LIVRE IL 3S

ce terme exprime la probabilité de B pour gagner la partie au coup h. Ensuite on multipliera le reste par p-^q.Le premier terme de ce produit aura pour facteur pf'q, et, comme Texposant h ne surpasse que de b — I l'exposant de q^ il en résulte que la partie ne peut pas être gagnée par le joueur » au coup 6 + 1 , ce qui est visible d'ailleurs; car, si A a perdu un jeton dans les h premiers coups, il doit, pour gagner la partie, gagner ce jeton plus les b jetons du joueur B, ce qui exige 6 + 2 coups. Mais, si a = 6 -4- I , on retranchera du produit son dernier terme, qui exprime la probabilité du joueur B pour gagner la partie au coup 6-+- 1.

On multipliera de nouveau ce second reste par p-hq> Le premier terme du produit aura pour facteur /^"*"*y, et, comme l'exposant de py surpasse de b celui de q, ce terme exprimera la probabilité de  pour gagner la partie au coup 6 + 2. On retranchera pareillement du produit le dernier terme, si l'exposant de 9 y surpasse de a celui de p.

On multipliera de nouveau ce troisième reste par /? h- q, et l'on continuera ces multiplications jusqu'au nombre de fois n — 6, en retranchant à chaque multiplication le premier terme, si l'exposant de p y surpasse de b celui de q, et le dernier terme, si l'exposant de 9 y surpasse de a celui de p. Cela posé, la somme des premiers termes ainsi retranchés sera la probabilité de A pour gagner la partie avant ou au coup /i, et la somme des derniers termes retranchés sera la probabilité semblable relative au joueur B.

Pour avoir une solution analytique du problème, soit j^^-y la probabilité du joueur A pour gagner la partie, lorsqu'il a x jetons, et lorsqu'il n'a plus que x' coups à jouer pour atteindre les n coups. Cette probabilité devient, au coup suivant, ou j^p^.,,^^^,, ouj^p.,^..,, suivant que le joueur A gagne ou perd le coup; or les probabilités respectives de ces deux événements sont p et q : on 2l donc l'équation aux différences partielles

Pour intégrer cette équation, nous considérerons, comme précédemment, une fonction u de / et de t' génératrice de 7^.^^?', en sorte que yj^y

soit le coefBcient de t't"' dans le développement de cette fonction.. repassant des coefBcients aux fonctions génératrices, l'équatioD pr— dente donnera

d'où l'on tire par conséquent,

ce qui donne donc

t ipt' ~~ ip

Cette équation peut être mise sous la forme suivante : L'expression précédente de -■ donne

l'I'^' 2,[ipYl'''