LIVRE II

peu près à cette forme très simple

C'est donc l'expression fort approchée de la probabilité qu'aucune des boules de l'urne ne sortira à son rang, lorsqu'il y a un grand nombre de boules. Le logarithme hyperbolique de cette expression étant

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on voit qu'elle va toujours croissant à mesure que n augmente; qu'elle

est nulle, lorsque /i = i, et qu'elle devient -» lorsque n est infini,

c étant toujours le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité.

Concevons maintenant un nombre i d'urnes renfermant chacune le nombre n de boutes, toutes de couleurs différentes, et que l'on tire successivement toutes les boules de chaque urne. On peut, par les raisonnements précédents, déterminer la probabilité qu'une ou plusieurs boules de la même couleur sortiront au même rang dans les i tirages. En efiet, supposons que les rangs des couleurs soient réglés d'après le tirage complet de la première urne, et considérons d'abord la première couleur; supposons qu'elle sorte la première dans les tirages des £ — i autres urnes. Le nombre total des combinaisons des n — i autres couleurs dans chaque urne est, en ayant égard à leur situation entre elles, i.2.3...(/i — i); ainsi le nombre total de ces combinaisons relatives aux i — i urnes est [i . 2 . 3 . . . (/i — 1 )]'•"* ; c'est le nombre des cas dans lesquels la première couleur est tirée la première k la fois de toutes ces urnes, et, comme il y a /i couleurs, on aura

pour le nombre des cas dans lesquels une couleur au moins arrivera à son rang dans les tirages des i — i urnes. Mais il y a dans ce nombre des cas répétés; ainsi les cas où deux couleurs arrivent à leur rang

2i8 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

dans ces tirages sont compris deux fois dans ce nombre; il faut donc les en retrancher. Le nombre de ces cas est» par ce qui précède,

en le retranchant du nombre précédent, on aura la fonction ii[i.2.3...(/i-i)]'-«-^^^^^[i.!i.3...(n-2)]*-*.

Mais cette fonction renferme elle-même des cas répétés. En continuant de les exclure comme on Ta fait ci-dessus relativement à une seule urne, en divisant ensuite la fonction finale par le nombre de tous les cas possibles, et qui est ici (1.2. 3. . .n)'"', on aura, pour la probabilité qu'une des n — i couleurs au moins sortira à son rang dans les I — I tirages qui suivent le premier.

/?'-« i.2[/i(rt — i)]'-» i.2.3[/i(/*— 1) (n — 2)]'-*

expression dans laquelle il faut prendre autant de termes qu'il y a d'unités dans n. Cette expression est donc la probabilité qu'au moins une des couleurs sortira au même rang dans les tirages des 1 urnes.

10. Considérons deux joueurs A et B, dont les adresses soient p et q, et dont le premier ait a jetons et le second b jetons. Supposons qu'à chaque coup celui qui perd donne un jeton à son adversaire, et que la partie ne finisse que lorsqu'un des joueurs aura perdu tous ses jetons ; on demande la probabilité que l'un des joueurs, A par exemple, gagnera la partie avant ou au /i**'"* coup.

Ce problème peut être résolu avec facilité par le procédé suivant, qui est, en quelque sorte, mécanique. Supposons b égal ou moindre que a, et considérons le développement du binôme {p ■+- qf. Le premier terme /i^ de ce développement sera la probabilité de A pour gagner la partie au coupé. On retranchera ce terme du développement, et l'on en retranchera pareillement le dernier terme ^, si 6 = a, parce qu'alors