Chapitre I. - PniN-npng nÉvnntt

Si un évéDemenl observé peut résulter de /i causes dilTérentos, leurs probabilJiés sont

rospocliïoment, comme les probabilités do l'événemeiil, tirées de leur eiislence, ol la probabilité de chacune d'elles ost une fracLion dont le numérateur est la probabilité de l'événemont dans l'hypoUièse de l'existonco do la cause, et dont le dénominateur est la somme des probabilités semblables, relatives è toutes les causes. Si ces diverses causes considérées a priori sont inégalement probables, il faut, au lieu de la probabilité de l'événement, résultante de chaque cause, employer le produit de cette probabilité par celle de la cause elle-même.

La probabilité d'un événement Tutur est la somme des produits de la probabilité de chaque cause, tirée de l'événement observé, par la probabilité que cette cause exislanl, l'événement futur aura lieu.

Do l'inDuence que doit avoir sur Iob résultats du Calcul des Probabilités la différence inconnue qui peut exister entre des événements simples que l'on suppose également possibles. Cotte difTérence augmente la probabilil^ des événements composés do la répétition d'un mémo é\énemcnt. N° 1

Des espérances mathémaiique et morale. La première est le produit du bien espéré par la probabilité de t'obienîr; la seconde dépend de la valeur relative du bien espéré. La règle la plus naturelle et la plus simple pour apprécier cette valeur consiste à supposer la valeur relative d'une somme infiniment petite en raison directe de sa valeur absolue et en raison inverse du bien total de la personne intéressée. N'2

Chapitre II. — De la phobabilitb des bténbuents conposéb d'événements simples DOM les possibilités bespbctives sont données

Expression du nombre de combinaisons de h leilres prises r à r lorsqu'on a égard eu non à leur situation respective. Application aux loteries. N° 3

Une loterie étant composée de n nuine'ros dont r sortent à chaque tirage, on demande la proimbilité qu'après i tirages tous les numéros seront sortis. Solution générale du problème. Expression très simple cl très approchée de la probabililé lorsque n et i sont de grands nombres. Application au cas où n = loooo et r = ■ . 11 y a, dans ce cas, un peu moins d'un contre un à parier que tous les numéros sortiront dans 95767 tirages et un peu plus d'un contre un à parier qu'ils sortiront dans 95768 tirages. Dans le cas de la lolcrio de France, où » = go et r = 5, il y a un peu moins d'un contre un à parier que tous les numéros sortiront dans 95 tirages, et un peu plus d'un contro un à parior qu'ils sortiront dans 86 tirages. N" 4

Une urne étant supposée renfermer le nombre j: ilc boules, on en tire une partie ou la totalité, et l'on demande la probabilité que le nombre de boules extraites sera pair. Solution du problème. Il y a de l'avantage â parior pour un nombre impair. N'S

Expression do la probabilité d'amener x boules blanches, x' boules noires, x* boules rouges, etc. , en tirant une boule do chacune dos urnes dont le nombre est

et ijwi trtili-nni^ni c lju<; un 0 /] boules blanches. 7 boules noires, r boules rouges, etc.

-'tuibilil^ rie tirer ainsi des urnes précédentet x boules blancliet.

TABLE DES MATIÈRES

ai'oni d'amener soit £ bouies noiMs, toit jr' boulet rouget, soit, etc. Solution du problème par la méthode des combinaisons. Identilé de ce problème avec celui qui consiste è déterminer les sorts d'un nombre n de joueurs dont les adresses respectives sont connues lorsqu'il manque, pour gagner la partie, x coups au premier, .r' au second, .x* au troisième, etc. N"?

Solution générale du problème précédent par l'analyse des lonctions génératrices. Dans le cas de deux joueurs A et B dont los adresses respectives sont égales, le problème est celui que Pascal proposa à Fennat et que ces doux grands géomètres résolurent. H revient à imaginer une urne qui renferme doux boules, l'une blanche et l'autre noire, portant chacune le n° 1, la boule blanche étant pour le joueur \, la boule noire pour le joueur B. On tire de l'urne une boule que l'on y remet ensuite pour procéder à un nouveau tirage, et l'on continue ainsi jusqu'à ce que la somme des numéros sortis, favorables à l'un dos joueurs, atteigne un nombre donné. Après un certain nombre do tirages, il manque encore au joueur A lo nombre x et au joueur B le nombre x'. Les deux joueurs conviennent alors de se retirer du jeu en partageant l'enjeu qu'ils ont mis on commentant : il s'agit do connaître comment doit se faire ce partage. Ce qui revient aux joueurs doit être évidemment proportionnel à leurs probabilités respectives de gagner la partie. Généralisation et solution du problème : i° en supposant dans l'urne une boule blanche favorable à A et portant le n* i et deux boules noires favorables à B et portant l'une, le n° i, et l'autre, le n* a ; chaque boule diminuant de son numéro le nombre dos points qui manquent au joueur auquel elle est favorable; a* en supposant dans l'urne deux boules blanches portant les n** i et i et deux boules noires portant les mêmes numéros- N* 8

