LIVRE II

limites

La fonction — ^^^^^ étant de Tordre --=> on peut, en négligeîint les

quantités de Tordre -» y substituer i au lieu de j? et /i — c au lieu de

or'; les limites précédentes deviennent ainsi, en négligeant les termes

de Tordre ->

t Ty/~7Li(n^i)

et la probabilité que la facilité de Tévénement a est contenue dans ces 1 i mites est égale à

On voit ainsi que» a mesure que les événements se multiplient, Tinterva.lledes limites se resserre de plus en plus, et la probabilité que la vale nr de /? tombe dans ces limites approche de plus en plus de Tunité ou de k certitude. C'est ainsi que les événements, en se développant, font connaître leurs probabilités respectives.

On parvient directement à ces résultats, en considérant p comme une variable qui peut s'étendre depuis zéro jusqu'à Tunité, et en déterminant, d'après les événements observés, la probabilité de ses diverses valeurs» comme on le verra lorsque nous traiterons de la probabilité des causes déduite des événements observés.

Si Ton a trois ou un plus grand nombre d'événements a, 6, c, . . .,

dont un seul doive arriver a chaque coup, on aura, par ce qui précède,

Improbabilité que, dans un très grand nombre n de coups, le rapport

du nombre a: de fois qu'un de ces événements, a par exemple, arrivera,

au nombre n, sera compris dans les limites p±.ft^ ft étant une très

petite fraction, et Ton voit que, dans le cas extrême du nombre n infini,

intervalle aade ces limites peut être supposé nul, et la probabilité

peut être supposée égale à la certilude, en sorte que les nombres des

arrivées de chaque événement seront proportionnels à leurs facilités

respectives.

Quelquefois les événements, au lieu de faire connaître directement les limites de la valeur de p, donnent celles d'une fonction de cette valeur; alors on en conclut les limites de p, par la résolution des équations. Pour en donner un exemple fort simple, considérons deux joueurs A et B, dont les adresses respectives soient^ et i —p, et jouant ensemble à cette condition, que la partie soit gagnée par celui des deux joueurs qui, sur trois coups, aura vaincu deux fois son adversaire, le troisième coup n'étant pas joué, comme inutile, lorsque Tun des joueurs a vaincu dans les deux premiers coups.

La probabilité de A pour gagner la partie est ta somme des deux premiers termes du binôme [/) + (i — />)]' ; elle est par conséquent égale à p' -h ^p'{i — p). Soit P cette fonction; en élevant le binôme P + (j — P) à la puissance n, on aura, par l'analyse précédente, la prohabilité que, sur le nombre n de parties, le nombre des parties gagnées par A sera compris dans des limites données. Il suffit pour cela de changer /> en P dans la formule (o).

Si l'on nomme i le nombre des parties gagnées par A, la formule (o') donnera la probabilité que P sera compris dans les limites

'■ T\/^in"'-7)

Soit donc p' la racine réelle et positive de l'équation

aura x boules blanclies après le tirage r est /j,,^. et la probabilité

qu'alors il sortira une boule noire est -i parce que le nombre de=

boules noires de l'urne est n — .r ; ia probabilité de l'événemercomposé est donc — ~ ■ y^y, c'est la seconde partie àe y^j-*!- Ain

l'on a

Si l'on fait

cette équation devient

n étant supposé un très grand nombre, on peut réduire en séries «2; vergentes y , et j , ; on aura donc, en négligeant les carrés

les puissances supérieures de -•

'i dr"