LIVRE IL

bîlîté par la probabilité U de a:, l'intégrale / U ^-—^ctr, prise depuis

X nul jusqu'à j?= n, sera Taccroissement de z. fl}{n — x)dx est le prix de Turne B; en nommant donc :* ce prix, z'dr^ sera Taccroissement de z\ on aura donc

dz^z'di'—zdi^.

La somme des prix des deux urnes est évidemment égale à /i, nombre des boules blanches qu'elles contiennent, ce qui donne 2'=/i — z; substituant cette valeur de z dans l'équation précédente, elle devient

dz = (/l — 2«) rfr*;

d'où l'on tire, en intégrant,

, LC*>

U^^ étant une constante arbitraire, ce qui est conforme à ce qui précède.

On peut étendre toute cette analyse au cas d'un nombre quelconque d'urnes; nous nous bornerons ici à chercher la valeur moyenne du nombre des boules blanches que chaque urne contient après r tirages.

Considérons un nombre e d'urnes, disposées circulairement, et renfermant chacune le nombre n de boules, les unes blanches, et les autres noires, n étant supposé un très grand nombre. Supposons qu'après r tirages, z^^ js,, 23, ..., £^, soient les prix respectifs des diverses urnes. Chaque tirage consiste à extraire en même temps une boule de chaque urne et à la mettre dans la suivante, en partant de l'une d'elles

dans un sens déterminé. Si l'on fait - = /^ et - = rf/^, on aura, par le

raisonnement que nous venons de faire relativement à deux urnes,

dzi=[zi.i —Zi)di^;

cette équation a lieu depuis { = 1 jusqu'à i=:e— i. Dans le cas de

i rrr e, on a

dzo = («e-i — - zo)dr^.

En intégrant ces équations, et supposant qu*a l'origine les prix respectifs de chaque urne, ou les nombres des boules blanches qu'elles contiennent, soient

on parvient à ce résultat, qui a lieu depuis i = o jusqu'à i =e -- i.

Xo cos

(îïïî „.)

^ ra5(/ — i)7r ,1

-4-Xi cos — ^ or'

e 1 + A) cos — ^ a/

le signe S s'étendant à toutes les valeurs de 5, depuis ^= i jusqu'à

5 = e, et a étant égal à sin Le terme de cette expression, corres-

pondant à^ = e, est indépendant de r', et égal à -(Xo-i'X<-h...-f-X^,),

c'est-à-dire à la somme entière des boules blanches des urnes divisée par leur nombre. Ce terme est la limite de l'expression de s/, d'où il suit qu'après un nombre infini de tirages les prix de chaque urne sont égaux entre eux.