LIVRE PREMIER

42. On a souvent besoin, dans l'analyse des hasards, de ne considérer dans l'expression de A"^ que la partie dans laquelle les quantités élevées à la puissance i sont positives. Nous allons déterminer la somme de tous ces termes. Pour cela, reprenons la formule {[l') du numéro précédent. Si Ton y substitue au lieu de A"^ sa valeur

et si Ton y change ensuite 5 dans — s^ on aura, en ne continuant les deux séries du premier membre de l'équation suivante que jusqu'aux termes dans lesquels la quantité élevée à la puissance i devient négative, et observant que le signe + a lieu si n est pair et le signe — si /i est impair,

Si l'on change dans la dernière intégrale a; en — 2x'sJ— i, elle devient, après toutes les réductions,

2/i-/( ,)nry^f„-,-, dx'\cos[is - n)a^- v'^=7sin(25 - n)x'] ( — ~ j ,

l'intégrale relative à x' étant prise depuis x' nul jusqu'à x' infini. On aura donc

= ^ — a^-M— i) ■ sm — fxdxc-'^

X /^r'»-*-* rfx'[cos(25 - n):c' - v'^=7sîn(2* - n)x'] (^^T'

Œuvres dé L. ~ TH. ^

Supposons r = /i — I , ce qui donne i = /i — i h — , et comparons séparément les parties réelles et les parties imaginaires de Téquation précédente. On a

or on a

I =cos2/Tr -h v'— I sîn2/7r,

/ étant un nombre entier; on aura donc

(i)" =co9 h y— I sm •

Les valeurs correspondantes de (— i)" sont

cos(2/-4-i) - - 4- V — « sm 2/4-1) — •

Maintenant (1)' devant être supposé égal à Tunité dans l'équation (o),

il faut choisir /de manière que cos h v~- • sin soit i, ce qui

exige que Ton ait

-ir = "-^"'

/étant un nombre entier que nous pouvons supposer nul ; alors on a

— i)" = cos h i/— I sin — î

mais on a

la partie imaginaire du premier membre de l'équation (o) est donc

Déterminons la partie imaginaire du second membre de l'équation {o). On a