Concevant dans une urne r boules morquifes du a° i, r boules marguAt du n° a, ei ainsi de suite jusqu'au n° n; ces boules étant bien mêlées dans l'urne et tirées toutes succctsivemeiil, on demande la probabilité qu'il sortira au moins s boules au rang indiqué par leur numéro. Solution générale du problème ot do celui dans lequel, ayant lumes renfermant chacune le nombre » de boules, toutes de couleurs difTérenles ot que l'on tire toutes successivement de chaque urne en complétant le tirage d'une urne avant de passer ù une autre urne, on demande la probabilité qu'une ou plusieurs boules de la mémo couleur sortiront au même rang dans les tirages complets des urnes. N' 9

Deux Joueurs Xet B, dont les adresses rctpecliivs sont p et q et dont le premier a te nombre a de Jetons et le second le nomltre b, Jouent à cette condition que celui qui perd donne un Jeton à son adversaire et que la partie ne finisse que lorsque l'un des joueurs aura perdu tous ses Jetons; on demande la probabilité que l'un des joueurs gagnera la partie avant au au n'^me coup. Fonction génératrice de cette

TABLE DES MATIÈRES. cLxr

PagPB

des deux premiers joueurs qui a gagné joue avec le troisième, et, s'il le gagne, il coiUinue de jouer avec le quatrième, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'il perde, ou jusqu'à ce qu'il ait gagné successivement tout les joueurs. Dans ce dernier cas, la partie est finie. Mais, si le joueur gagnant au premier coup est vaincu par l'un des autres joueurs, le vainqueur joue avec le joueur suivant et continue de jouer jusqu'à ce qu^ii soit vétincu ou jusqu'à ce qu'il ait gagné de suite tous les joueurs. Le jeu continue ainsi juqu'à ce qu'un des joueurs gagne de suite tous les autres, ce qui fimt la partie, et €dors le joueur qui la gagne emporte tout ce qui a été mis au jeu, Cdaposé, on demande : i* la probabilité que le jeu finira avant ou au nombre x de coups; a* la proMfilitéque l'un quelconque des joueurs gagnera la partie dans ce nom&re de coupt; 3* son avantage. Solution générale du problème. Fondions génératrices de ces trois quantités, d'où Ton tire leurs valeurs. Expressions fort simples de ces quantités, lorsque x est infini ou lorsque le jeu est continué indéfiniment. N* 1 J 2(2

éj étant la probabilité d'un événement simple à chaque coup, on demmide la probabilité de l'amener i fois de suite dans le nombre .v de coups. Solution du problème. Fonction génératrice de cette probabilité, d*où l'on tire l'expression de la proba-» bilité.

Dtux joueurs ket^y dont les adresses respectives sont q et i — ^, jouent à cette coU' ditioH que celui des deux qui aura le premier vaincu i fois de suite son adversaire gagnera la partie ; on demande les probabilités respectives des joueurs pour gagner la partie, avant ou au coup x. Solution du problème au moyen dos fonctions gén6ntrices. Expressions do ces probabilités dans le cas de x infini. Sorts respectifs des joueurs, en supposant qu'à chaque coup qu'ils perdent, ils déposent un franc au

