LIVRE II. 1S

OU

n— ^sin(a + fr)CT sinBj(cosBj)<»'*-*-* '

Les racines de Téquation Q = o sont donc représentées par

r étant un nombre entier positif qui peut s'étendre depuis r=o jusqu'à r = a -h 6 — 2. Lorsque a-h b est un nombre pair, ^tt est une des valeurs de a; il faut l'exclure, parce que, coscr devenant nul alors, cette valeur de ts ne rend pas Q nul. Dans ce cas, l'équation Q = o n'a que a-^b — 2 racines; mais, comme le terme dépendant de la valeur CT = ^':: est multiplié dans l'expression dej^,*' P^r une puissance positive de cos^^^ — -yf on peut conserver la valeur de rqui donne CT = 57:,

puisque le terme qui lui correspond dans l'expression de ya,x' disparait.

Maintenant on a

dQdQ dm dV ~" dm dr "

d'où l'on tire, en vertu de l'équation sin(a -h b)xs = o,

dQ __ 4(g-H t)v^P7COs(r-n)7r __ 4 (^ -*-*)V^(— >)''*'' rfp "" sin=«©(cos©)«-^*-» '^ sin«By(cosnj)«-^*^^ '

Le terme

en observant que

devient ainsi

~" sinnj (cosBj)«-«'

— I )'^* a««+* Ipq '+« sm ^ i- sm ~ cos ^ j— I

( a -h ft ) ^p» - 2M cos '^^^ -f- ?» J

la somme de tous les termes que l'on obtient, en donnant à r toutes les valeurs entières et positives» depuis r = o jusqu'à r= a -h 6 — 2, sera ce que produit la fonction

nous désignerons cette somme par la caractéristique S placée devant la fonction (A).

Si Ton fait /+ i ==a-f- 6 — (r-h i), on aura

ces ^ i— z= — COS 'r- >

2fr'-+-i)7r ^fr-hO?:

COS r^ = COS— r-— >

De là il est facile de conclure que, dans la fonction (A), le terme relatif à r -h i est le même que le terme relatif à / -h 1 ; on peut donc doubler ce terme, et n'étendre alors la caractéristique S qu'aux valeurs de r

comprises depuis r = o jusqu'à r= ^^>si a -h 6 est pair, ou

-> si a H- 6 est impair. Cela posé, en observant que

. (r-M)fl7r f . . {r-hi)bn

on aura

f H ) / A^o/^o A / ^ .-^i sin ^r— sm ^ ~, — I cos ^ v- j

P' - ^M cos -^l-TT- -^ ?'

En changeant a en 6, /? en 9, et réciproquement, on aura la probabilité que le joueur B gagnera la partie avant le coup a + 21, ou à ce coup.