LIVRE II

Supposons a = b; sin ^-^ — -ç- deviendra sin^(r-h i)-. Ce sinus est

nul» lorsque r+ i est pair ; il suffit donc alors de considérer, dans Texpression dey^^^Uf les valeurs impaires de r-h i. En les exprimant par

as -\- I, et observant que sin — ~ = (— i)', on aura

p^ — ipq cos ^ ■•- — h q^

25 -4- 1 devant comprendre toutes les valeurs impaires contenues dans a — r.

Si Ton change, dans cette expression,/? en g, et réciproquement, on aura la probabilité du joueur B pour gagner la partie en a + 21 coups. La somme de ces deux probabilités sera la probabilité que la partie sera finie après ce nombre de coups; cette dernière probabilité est donc

— II* sm — cos --

I (pa ^ q^)[pqY-*-' s -i -^

p^— ipq cos ^ h q^

Si les adresses p et 9 sont égales, cette expression devient

a . 25-h I TT

sm ^ --

lorsque a -h ai est un grand nombre, on peut en conclure d'une manière fort approchée le nombre de coups nécessaire pour que la prol^ilité que la partie finira dans ce nombre de coups soit égale à une

fraction donnée |* On aura alors

t \.r (a^-f-OTrl

2^ 'L ia \ k — \

sm ' —

a + 2{ étant supposé un très grand nombre, fort supérieur au nombre a, il suffit de considérer le terme du premier membre qui correspond à f nul, et alors on a

log(cosiL)

ces logarithmes pouvant être à volonté hyperboliques ou tabulaires.

Si, dans les formules précédentes, on suppose a infini, h restant un nombre fini, on aura le cas dans lequel le joueur A joue contre le joueur B qui a primitivement le nombre h de jetons, jusqu'à ce qu'il ait gagné tous les jetons de B, sans que jamais celui-ci puisse gagner A, quel que soit le nombre des jetons qu'il lui gagne. Dans ce cas, la fonction génératrice (o) de j^^,* se réduit à

(i-^'*)('-+-vi-4M^'^r

car alors (i — \/i — l\pqt'^Y ^t (i — v'' — ^P^^'^T • développés, ne renferment que des puissances infinies de /', puissances que l'on doit négliger, quand on ne considère qu'un nombre fini de coups. On a par ce qui précède

[,^yli^!^pql'2)

En multipliant ce second membre par ^ ,^» le coefficient de z**^*' sera .r . 6(6 + 3) , , 6(6 + i+i)(6 + i+î)...(6 + âi-i);>'yi

c'est la valeur dej^^^+a/, ou la probabilité que A gagnera la partie avant ou au coup 6 -h 2«.