LIVRE II

en divisant la fraction précédente par celle-ci, on aura, pour la probabilité de X ou pour la valeur initiale de U,

(1.2.3. ../7i]^.i.a.3...ii.i.2.3. ..(a/H — n)

i.a.3...:r. i.2.3...[m — jr).i.2.3*..(/t — ^). 1.2. 3... (m — n-\- a:). 1.2. 3... 2 m

Maintenant, si l'on observe que l'on a à très peu près, lorsque s est un

grand nombre,

on trouvera facilement, après toutes les réductions, en faisant

et en négligeant les quantités de Tordre - qui ne sont pas multipliées par |i.*,

en faisant donc

on aura

vit:

Si le nombre m est infini, alors i? = ^, et la valeur initiale de U est

V'itTr

Sa valeur, après un nombre quelconque de tirages, est

V/iTrVu-c"" " j

Le cas de m infini revient à celui dans lequel les urnes A et B seraient remplies, en projetant n fois une pièce qui amènerait indifféremment

dOk THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

croix ou pile, et mettant dans Turne A une boule blanche chaque fois que croix arriverait» et une boule noire chaque fois que pile arriverait, et faisant l'inverse pour l'urne B. Car il est visible que la probabilité de tirer une boule blanche de l'urne C est alors >» comme celle d'amener croix ou pile.

En prenant l'intégrale J\]dx ou ^/Urfji ^n depuis ^= — a jusqu'à pL = a, on aura la probabilité que le nombre des boules blanches de l'urne A sera compris dans les limites ±ayjn.

On peut généraliser le résultat précédent, en supposant l'urne A remplie, comme au commencement de ce numéro, par la projection d'un prisme de /? + 7 faces latérales, dont p sont blanches et q sont noires. On a vu qu'alors, si l'on fait

on a, à l'origine ou lorsque rest nul.

Supposons p^iq très peu différents, en sorte que l'on ait

on aura

ou, à très peu près, 1* = 2; donc En faisant donc