LIVRE II

/ étant supposé l'unité après les différentiations, ce qui donne

T = g{i-q)[gi-* + (i-qY-*-qi-*{i-gY-*],

On aura T" ct-^r- en changeant, dans ces deux dernières expressions, q dans i — q.

13. Une urne étant supposée contenir n + i boules, distinguées par les n^ o, 1,2,3, . . . , ai, on en tire une boule que Ton remet dans l'urne après le tirage. On demande la probabilité qu'après i tirages la somme des nombres amenés sera égale à s.

Soient /|, /s* t^^ . . . , ti les nombres amenés au premier tirage, au second, au troisième, ... ; on doit avoir

^sf ^s» • •• « ^1 étant supposés ne pas varier, cette équation n'est susceptible que d'une combinaison. Mais, si l'on fait varier a la fois /, et /„ et si Ton suppose que ces variables puissent s'étendre indéfiniment depuis zéro, alors le nombre des combinaisons qui donnent l'équation précédente sera

car /| peut s'étendre depuis zéro, ce qui donne

jusqu'à j — /, — ^4 — ... — //, ce qui donne /, = o, les valeurs négatives des variables /«, t^ devant être exclues.

Maintenant, le nombre 5 4- i — ^3 — ^4 — . . . ~ /,• est susceptible de plusieurs valeurs, en vertu des variations de t^,t^, .... Supposons

OEuwretde L. — WX, 33

d'ahordf., ^. .■■ invariables, et que /, puisse s'étendre indéfinimenl depuis zéro; alors, si l'on fait

en intégrant cette variable dont la dilTérence finie est l'unité, on aura f '-*!~.il poQp son intégrale; mais, pour avoir la somme de toutes les valeurs de a^, il faut, comme l'on sait, ajoutera à celte intégrale; cette somme est donc ^-^ — --• Il faut y faire régala sa plus grande valeur, que l'on obtient en faisant/, nul dans la fonction 5 + i — ï, — (4 — .,. — /,: ainsi le nombre total des combinaisons relatives aux variations de t,, tt et/, est

[s + ^ - t^~ t,~ . . .- tt){s + i ~ h- U- . . .- ti)

En faisant encore dans cette fonction elle devient -

tion elle-même à cette intégrale, on aura -- — .j— nulle répond à ï, = 5 -h 2 — ï, — . . . — /,-, et sa plus grande valeur répond à (, nul, et par conséquent elle est égale à j + 2 — (j — ... — /, ; en substituant donc pour x cette valeur dans l'intégrale précédente, on aura {s + ^^ — ^i~-tt—.■■—li)[i■^^ — t^—u—...~ti){$+\'-ti—tt—...— l^.

pour la somme de toutes les combinaisons relatives aux variations de f , , /,, tf, ti. En continuant ainsi, on trouvera généralement que le nombre total des combinaisons qui donnent l'équation (1), dans la supposition où les variables /,, /,, ..., ti peuvent s'étendre indéfiniment depuis zéro, est