LIVRE II
27. Pour donner une application de la formule précédente, considérons le cas où deux joueurs A et B jouent ensemble avec cette condition, que celui qui sur trois coups en aura gagné deux gagne la partie, et supposons que, sur un très grand nombre n de parties, A en ait gagné un nombre i. En nommant x la probabilité de A pour gagner un coup, et par conséquent i — or la probabilité correspondante de B, la probabilité de A pour gagner une partie sera la somme des deux premiers termes du binôme (a? -h i — a?)*, et la probabilité correspondante de B sera la somme des deux derniers termes. Ces probabilités sont donc a?*(3 — ao?) et (i — 07)^(1 4- 2a?); ainsi la probabilité que, sur n parties, A en gagnera 1, et B, n — 1, sera proportionnelle à x"(3 — 20?)* (i — ^)*''~*'(i -h 207)""'. En nommant donc y cette fonction, et a la valeur de x qui la rend un maximum, la probabilité que la valeur de x est comprise dans les limites a — 6 et a -h 0 sera
fydx ^
l'intégrale du numérateur étant prise depuis a? = a ~ 6 jusqu'à
or = a + 0, et celle du dénominateur étant prise depuis x = 0 jusqu'à
a: = I . Si l'on fait
on aura, par le numéro précédent,
La condition du maximum dej^ou de 9 donne 6^9 = 0; par conséquent, a étant la valeur de x correspondante à ce maximum, on aura
a 3 — 2/1 I — a i-+-2fl'
ensuite on a
~rf»4> 1^8
t^dx^ — (3 — 2rt) (i-h2fl) ~ •
OEuvreëdeL,— Vil ^8
La probabilité que la valeur de x est comprise dans les limites a±. -= sera donc, par le numéro précédent, égale à
fdrc
,iS — la» Il + Irt)
On verra facilement que ce résultat s'accorde avec celui que nous avons trouvé dans le n^ 16, par une analyse moins directe que celle-ci.
La partie finit en deux coups, si A ou B gagne les deux premiers coups, le troisième coup n'étant pas joué, parce qu'il devient inutile. Ainsi les nombres des parties gagnées par l'un et l'autre des joueurs n'indiquent pas le nombre des coups joués; mais ils indiquent que ce dernier nombre est contenu dans des limites données, avec une probabilité qui croit sans cesse, à mesure que les parties se multiplient. La recherche de ce nombre et de cette probabilité étant très propre à éclaircir l'analyse précédente, nous allons nous en occuper.
La probabilité que A gagnera une partie en deux coups est x^^ x exprimant, comme ci-dessus, sa probabilité de gagner à chaque coup. La probabilité qu'il gagnera la partie en trois coups est 20?^ (i — x), La somme x^{3 — 2x)de ces deux probabilités est la probabilité que A gagnera la partie. Ainsi, pour avoir la probabilité que, sur i parties gagnées par le joueur A, s seront de deux coups, il faut élever à la puissance i le binôme
x2(3 — 2jr) "*" ;c«(3-2X)
OU
et le terme « — ^ 4- 1 du développement de cette puissance sera cette probabilité qui est ainsi égale à
