LIVRE PREMIER

peut, en les réduisant en fractions continues, obtenir des approximations toujours convergentes.

Ce que nous venons de dire sur la série précédente peut s'étendre à toutes celles que nous avons considérées et doit ôter toute inquiétude sur les usages que nous en avons faits. En effet, on peut toujours arrêter ces séries au point où elles cessent d'être convergentes, et représenter le reste par une intégrale. C'est ce que nous allons faire voir sur la formule la plus générale du développement des fonctions en séries.

On a, en prenant l'intégrale depuis 5 = 0,

(f'{cc) étant la différentielle de <p(a?) divisée par dx. Si l'on désigne pareillement par <p''(a7) la différentielle de <f'{x) divisée par rfir, par <p'*(a7) la différentielle de <p''(^) divisée par dx et ainsi de suite, on aura

fdz <^'(x— z):=: z 9'(x — z) -h fz dz (^"(x •— s), fsdz(^''{x'-z) = ^t^ (^'{x— z) -hf^z^dz f^lx — z),

En continuant ainsi, on trouvera généralement

fdz <f'{x -Z)=Z (f'(x z) -t- i- <f''{x «)-!-...+ —J^ — - 9(»)(x - 2)

En comparant cette expression à la précédente, on aura

Faisons œ — z = t, l'équation précédente prendra cette forme

H —^ f^'^dz' <pf'«+0(/-hz^'),

l'intégrale étant prise depuis 2'= o jusqu'à js'= z. Il est clair que, si l'on faisait dans cette intégrale <p^'''^*^(^-+-^ — s') constant, on aurait un trop grand résultat si l'on prenait la plus grande valeur de cette quantité, et un trop petit résultat en prenant sa plus petite valeur. Il y a donc dans l'intervalle de 5' == o à 3' = s une valeur de s* telle qu'en supposant cette quantité constante, on aura un résultat exact. Soit u cette valeur; l'intégrale précédente devient ainsi

ce qui donne

l>^a«J» • ■ fit

z ^ u étant compris entre zéro et s. On pourra ainsi juger de la convergence de la série et du degré d'approximation, lorsqu'on s'arrête à l'un de ses termes.