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ainsi la formule (o) exprime la probabilité que la différence entre le rapport du nombre de fois que Tévénement a doit arriver au nombre total des coups, et la facilité p de cet événement, est comprise dans les limites

^2xx' étant égal à

on voit ue l'intervalle compris entre les limites précédentes est de l'ordre -^•

Si la limite de /, que nous désignerons par T, est supposée invariable, la probabilité déterminée par la fonction (o) reste la même à très peu près; mais l'intervalle compris entre les limites (/) diminue sans cesse à mesure que les coups se répètent, et il devient nul, lorsque leur nombre est infini.

Cet intervalle étant supposé invariable, lorsque les événements se multiplient, T croit sans cesse, et à fort peu près comme la racine* carrée du nombre des coups. Mais, lorsque T est considérable, la formule (o) devient, par le n** 27 du Livre 1*S

^^ , / ^? y/^/lTT [/.(l - p) -H ^ (I - 2/1) - ^ J

q étant égal à -7^^- Lorsqu'on fait croître T, c""^' diminue avec une ex-

Irème rapidité, et la probabilité précédente s'approche rapidement de l'unité, à laquelle elle devient égale, lorsque le nombre des coups est infini.

Il y a ici deux sortes d'approximations : l'une d'elles est relative aux limites prises de part et d'autre de la facilité de l'événement a; l'autre approximation se rapporte à la probabilité que le rapport des arrivées de cet événement au nombre total des coups sera renfermé dans ces limites. La répétition indéfinie des coups accroît de plus en plus cette probabilité, les limites restant les mêmes; elle resserre de plus en plus l'intervalle de ces limites, la probabilité restant la même. Dans l'infini, cet intci-valle devient nul, et la probabilité se change en certitude.

L'analyse précédente réunit à l'avantage de démontrer ce théorème celui d'assigner la probabilité que, dans un grand nombre » de coups, le rapport des arrivées de chaque événement sera compris dans des limites données. Supposons, par exemple, que les facilités des naissances des garçons et des filles soient dans le rapport de i8 à 17. et qu'il naisse dans une année 14000 enfants; on demande la probabilité que le nombre des garçons ne surpassera pas 7363, et ne sera pas moindre que 7037.

Dans ce cas, on a

p=^i j; ;= 7200, :r'=68oo, Ri=t4ooo, /^i63:

la formule (o) donne à fort peu près o,9943o3 pour la probabilité cherchée.