LIVRE PREMIER

on a ensuite

à cause de r = n — i et de t = n — i h — ; or on a, parce qui précède,

(— ip = cos h V— I sin — •;

on aura donc, pour la partie imaginaire du second membre de l'équation (o).

Si l'on égale cette fonction à la partie imaginaire du premier membre de cette équation ; si Ton observe de plus que

fx^dxc-'=z (i4- ^ U 4- ^...ifs^dxc-^

en faisant k =//^-^'"-* cûc"'", l'intégrale étant prise depuis / nul jusqu'à t infini ; enfin, si l'on suppose 25 — /i = ^, on aura

Dans le premier membre de cette formule, la série doit être continuée jusqu'à ce que l'on arrive à une quantité négative élevée à la puissance

71 — I -I — 9 2 ne surpassant point n\ dans le second membre, l'intégrale doit être prise depuis x' nul jusqu'à af infini.

La comparaison des parties réelles des deux membres de l'équation (o) conduit au même résultat, et d'ailleurs elle prouve que, pour la coïncidence des deux résultats tirés de la comparaison des quantités

réelles entre elles et des quantités imaginaires entre elles, il est nécessaire de supposer, comme nous l'avons fait,/=o.

On peut encore parvenir à la formule {p) au moyen de l'équation suivante :

ff\z^ n) étant le coefficient de ds dans la différentielle de <p(s, n), et (p(:;, /i) étant égal à

[n -h zY — n[n-h z — a)' -4- ">~-nil (n-^-i — 4)' — •• •»

tous les termes dans lesquels la quantité élevée à la puissance i est négative devant être rejetés, et z ne surpassant point /i, en sorte que la quantité élevée à la puissance i ne surpasse jamais s/z. En résolvant cette équation aux différences infiniment petites et finies, par la méthode du n^ 30, et déterminant convenablement les constantes arbitraires, on parvient à la forme [p).

Nous allons maintenant donner quelques applications de cette formule, qui vont nous conduire à plusieurs théorèmes curieux d'Analyse.

Supposons m nul ; alors on a

la formule {p) devient ainsi