jeu. N*lî iji

Une urme t^ant supposée contenir n-\-i boules, dùttinguées par /^x //*** o , i , 2 , 3 , . . . , /z , OUI en tire une botde que l'on remet dans l'urne après le tirage; on demande la probabilité qi^ après i tirages la somme des nombres amenés sera ég€ile à s. Solution du problème fondée sur un artifice singulier, qui consiste dans l'emploi d'une caractéristique propre à faire connaître la diminution successive quMl faut faire aubir à la variable, dans chaque terme du résultat ûnal des intégrations successives, lorsqu'elles sont discontinues. Application do la solution au problème qui consiste à déterminer la probabilité d'amener un nombre donné, en projetant i dés, chacun d'un nombre /i + 1 de faces, et au problème où l'on cherche la probabilité que la somme des inclinaisons à l'écliptique d'un nombre s d'orbites sera comprise dans des limites données, on supposant toutes les inclinaisons, depuis zéro jusqu'à l'angle droit, également possibles. On fait voir que l'existence d'une cause commune qui a dirigé les mouvements de rotation et do révolution des planètes et des satellites, dans le sens de la rotation du Soleil, est indiquée avec une probabilité excessivement approchante de la certitude et bien supérieure à celle du plus grand nombre des faits historiques, sur lesquels on ne se permet aucun doute. La même solution, appliquée au mouvement et aux orbites des cent comètes observées jusqu'à ce jour, prouve que rien n'indique, dans ces astres, une cause primitive qui ait tendu à les faire mouvoir dans un sens plutôt que dans un autre, ou sous une

inclinaison plutôt que sous une autre, au plan de l'écliptique. N** 13 267

Solution du problème exposé au commencement du numéro précédent, dans le cas où k nombre des boules qui portent le môme numéro n'est pas égal à l'unité et varie Boivani une loi queleonque. N"" 1 i 26 >

cLxvi TABLE DES MATIÈRES.

Application de l'arlitlco exposé dans le n° 13 à la sblulion de ce problème. Soient i quantités -variablct dont la somme est s et tliint les lois de possibilité sont coiuiuc.t et peuvent Être discontinues i on propose de trouver la sonane des produits de chaque valeur que peut recevoir une fonction quelconque de ces variables, multipliée par la probabilité correspondante à celte valeur. Application de celle eolution k la recherche do la probabilité que l'crrour du ri^sullat d'un nombre quelconque d' observa lion s dont les lois do facilité des erreurs sont exprimées par des Tonctioiis rationnelles et enlibres do ces erreurs sera comprise dans des limites données.

Application de ia même solution à la rochorclio d'une règle propre à faire connaître le résultat lo plus probable des opinions Émises parles divers membres d'un tribunal; cette règle n'est point applicable aux choix des assemblées électorales. Règle relative à ces clioix, lorsqu'on fait abstraction des passions des électeurs et dos considérations étrangères au mérite, qui peuvent les détorminor. Ces diverses causes rendent cotte règle sujette à de graves inconvénients qui l'ont fait abandonner. Rccliorche de la loi do probabilité des erreurs dos observations, moyenne entre toutes celles qui satisfont aux conditions que les erreurs positives soient les mémos que les erreurs négatives, et que leur probabilité diminue quand elles augmentent.

Chapitre III. — Des lois de la probabilité otii bkeultsnt de l.\ ucltiplicition

s ÉVÉNEMENTS ■ a8n

p étant la probabilité de l'arrivée d'un événement simple à chaque coup et i — p celle de sa non-arrivée, déterminer la probabilité que, sur un très grand nombre n de coups, le nombre de fois que l'événement aura lieu sera compris dans des limites données. Solullon du problème. Le nombre do fois le plus probable est np. Expression de la probabilité que ce nombre de fois sera compris dans les limites np ± l. Les limites ± / restant les mémos, cette probabilité augmente avec le nombre n do coups : la probabilité restant la même, lo rapport de Tiniervalle %l des limites au nombre » se resserre quand n augmente, et, dans le cas de n infini, ce rapport devient nul et la probabilité se change on cortilude. La solution du problème précédent sert encore à déterminer la probabihté que la valeur de p, supposée inconnue, est comprise dans des limites données, lorsque, sur un très grand nombre n de coups, on connaît le nombre i des événements correspondants â /> qui sont arrivés :

p est à très peu près -< et généralement lorsque, dans un coup, il doit arriver l'un

quelconque de plusieurs événements simples, les probabilités respectives de ces événements sont à très peu près proportionnelles au nombre de fois qu'ils arrive-

TABLE DES MATIÈRES. clxvii

à chaque tirage, on en extrait une que l'on remplace par une boule noire; on demande la probabilité que, après r tirages, le nombre des boules blanches sera x,

La solution do problème dépond d'une équation linéaire aux différences finies partielles du premier ordre, à coefficients variables. Réduction de cette équation à une équation aux différences partielles infiniment petites. Intégration de cette dernière équation. Application de la solution au cas où l'urne est remplie primitivement de cette manière : on projette un prisme droit dont la base, étant un polygone régulier de p-\-q côtés, est assez étroite pour que le prisme ne retombe jamais sur elle ; sur les /? + g faces latérales, p sont blanches et q sont noires et l'on met, dans l'urne A, à chaque projection, une boule de la couleur de la face sur laquelle le prisme retombe.

