LIVRE II. 32T

numéro précédent, que la somme des carrés des erreurs des observations est à très peu près 'jLS—j—y et que, si elles sont en grand nombre,

il devient extrêmement probable que la somme observée ne s'écartera pas de cette valeur d'une quantité sensible; on peut donc' les égaler; or la somme observée est égale à Sc^'^* ou à S(/>^'^5 — a^'^)^, en substituant pour 3 sa valeur -^ J^^ ; on trouve ainsi

L'expression précédente de Terreur moyenne à craindre sur le résultat z devient alors

SpC^V^^TT

expression dans laquelle il n'y a rien qui ne soit donné par les observations et par les coefficients des équations de condition.

21. Supposons maintenant que l'on ait deux éléments à corriger par l'ensemble d'un grand nombre d'observations. En nommant z et 3' les corrections respectives de ces éléments, on formera, comme dans le numéro précédent, des équations de condition, qui seront comprises dans cette forme générale

ueiue

fc^'^ étant, comme dans ce numéro, l'erreur de l'observation («h- i)" Si l'on multiplie respectivement par /n, /w^*\ . . ., /n^'"*^ ces équations, et que l'on ajoute ensemble ces produits, on aura une première équation finale

En multipliant encore les mêmes équations respectivement par /i, n^*^ ..., /i^'"*' et ajoutant ces produits, on aura une seconde équation finale

3i8 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

le signe S s'étendant ici« comme dans le numéro précédent, à toutes les valeurs de i, depuis i = o jusqu'à « = 5 — i .

Si Ton suppose nulles les deux fonctions S/w^'^c^'^ S/i^'^6^'\ fonctions que nous désignerons respectivement par (m) et (/z), les deux équations finales précédentes donneront les corrections z et 2' des deux éléments. Mais ces corrections sont susceptibles d'erreurs, relatives à celle dont la supposition que nous venons de faire est elle-même susceptible. Concevons donc que les fonctions (m) et (/i), au lieu d'être nulles, soient respectivement / et /", et nommons uetu! les erreurs correspondantes des corrections z et z\ déternâinées par ce qui précède; les deux équations finales deviendront

/ = «.S/nC^fO-i- n'.SmO^CO, l'=u.S nC^pfO -h u' . S mCï q<i^ .

Il faut maintenant déterminer les facteurs m, m^*\ ...,/»« ^^*^ •••» de manière que l'erreur moyenne à craindre sur chaque élément soit un minimum. Pour cela, considérons le produit

C xC • • •

— fm>-»)o+n('-OCT')x/IIï

le signe / se rapportant à toutes les valeurs de x^ depuis x = — a jusqu'à X = a; <f[-) étant, comme dans le numéro précédent, la probabilité de l'erreur x, ainsi que de l'erreur — x. La fonction précédente devient, en réunissant les deux exponentielles relatives à j;età

2/9 (- I cos(/nxGT+ nxuj') Xa/9 ( -J cos(mC«)jcBj-hn(*>jcis/)x...

X2/9 (-) cos(/n('-*^a:Bj-f-n('-«>j:cj'),

le signe / s'étendant ici à toutes les valeurs de x, depuis a? = o jus-