DIFFERENCES FINIES ET INFINIMENT PETITES

Intégration de l'équation aux différences finies

S = Aj,-f- BA7,-t- C A«j,-f-. . .,

A, B, C, ... étant des fonctions rationnelles et entières de s. Si la variable^, est exprimée par l'intégrale définie Jx^^^dx ou par celle-ci fc-'^^dx^ ^ étant fonction do X, on a, par les formules du Chapitre précédent, la valeur do j^^ en séries très convergentes, lorsque l'indice s est un grand nombre. Pour déterminer (p, on substitue pour Xs son expression en intégrale définie, dans l'équation aux différences en j^„ qui se partage en deux autres, dont l'une est une équation différentielle en <p, qui sert à déterminer cette inconnue; l'autre équation donne les limites de l'intégrale définie. N» 29 m

Intégration d'un nombre quelconque d'équations linéaires à un seul indice et ayant un dernier terme, les coefficients de ces équations étant des fonctions rationnelles et entières de cet indice. Cette méthode peut être étendue aux équations linéaires à différences ou infiniment petites, ou en parties finies et en parties infiniment petites. No 30 117

La principale difficulté de cette analyse consiste à intégrer l'équation différentielle en <p, qui n'est intégrable généralement que dans le cas où l'indice s n'est qu'à la première puissance dans l'équation aux différences en j«, qui alors est de la forme 0 = y +.fT, Y et T étant des fonctions linéaires de y» et de ses diiTérences, soit finies, soit infiniment petites. Intégrale de cette dernière équation, par une série très convergente, lorsque s est un grand nombre. Remarque importante sur l'étendue de cette série, qui est indépendante des limites de l'intégrale définie par laquelle j^^ est exprimé, et qui subsiste dans le cas môme où l'équation aux limites n'a que des racines imaginaires. Lorsque, dans l'équation en^„ s surpasse le premier degré, on peut quelquefois la décomposer en plusieurs équations qui ne renferment que la première puissance de s. On peut encore, dans plusieurs cas, intégrer, par une approximation très convergente, l'équation différentielle en (p. N"" 31 lai

TABLE DES MATIÈRES. clxi

Intégration de réqaatîon

o = V-f-jT-i-j'R,

Y,T,R étant des fonctions quelconques linéaires de j,,^' et de ses difTérences ordi- Daim et partielles, finies et infiniment petites. N*" 32 mS

Cki|to Œ. — Application des méthodes précédentes a l*approxi]iation de di-

VIIBD FONCnONS DE TRÈS GRANDS NOMBRES 1^8

De Va^nnmaiion des produits composés d'un grand nombre de fadeurs et des termes des polluâmes élevés à de grandes puissances 1 28

Llitégnle de réqoation o=(x + i)^, — Xs-u approchée par les méthodes du Chapitn précédent et comparée à son intégrale finie, donne, par une série très convergente, le produit ( fx + 1) ( fx -t- a). . . j. En faisant s négatif et passant du positif aa négatif et du réel à Timaginairo, on parvient à cette équation remarquable

aTC(— i)* rdxc-'

la preaûèn intégrale étant prise depuis x nul jusqu'à x infini, et la dernière intégrale étant prise entre les limites imaginaires de x qui rendent nulle la fonction

/, cos dx . X sin PL — ' prise depuis .r

nul josqQ'à x infini. Cette équation donne encore la valeur des intégrales

'iftvcosiD r'^dwsxïixa

/avcosra /*wdws\ny

priaeadepois m nul jusqu'à m infini. On trouve -^ pour ces intégrales; leur accord

*vee les résultats du n* 26 prouve la justesse de ces passages du positif au négatif ^<1d réel à l'imaginaire : ces divers résultats ont été donnés dans les Mémoires de

^*^eodàme des Sciences pour Tannée 178a. N* 33 128

^%ila approchée de Téquation o =(a -*- ^ j)j,+i — (a -+- lfs)jrs, d*oii Ton tire, par ^ aérie simple et très convergente, le terme moyen ou indépendant de a du bi-

iéaie^a-f-i^''.N^34 l'iy

^'^^^ générale pour avoir, par une série convergente, le terme moyen ou indépon- ^ de a, dans le développement du polynôme

^àone très haute puissance. N'^SK 140

^^P'^snoBS, en série convergente, du coefficient de a^^, dans le développement de ^^poleiance, et de la somme de ses coefficients, depuis celui de a-^ jusqu'à celui

^B'^ttion par approximation de Féquation aux différences /7'=.r^',-t-(^—/)j,+i. ^ n déduit l'expression de la somme des termes de la puissance très élevée j Qû binéoie, en arrêtant son développement à un terme quelconque fort éloigné "'> premier. N* 37 i5i

QRbrif ifo I. — VII. ^I

cuil TABLE DES MATIÈRES.

De l'approxinuaioii des différences infiniment petites et finies trèi élevties des jonc-

ApproxJmalioD des différences infmimcnl petites très élevées doe puissances d'un polynôme. Expression 1res approchée do la ditféronlielle très élevée d'un angle, prise par rapport à son sinus, N° 38

E<(pressions en intégrales dfUnîos dos diiïéronces Haies et iarmiment petites de j„ lorsqu'on cal parvenu à lui donner l'une ou l'autre des formes fx'ifdx,/c-"'sdx N''39 ."...

Approximation en séries très convergonles do i" ~ i " étant un grand nombre. On en déduit, au moyen des passages du positif au négatif et du réel à l'imaginaire, l'approximation de An.r'. La convergence do la série exige (luo i surpasse r et que la difrérence / — « iio soit pas fort petite par rapport h s+ -■ Expression on série do i".*', dans ce dernier cas. N° iO

Expression de la différence \''s' lorsque i est plus petit que ». N° 41

Expression de la somme des termes do A".r', en arrêtant son développement au terme dans lequel la quantité élevée A la puissance i commeiico ;'i devenir négative. ApproximatioT^, on série très convergente, de la fonction

dans laquelle ou rejette les termes où la quantité élevée à la puissance it± l cé{

négative, l étant un nombre entier peu considérable par rapport h n. N° 43

Extension des méthodes précédentes aux dt^érenccs Gnies très élevées de la forme

y>(s + py(s+p'r(,s+p-y ... nm3

Hemtirqitc générale sur la convergence des siiries. N° 44