Deux urnes A ^f B renferment chacune un très grand nombre n de boules blanches et noires, le nombre des blanches étant égal à celui des noires dans la totalité ^n des boules; on tire en même temps une boule de chaque urne, et l'on remet dans une urne la boule extraite de l'autre. En répétant un nombre quelconque r de fois cette opération, on demande la probabilité qu'il y aura x boules blanches dans l'urne A.

Le problème dépend d'une équation linéaire aux différences finies partielles du second ordre, à coefficients variables. Réduction de cette équation à une équation aux différences partielles infiniment petites du second ordre. Intégration de cette dernière équation au moyen d'une intégrale définie. Développement de cette intégrale en séries. Détermination des constantes de la série au moyen de sa valeur initiale. Théorèmes analytiques relatifs à cet objet. Application de la solution au cas où l'urne A est primitivement remplie, comme dans le problème précédent. Valeur moyenne des boules blanches de chaque urne, après r tirages. Expression générale de cette valeur, dans le cas où l'on a un nombre e d'urnes disposées circulairement et renfermant chacune un grand nombre /t de boules, les unes blanches et les autres noires, chaque tirage consistant à extraire en môme temps une boule de chaque urne et à la remettre dans la suivante, en partant de l'une d'elles, dans un sens déterminé. NM 7 289

Chapitre IV. — De la probabilité des erreurs des résultats moyens d'un grand

NOUDRB d'observations ET DES RÉSULTATS MOYENS LES PLUS AVANTAGEUX SotJ

Déterminer la probabilité que la somme des erreurs d'un grand nombre d'observa-tions sera comprise dans des limites données, en supposant que la loi de possibilité des erreurs est connue, et la même pour chaque obsersHition, et que les erreurs négatives sont aussi possibles que les erreurs positives correspondantes. Expression générale de cette probabilité. N^ 18 309

Déterminer, dans les suppositions précédentes^ la probabilité que la somme des erreurs d'un grand nombre d'observations ou la somme de leurs carrés, de leurs cubes, etc., sera comprise dans des limites données, abstraction faite du signe. Expression générale de cette probabilité et de la somme la plus probable. N"" 19. . 3i4

Un élément étant connu à fort peu près, déterminer sa correction par l'ensemble d'un grand nombre d'observations. Formation des équations de condition. En les disposant de manière que» dans chacune d'elles, le coefficient de la correction de l'élément ait le môme ^gne, et les ajoutant, on forme une équation finale qui donne

cLxviii TABLE DES MATIÈRES.

Pâte*

une correction moyenne. Expression de la probabilité que Terreur de cette correction moyenne est comprise dans des limites données. La manière la plus générale de former l'équation finale est de multiplier chaque équation de condition par un facteur indéterminé et d'ajouter tous ces produits. Expression de la prot>abiUlé que Terreur de la correction donnée par cette équation finale est comprise dans des limites données. Expression de Terreur moyenne que Ton peut craindre en plus ou en moins. Détermination du système de facteurs qui rend cette erreur un minimum. On est conduit alors au résultat que donne la méthode des moindres carrés des erreurs des observations. Erreur moyenne de son résultat. Son expression dépend de la loi de facilité des erreurs des observations. Moyen de l'en rendre indépendant. N* 20 3i8

Corriger, par l'ensemble d'un grand nombre d'observ€Uions, plusieurs tHéments déjà connus à fort peu près. Formation des équations de condition. En les multipliant chacune par un facteur indéterminé et ajoutant les produits, on forme une première équation finale : un second système de facteurs donne une seconde équation finale, et ainsi de suite jusqu'à ce que Ton ait autant d'équations finales qu'il y a d'éléments à corriger. Expression dos erreurs moyennes que Ton peut craindre sur chaque élément corrigé par ces équations finales. Détermination des systèmes de facteurs par la condition que ces erreurs moyennes soient des minima. On retombe dans la méthode dos moindres carrés des erreurs des observations; d'où il suit que cette méthode est celle que le Calcul des probabUités indique comme étant la plus avantageuse. Expression des erreurs moyennes qu'elle laisse encore à craindre, en plus ou en moins, sur chaque élément. Ces expressions sont indépendantes de la loi de facilité des erreurs de chaque observation et ne renferment que des données des observations. Moyen simple de comparer entre elles, du côté de la précision, diverses Tables astronomiques d'un même astre. N"" SI Sa;

