LIVRE II

qui se réduit à l'unité lorsque a est nul. Cette racine est

en supposant donc a = pqt'^^ on aura

on aura ainsi

I —apqf^ + -^ ^ p^q^t'* ^ ^^-^ ^ p» ç« /'• + .. .

la série du dénominateur étant continuée exclusivement jusqu'aux puissances de t' supérieures à a. Ce second membre doit être» par ce qui précède, divisé par i — /'*, pour avoir la fonction génératrice de j^«,^; la quantité 7^,:^;' est donc la somme des coefficients des puissances de /', en ne considérant dans le développement de ce membre par rapport aux puissances de /' que les puissances égales ou inférieures à a/. Chacun de ces coefficients exprimera la probabilité que  gagnera la partie au coup indiqué par l'exposant de la puissance de t.

Si l'on nomme z^ le coefficient correspondant à /'"'*"*^ on aura généralement

flfa— 3) oznzi—apqzi^i'h , a P^q^'i-2—";

d'où il est facile de conclure les valeurs de s,, js,, . .., en observant que 5«,, 5.2, . . . sont nuls, et que Zq =//". La valeur de s,- étant égale à 7«,a4-2i —ya,a^2i-2f 0» aura celles dej^^, 7«,«4-2. ya,a^Af etc. L'équation aux différences partielles à laquelle on est immédiatement conduit se trouve ainsi ramenée à une équation aux différences ordinaires, qui détermine, en l'intégrant, la valeur de ya^* Mais on peut obtenir cette

Œuvres de L. — VII. 30

aS4 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

valeur par le procédé suivant, qui s'applique au cas général oii a et 6 sont égaux ou différents entre eux.

Reprenons la fonction génératrice de j^^- trouvée ci-dessus ; ^^^ est le coefficient de ^*'~* dans le développement de la fonction

-'p'Q-r-nr

en supposant

== (; tyAr.APR^L^T.-z 0ltlv^Lzl4>?/1!)^,

^i-fpqn

Il résulte du n** 5 du Livre I*"" que, si l'on considère les deux termes

que Ton fasse ensuite successivement /*= i et /'= — i dans le premier

terme, et ^ égal successivement à toutes les racines de l'équation Q == o

dans le second terme, la somme de tous les termes que l'on obtient de

cette manière sera le coeflicient de /'•' dans le développement de la

fraction

Ce que le premier terme produit dans cette somme est

pa — qa

t^b { pa-^b (|«"+'^ )

Pour avoir les racines de l'équation Q = o, nous ferons

a^^coscj

ce qui donne

^ (cosro-+- v^— I sinw)*"*** — (coscj— /--^ sînw)*"*"*

V^— I sinci (cos®)*"^*~'