LIVRE II

Cette valeur serait très pénible à réduire en nombres, si b et at étaient de grands nombres; il serait surtout très difficile d'obtenir par son moyen le nombre de coups dans lesquels A peut parier un contre un de gagner la partie ; mais on peut y parvenir facilement de cette manière.

Reprenons la formule (H) trouvée ci-dessus. Dans le cas de a infini,

et p étant supposé égal ou plus grand que 9, si l'on y suppose r = f et - = rf<p, elle devient

'xiH-u-^^ pb ^pqY^% /*J9Sin2 9Sinfr9(cos9)^><

ya,b^ti=l —

/J9 sin 1

TT J p^ — ap^cosaç -4- j*

l'intégrale devant être prise depuis 9 = o jusqu'à 9 = ^x. Dans le cas de/? moindre que q, la même expression a lieu, pourvu que l'on change

le premier terme i dans^-

Si )9 = 7, cette expression devient

/rfçsinftçfcosç)*"*-*'-*-»

ir

sm9

l'intégrale étant prise depuis 9 nul jusqu'à 9 = {?r. Supposons maintenant que b et i soient de grands nombres. Le maximum de la fonction

9(cos9)

^tU¥%

sm9

répond à 9 = o, ce qui donne i pour ce maximum. La fonction décroit ensuite avec une extrême rapidité, et, dans l'intervalle où elle a une valeur sensible, on peut supposer

logsin9 = log9 -h log{ i — i 9») = log9 — i 9»,

log(cos9)*-»-«'+« = (fr-h2i-M)log(i — î9*-4- A-?*)