LIVRE II

aura

et Ton peut, quels que soient p, p^*\ ...» prendre (x tel que les nombres /n, m^*\ ... soient des nombres entiers, comme l'analyse précédente le suppose. Alors on a

et Terreur moyenne à craindre devient

C'est, dans toutes les hypothèses que l'on peut faire sur les facteurs m, rd^\ ..., la plus petite erreur moyenne possible.

Si l'on fait les valeurs de m, m^^\ ... égales à ifc i, l'erreur moyenne à craindre sera plus petite lorsque le signe ± sera déterminé, de manière que rn^^p^^ soit positif, ce qui revien ta supposer i=m=/nf*^ = ..., et à préparer les équations de condition, de sorte que le coefficient de z dans chacune d'elles soit positif; c'est ce que l'on fait dans la méthode ordinaire. Alors le résultat moyen des observations est

et Terreur moyenne à craindre en plus ou en moins est

mais cette erreur surpasse la précédente, qui, comme on Ta vu, est la plus petite possible. On peut s'en convaincre d'ailleurs de cette manière. Il suffit de faire voir que Ton a l'inégalité

ou

En effet, upp^^^ est moindre que p^ -h />^*^', puisque [p^^^ — - pY est une quantité positive; on peut donc, dans le second membre de Tinégalité précédente, substituer, pour ipp^^\ p^ H-p^*^* —/, /étant une quantité positive. En faisant des substitutions semblables pour tous les produits semblables, ce second membre sera égal au premier, moins une quantité positive.

Le résultat

SpC):

auquel correspond le minimum d'erreur moyenne à craindre, est celui que donne la méthode des moindres carrés des erreurs des observations; car, la somme de ces carrés étant

la condition du minimum de cette fonction, en faisant varier s, donne pour cette variable l'expression précédente; cette méthode doit donc être employée de préférence, quelle que soit la loi de facilité des er-

reurs, loi dont dépend le rapport -77-

Ce rapport est^, si <p(jr) est une constante; il est moindre que ^, si 9(0?) est variable, et tel qu'il diminue à mesure que x augmente, comme il est naturel de le supposer. En adoptant la loi moyenne des erreurs, que nous avons donnée dans le n^ 15 et suivant laquelle (p(^) est égal à

— loff-f on a

Quant aux limites ± a, on peut prendre pour ces limites les écarts du résultat moyen, qui feraient rejeter une observation.

Mais on peut, par les observations mêmes, déterminer le facteur

ai/-^ de l'expression de l'erreur moyenne. En effet, on a vu, dans le