Examen du cas où la possibilité des erreurs négatives n'est pas la même que celle des erreurs positives. Résultat moyen vers lequel converge la somme des produits des erreurs d'un grand nombre d'observations, par des facteurs quelconques; probabilité de cette convergence. N"" 22 335

Examen du cas où Ton considère les observations déjà faites. Alors Terreur de la première donne les erreurs de toutes les autres. La probabilité de cette erreur, prise a posteriori ou d'après les observations déjà faites, est le produit des probabilités respectives a priori des erreurs de chaque observation. En concevant donc une courbe dont Tabscisse soit Terreur de la première observation, et dont ce produit soit l'ordonnée, cette courbe sera celle des probabilités a posteriori ûes erreurs de la première observation. L'erreur qu'il faut lui supposer est Tabscisse correspondante à Tordonnée qui divise Taire de la courbe en deux parties égales. La valeur de cette abscisse dépend de la loi inconnue des probabilités a priori des erreurs des observations, et dans celte ignorance, il convient de s'en tenir au résultat le plus avantageux, déterminé a priori par les articles précédents. Recherche de la loi des probabilités a priori des erreurs, qui donne constamment la somme des erreurs nulle pour le résultat qu'il faut choisir a posteriori. Cette loi donne généralement la règle du minimum des carrés des erreurs des observations. Cette dernière règle devient nécessaire lorsque Ton doit choisir un résultat moyen entre plusieurs résultats, donnés chacun par un grand nombre d'observations de divers genres. N" 23 • 338

Recherche du système de corrections de plusieurs éléments par un grand nombre

TABLE DES MATIÈRES. clxix

d'observations, qui rend un minimum, abstraction faite du signe, la plus grande des erreurs qu'il leur suppose. Ce système est celui qui rend un minimum la somme des puissances semblables, très élevées et paires, de chaque erreur. Il diffère peu du système donné par la méthode des moindres carrés des erreurs des observations. Notice historique sur les méthodes de correction des éléments par les observations. N*» 24 348

Chapitre Y. — Application du Calcul des Probabilités a la recherche des phénomènes ET DE leurs causes 355

On peut, par l'analyse des Chapitres précédents, appliquée à un grand nombre d'observations, déterminer la probabilité de l'existence des phénomènes dont l'étendue est assez petite pour être comprise dans les limites des erreurs de chaque observation. Formules qui expriment que les probabilités de l'existence du phénomène et de son étendue sont comprises dans des limites données. Application à la variation diurne du baromètre et à la rotation de la Terre, déduite des expériences sur la chute des corps. La même analyse est applicable aux questions les plus délicates de l'Astronomie, de l'Économie politique, de la Médecine, etc., et à la solution des problèmes sur les hasards, trop compliqués pour être résolus directement par l'analyse. Un plancher étant divisé en petits carreaux rectangles par des lignes parallèles et perpendiculaires entre elles, déterminer la probabilité que, en projetant au hasard une aiguille, elle retombera sur un joint de ces carrecaix. N« 25 355

Chapitre YI. — De la probabilité des causes et des événements futurs, tirée des événements observés 370

Un événement observé étant composé d'événements simples du même genre et dont la possibilité est inconnue, déterminer la probabilité que cette possibilité est comprime dans des limites données. Expression de cette probabilité. Formule pour la déterminer par une série très convergente, lorsque l'événement observé est composé d'un grand nombre de ces événements simples. Extension de cette formule au cas où l'événement observé est composé de plusieurs genres différents d'événements simples. N" 26 370

Application de ces formules aux problèmes suivants ; Deux joueurs A et ^jouent en* semble à cette condition que celui qui sur trois coups en aura gagné deux gagnera la partie, le troisième coup n'étant pas joué comme inutile, si le même joueur gagne les deux premiers coups. Sur un grand nombre n de parties gagnées, A en a gagné le nombre i] on demande la probabilité que son adresse, respectivement au joueur B, est comprùte dans des limites données.

On demande la probabilité que le nombre des coups joues est compris dans des limites déterminées. Enfin, ce dernier nombre étant supposé connu, on demande la probabilité que le nombre des parties est compris dans des limites données.

