LIVRE II

mais, dans la question présente, ces variables ne peuvent pas s'étendre au delà de n. Pour exprimer cette condition, nous observerons que, Turne renfermant n + 1 boules, la probabilité d'extraire Tune quelconque d'entre elles est -— -; ainsi la probabilité de chacune des valeurs de /,, depuis.zéro jusqu'à /i, est La probabilité des valeurs

de /|, égales ou supérieures à ^ + i, est nulle; on peut donc la représenter par -^^^^ — ï pourvu que l'on fasse /= i dans le résultat du calcul ; alors la probabilité d'une valeur quelconque de /« peut être généralement exprimée par -^ » pourvu qu'on ne fasse commencer /,

que lorsque /« aura atteint n + 1, et qu'on le suppose à la fin égal à l'unité; il en est de même des probabilités des autres variables. Maintenant, la probabilité de l'équation (i) est le produit des probabilités

des valeurs de /,, /j, /,,..•; cette probabilité est donc ( j ; le

nombre des combinaisons qui donnent cette équation, multipliées par leurs probabilités respectives, est ainsi le produit de la fraction (a) par

mais il faut, dans le développement de cette fonction, n'appliquer/"^* qu'aux combinaisons dans lesquelles une des variables commence à surpasser ni il faut n'appliquer P""^^ qu'aux combinaisons dans lesquelles deux des variables commencent à surpasser n, et ainsi du reste. Si dans l'équation (i) on suppose qu'une des variables, /,, par exemple, surpasse w, en faisant /, = /i -h i -h z'^, cette équation devient

s— n — i=zt\ -f- /2 -4- /s H- • . ,

la variable /', pouvant s'étendre indéfiniment. Si deux des variables telles que /, et t^ surpassent n, en faisant

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l'équation devient

et ainsi de suite. On doit donc, dans la fonction (a) que nous avons dérivée de l'équation (i), diminuer s de «-+- i, relativement au système des variables i\, (,, i^, On doit le diminuer de 2/1 + 2, relativement au système des variables l\ , l'^, t , et ainsi du reste. Il faut

par conséquent, dans le développement de la fonction (b) par rapport aux puissances de /, diminuer, dans chaque terme, s de l'exposant de la puissance de /; en faisant ensuite /=^ i, cette fonction devient

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la série devant être continuée jusqu'à ce que l'un des facteurs s — n. X ~ 2/1 — I, s — 3n — 2, . .. devienne nul ou négatif.

Cette formule donne la probabilité d'amener un nombre donné;, en projetant! dés d'un nombre n + 1 de faces chacun, le plus petit nombre marqué sur ces faces étant t . Il est visible que cela revient à supposer dans l'urne précédente tous les nombres des boules augmentés de l'unité, et alors la probabilité d'amener le nombre 5+1 dans i tirages est la même que celle d'amener le nombre s dans te cas que nous venons de considérer; or, en faisant * -h i = i', on a $ = $"—1; la formule (c) donnera donc, pour la probabilité d'amener le nombre 5' en projetant les i dés,