plan et son inclinaison à l'équateur variant sans cesse par l'action du Soleil, et le mouvement rétrograde des nœuds de l'équateur sur l'orbite lunaire, produit par l'action de la Lune, étant proportionnel au cosinus de cette inclinaison, ce mouvement est variable. D'ailleurs, en le supposant uniforme, il ferait varier, suivant la position de l'orbite lunaire, le mouvement rétrograde des équinoxes et l'inclinaison de l'équateur à l'é-

cliptique. Un calcul assez simple suffit pour voir que. de l'action de la Lune, combinée avec le mouvement du plan de son orbite, il résulte: i'' un moyen mouvement dans les équinoxes égal à celui que cet astre produirait, s'il se mouvait sur le plan même de l'écliptique; a'' une inégalité soustractive de ce mouvement rétrograde et proportionnelle au sinus de la longitude du nœud ascendant de l'orbite lunaire; 3^ une diminution dans l'obliquité de l'écliptique, proportionnelle au cosinus du même angle. Ces deux inégalités sont représentées à la fois par le mouvement de l'extrémité de l'axe terrestre prolongé jusqu'au ciel, sur une petite ellipse, conformément aux lois exposées dans le Chapitre XII du Livre I*% le grand axe de cette ellipse étant à son petit axe comme le cosinus de l'obliquité de l'écliptique est au cosinus du double de cette obliquité.

On conçoit, par ce qui vient d'être dit, la cause de la précession des équinoxes et de la nutation de l'axe terrestre; mais un calcul rigoureux et la comparaison de ses résultats avec les observations sont la pierre de touche d'une théorie. Celle de la pesanteur est redevable à d'Alembert de l'avantage d'avoir été ainsi vérifiée relativement aux deux phénomènes précédents. Ce grand géomètre a déterminé le premier, par une très belle méthode, le mouvement de l'axe de la Terre, en supposant aux couches du sphéroïde terrestre une figure et une densité quelconques; et non seulement il a trouvé des résultats conformes aux observations: il a de plus fait connaître les vraies dimensions de la petite ellipse que décrit le pôle de la Terre, sur lesquelles les observations de Bradley laissaient quelque incertitude. Son Traité de la Précession des équinoxes, qui parut un an et demi après la découverte de Bradley sur la nutation de l'axe terrestre, n'est pas moins remarquable dans l'histoire de la Mécanique que cette découverte dans les annales de l'Astronomie.

Les influences d'un astre sur le mouvement de l'axe terrestre et sur celui des mers sont proportionnelles à la masse de l'astre divisée par le cube de sa distance à la Terre. La nutation de cet astre étant uniquement due à l'action de la Lune, tandis que la précession moyenne des