Chapitre I. — Des ponctions génbratbicbs a une vabiablb

ri étant une fonction quelconque d'une variable telXx é>(iQt io coefScient de i' dans le développement de cette fonction, u oslfonciîvn gdndreUrice de^^. Si l'on multiplie u par une fonction quelconque ^ do - > on aura une nouvelle fonction génératrice qui sera celle d'une fonction de j-j, j^+i, etc. En désignant par vji c«tte dernière fonction, us' sera la fonction génératrice do v'/i, en sorte que l'exposant de «, dans la fonction génératrice, devient celui de la caractéristique v dans la fonction engendrée. N" 2

De l'intcrpolali

■ciitiellcs linéaires.

des SI

e variable, et de l'intégfozioii des équations diffe-

TABLE DES MATIERES. clvii

Formule générale d'interpolation dos séries dont la dcrnièro raison des termes est celle d'une suite dont le lermo général est donné par une équation linéaire aux différences, à coefficients constants. N*" 5 id

La formule s'arrête lorsque la raison des termes est celle d'une suite semblable, et alors elle donne l'intégrale dos équations linéaires aux différences finies, dont les cocfficienls sont constants. Intégration générale de ces éciuations, dans le cas mémo où elles ont un dernier terme fonction do l'indice. N° G 25

Formule d'interpolation des mêmes suites, ordonnée par rapport aux différences successives de la variable principale. N"* 7 29

Passage do cette formule, du fini à l'infinimcnt petit. Interpolation des suites dont la dernière raison des termes est cello d'une équation aux différences infmimcnl petites linéaires, à coefficients constants. Intégration de ce genre d'équations, lors mémo qu'elles ont un dernier terme. N* 8 ii

De la transformation des suites, N^ 9 35

Tl^éwèmes sur le développement des fonctions et de leurs différences en séries .... J7 On dédait du calcul des fonctions génératrices les formules

«^ et £ se rapportant au cas où x varie de l'unité et 'A et 'X se rapportant au cas où .'varie de /. On tire de ces formules les suivantes :

'AVx = \^ rf'-i;, 'SVx = \c '''-1/ ,

dans lesquelles c désigne le nombre dont le logarithme hyporboliquo est l'unité, et 'A et 'S se rapportent à la variation a do x. On transforme l'expression do '^**j'x dans céUe-ci

On parvient à ces formules

^=[l0g(.^Aj,)^ S'^Xxdx'^ = [log(l -f- Aj;r)]-«.

"^i^logie entre les puissances positives ot les différences et entre les puissances négatives et les intégrales, fondèd sur ce que les exposants des puissances, dans les fonctîoDB génératrices, se transportent aux caractéristiques correspondantes de la variable ^x- Généralisation des résultats précédents. N"" 10 37

^^^rèmes analogues aux précédents sur los produits do plusieurs fonctions d'uno KiQéme variable et spécialement sur le produit />'jx* N** 11 i4

^^l^i^^ttre n. — Dbs PONcnoxs génératrices a deux variables \()

^ âtant une fonction de deux variables t et t\ eij'x,x' étant le coefficient de t^t'^' dans le développement de cette fonction, u est fonction génératrice de j^x^x'* Si l'on

multiplie u par une fonction j de •- et p 9 le coefficient de t^t'^' dans le développement de 08 produit sera une fonction de j^x,xs/24-i,x')j^x,x'+i« etc.; en la désignant PW v/« x*» «^ sera la fonction génératrice do v'jar,*'. N° 12 4y

cLviii TABLE DES MATIÈRES.

Pli»

De l'interpolation des suites à deux variables et de l'intégration des équations linéaires atu: diffi!rences partielles 5i

Formule générale de rinlorpolalion des suites dont la dernière raison des tennes est celle d'une série dont le terme général est donné par une équation linéaire aux différences panielles, à coefficients constants. N° 13 5i

La formule s'arrûto lorsque la raison des termes est celle d'une série semblable, et alors elle donne l'intégrale des équations linéaires aux différences Qnies partielles, dont les coefficients sont conétanta. Cetto intégrale suppose que l'on connaît ou que l'on peut déduire des condilions du problème n valeurs arbitraires Atjx,x-, en donnant, par exemple, à x les n valeurs o, i, a, . . ., n — i, x' étant d'ailleurs quelconque. Expression très simple dej-^i', lorsque ces fonctions arbitraires en J-' sont données par dos équations linéaires aux dilTérencee, à coefficients constants. N° U S5

