LIVRE II

Maintenant, si Ton repasse des fonctions génératrices à leurs coefficients, et si l*on observe que Jo.jb' est nul, parce que le joueur A perd nécessairement la partie lorsqu'il n*a plus de jetons, l'équation précédente donnera, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,

la série du second membre s'arrêtant lorsque j: — 2r — i a une valeur

négative. Xf*"*\ X^*~'\ . . . sont les coefficients de p^, » • J^^» •• • dans le développement de la fonction

Si l'on nomme v! le coefficient de t^ dans le développement de u^ u sera une fonction de t' et de x, génératrice de j^^,^'. Si Ton nomme pareillement T' le coefficient de t dans le développement de u, le produit de

-jzr^t par la fonction {i) sera la fonction génératrice du second membre

de l'équation précédente; cette fonction est donc égale à u\ Supposons x = a-hb, alors 7>p,;p' devient ya-hè^xf et cette quantité est égale à l'unité; car il est certain que A a gagné la partie, lorsqu'il a gagné tous les jetons de B; u' est donc alors la fonction génératrice de l'unité; or œ' est ici zéro ou un nombre pair, car le nombre des coups dans lesquels  peut gagner la partie est égal à b plus un nombre pair : en etfet, A doit pour cela gagner tous les jetons de B, et de plus il doit regagner chaque jeton qu'il a perdu, ce qui exige deux coups. Ensuite, n exprimant un nombre de coups dans lequel A peut gagner la partie, il est égal à b plus un nombre pair; x\ étant le nombre des coups qui manquent au joueur A pour arriver à /i, est donc zéro ou un nombre

pair. De là il suit que, dans le cas de a: = a -h 6, u' devient -^-^,-^î on

a donc

__ T'__ (? + y/^ - ^pi) -{?- y/pi - ^py

ce qui donne la valeur de T. En la multipliant par la fonction (i) divisée par 2*7^"* et dans laquelle on fait x = a, on aura la fonction génératrice de y^^x égale à

Dans le cas de a = 6, elle devient

^apaffa

(t~/'=^)[(t4-/i-4M/'»)«-+-(i-v/'-4M^'«h] En développant la fonction

suivant les puissances de f^^ le radical disparait» et le plus haut exposant de /'dans ce développement est égal ou plus petit que a. Mais» si

l'on développe (i — yi — kP9^'^Y suivant les puissances de z**, le plus petit exposant de t! sera ^a; la fonction {q) est donc égale au développement de (i -h v^— kpq^'^y* en rejetant les puissances de f supérieures à a.

Maintenant on a, par le n** 3 du Livre V\

;; étant celle des racines de Téquation