Solutions de ces divers problèmes. N* 27 377

Application des formules du n** 26 aux naissances observées dans les principaux lieux de l'Europe. Partout le nombre des naissances des garçons est supérieur à celui des naissances des filles. Déterminer la probabilité qu'il existe une cause constante de cette supériorité, d'après les fiaissances observées dems un lieu donne,

OEupres de L. — Vil. 22

CLXx TABLE DES MATIÈRES.

Solution du problème. Cetle prohabilité pour Paris diffère excessivement peu de la certitude. N* 28 384

A Paris, le rapport des baptêmes des garçons à ceux des filles est -79 tandis qu'à

Londres ce rapport est -^ • Déterminer la probabilité qu'il existe une cause constante de cette différence. Solution du problème. Cette probabilité est très grande. Conjecture vraisemblable sur cette cause. N"" 29 389

Recherche de la probabilité des résultats fondés sur les Tables de mortalité ou d'assurance, construites sur un grand nombre d'observations.

Supposant que, sur un grand nombre p d'individus de l'dge A, on ait obserpe qu'il en existe q à l'dge A -4- a, r à l'dge A -h a -4- a', . . . , déterminer la probabilité que, sur un grand nombre p* d'individus du même âge A, il en existera

f-S^zhz à l'dge A-i-a^^diz' àl'dgeA-^a-ha*, .... Solution du problème. Il en

résulte qu'en augmentant le nombre p on approche sans cesse de la vraie loi de mortalité, avec laquelle les résultats des observations coïncideraient, Bip était infini. N» 30 39a

Évaluer, cm mojen des naissances antuielles, la population d'un vaste empiré. Solution du problème. Application à la France. Probabilité que l'erreur de cette évaluation sera comprise dans des limites données. N** 31 398

Expression de la probabilité d'un événement futur, tirée d'un événement observé. Lorsque l'événement futur est composé d'un nombre d'événements simples, beaucoup plus petit que celui des événements simples qui entrent dans l'événement observé, on peut, sans erreur sensible, déterminer la possibilité de l'événement futur, en supposant à chaque événement simple la possibilité qui rend l'événement observé le plus probable. N"* 32 401

Depuis l'époque où l'on a distinguée Paris, sur les registres, les naissances de chaque sexe, on a observé que le nombre des naissances masculines l'emporte sur celui des naissances féminines; déterminer la probabilité que cette supériorité annuelle se maintiendra dans un intervalle de temps donné, par exemple dans l'espace d'un siècle. N" 33 404

Chapitre VII. — De l'inplubncb des inégalités inconnues qui peuvent existe»

ENTRE DBS CHANGES QUE l'oN SUPPOSE PARFAITEMENT ÉGALES 4iO

Examen des cas dans lesquels cette influence est favorable ou contraire. Elle est contraire à celui qui, au jeu de croix et pile, parie d'amener croix un nombre impair de fois, dans un nombre pair de coups. Moyen de corriger cette influence. N°34 410

Chapitre YIII. — Des durébs votennes de la vie, des mariages et dbs associations QUELCONQUES 4 16

Expression de la probabilité que la durée moyenne de la vie d'un grand nombre a d'enfants sera comprise dans ces limites, vraie durée moyenne de la vie, plus ou moins une quantité donnée très petite. U en résulte que cette probabilité croit sans cosse à mesure que le nombre des enfants augmente et que, dans le cas d'un nombre

TABLE DES MATIÈRES. clxxi

PagM

infini, cette probabilité se confond avec la certitude, Tintervalle des limites devenant infiniment petit ou nul. Expression de Terreur moyenne que l'on peut craindre en prenant pour durée moyenne de la vie celle d*un grand nombre d'enfants. Règle pour conclure des Tables de mortalité la durée moyenne de ce qui reste à vivre à une personne d'un âge donné. N** 35 4 >fi

Expression de la durée moyenne de la vie, si l'une des causes de mortalité vient à s'éteindre. Expression particulière au cas où l'on parvient à détruire une maladie qu'on ne peut contracter qu'une fois dans la vie. L'extinction de la petite vérole, au moyen de la vaccine, accroîtrait de plus de trois années la durée moyenne de la vie, si l'accroissement de population qui en résulterait n'était point arrêté par le défaut de subsistances. N"" 36 4^0

De la durée moyenne des mariages. Expression de leur durée moyenne la plus probable et de la probabilité que l'erreur de cette expression est comprise dans des limites données. De la durée moyenne des associations formées d'un nombre quelconque d'individus. N"" 37 4a3

Chapitre IX. ~ Des bénéfices dépendants de la probabilité des événements