Expression générale do ^^z' sous la forme d'intégrale définie; remarque importajite sur le nombre des fonctions arbitraires que renferme l'intégrale des équations à différences partielles. K° 15 5;

Examen de quelques cas qui échappent à la formule générale d'intégration donnée daos ce qui précède; dans ce cas, les caractéristiques des différences Qnies que renferment les intégrales ont pour exposants les indices variables des équations aux différences partielles. N" 16 6i

Intégration de l'équation

o = yy^..--^- \ A"-' V.t,:f-^ ii i''-''i'j'x.:r' + . . .,

A so rapportant à la variabilité de x dont l'unité est la différence, et 'b, se rapportant à la variabilité de x' dont a est ta différence. On en déduit l'intégrale de l'équation aux différences partielles infiniment petites et finies, que l'on obtient on changeant, dans la précédente, aentir', et la caractéristique 'i en d. N° 17... 64

Théorèmes sur le développement en séries des fonctions de plusieurs variables 67

Ces théorèmes sont analogues â ceux qui ont été donnés précédemment sur les fonctions à une seulo variable, cl l'on y retrouve l'analogie observée entre les puissances positives et les différences, et entre les puissances négatives et les intégrales. N- 18 67

Considérations sur les passages dujini à l'injtniment petit 70

La considération de ces passages est très propre à éclaircir les points les plus délicats du Calcul infinitésimal. Elle montre avec évidence que les quantités négligées dans ce (^cul n'ôlent rien à sa rigueur. En l'appliquant su problème

TABLE DES MATIÈRES. cLxi

Uion de r équation

o = V + jT-i-yR,

. R étant des fonctions quelconques linéaires de/,,,' et de ses différences ordi-

- et partielles, finies et inG aiment petites. N*32 taS

III. — Application des iibthodes pbbgédentes a l'approximation de di-

roHCTtONS DB TBâS CBAHDS NOHBBES laS

■rimatioa des produits composés d'un grand nombre de facteurs et des

'^ pofynômes élevés à de grandes puissances iiB

: l'équation o =(i-\-i)y, — ]r,-i, approchée par les méthodes du Chalent et comparée à son intégrale finie, donne, par une série très conproduil ([i-4-i)((i-i-3)...j. En foisant j négatif et passant du positif ' du réel i l'imaginaire, on parvient à cette équation remarquable

fj»-idxc-' ~J ^ *

rrale étant prise depuis j: nul jusqu'à x infini, et la dernière inté-

ontre Ira linùlca imaginaires de j^ qui rendent nulle la fonetiun

' an moyen facile d'avoir rinlégralc f — ^ — . prise depuis ,i Cotte équation donne encore la valeur des intégrales

/ffaoosw /'mrfrosinm 1 -1- Œ» ' J 1 -4- m* '

^Z — fc.i^^ '1"'* w inûni. On trouve — pour ces intégrales ; leur accord ^ h ^^ S^r V prouve la justesse rl« ces passages du pogilif su néjfalif tt^ • 668 divors réauilats ( ''unnéa dans les Mémuircs de

iiMr l'onnéo 1783. N" jiâ

«tioD o=((ï'+ b's)) ^■^'■,, d'où l'on tiru, par

nvorgente, le terme sndanl do a du bi-

xéUMkftM-^^ <37

""""^^^ une série convi mo moyen ou indépen-

t dn polyndnit

'Iffclen '4 développement de

'ficîei 'e fl-' jusqu'à celui

cMtté«HH>**^B^^^^ ince très élevée

I0 âfM / «• SM^ ^« |uo ''ort éloigné

eu TABLE DES MATIÈRES.

On parvient aux formules

/dxco^rx __ prdxalnrx __^ ^

les intégrales étant prises depuis x = — oo jusqu'à x = + oo; et l'on en déduit les

^dx , rx. prises dans les mêmes limites, N étant une fonction ra- N sm

tionnelle et entière de x, d'un degré supérieur à M, et n'ayant pas de facteur réel

du premier degré. N* 26 99

Expression de l'intégrale fdtc-** prise entre des limites données, soit en séries, soit en fraction continue. N* 27 loa

Approximation des double, triple, etc. intégrales des différentielles multipliées par des facteurs élevés à de hautes puissances. Formules en séries convergentes pour intégrer, dans des limites données, la double intégrale ffxdxdx\ y étant une fonction de x et de x'. Examen du cas où l'intégrale est prise très près du maximum de^-. Expression de l'intégrale en séries convergentes. N*" 28 io5

Chapitre II. — Db L'mTiGRATioN par approximation des équations linéaires aux