LIVRE II

on aura

Supposons maintenant qu'après un nombre quelconque de tirages on ait

6 et a étant des fonctions de f. Si l'on substitue cette valeur dans Inéquation aux différences partielles en U, on aura

= 4(6-.)[i-^-^7-^]-8«(^-«), d*où l'on tire les deux équations suivantes :

dr' , da

*în les intégrant et observant qu'à l'origine de /^, a = a et 6 = 2, on aura

^® qui donne

Cherchons maintenant la valeur moyenne du nombre des boules

*^*3Hiches contenues dans l'urne A, après r tirages. Cette valeur est

^ Somme des produits des divers nombres des boules blanches, mul-

*pliéespar leurs probabilités respectives; elle est donc égale à l'inté-

8^*^ le

rn-hij.\/n^dfi )Jn 2 2 '

*^ ■*! se depuis ja = — 00 jusqu'à (i. == 00 . En substituant pour U sa valeur

CÊwn-tideL VU. 39

donnée par la formule {k), on aura, en vertu des théorèmes précédents, pour cette intégrale,

A Torigine où r est nul, cette valeur est ^n -h — L^"^; ainsi Ton auraD*

au moyen du nombre des boules blanches que Turne A contient à cette origine.

On peut obtenir fort simplement, de la manière suivante» la valeur moyenne du nombre des boules blanches, après r tirages. Imaginons que chaque boule blanche ait une valeur que nous représenterons par l'unité, les boules noires étant supposées n'avoir aucune valeur. Il est clair que le prix de l'urne A sera la somme des produits de tous les nombres possibles de boules blanches qui peuvent exister dans l'urne, multipliés par leurs probabilités respectives; ce prix est donc ce que nous avons nommé vcdeur moyenne du nombre des boules blanches. Nommons-le z, après le tirage r*^"*. Au tirage suivant, s'il sort une boule blanche, ce prix diminue d'une unité ; or, si l'on suppose que x est le nombre des boules blanches contenues dans l'urne après le tirage

r*^™*", la probabilité d'en extraire une boule blanche sera -; en nom-

étendue depuis x = o jusqu'à x = n^ sera la diminution dé a, résultante de la probabilité d'extraire une boule blanche de Turne. Si l'on

fait, comme ci-dessus, - = r', et si l'on désigne la fraction très petite

- par dr'y cette diminution sera égale à zdf\ car z est égal a fl^xdx,

somme des produits dés nombres des boules blanches par leurs probabilités respectives. Le prix de l'urne A s'accroit, si l'on extrait une boule blanche de l'urne B, pour la mettre dans l'urne A; or, a? étant supposé le nombre des boules blanches de l'urne A, n — a; sera celui des boules blanches de l'urne B, et la probabilité d'extraire une boule

blanche de cette dernière urne sera ; en multipliant cette proba-