LIVRE II
La probabilité que, sur />' individus de l'âge A, ^ -t- s vivront à Tàge A -ha est, par ce qui précède,
^sl
£. tgp'{p — g){p + ff'i^
'igp'(p-q)(P'hp')i:
On aura la probabilité que, sur ^ -h z individus de l'âge A -h a, (^ -f-5j--4-w vivront à l'âge A -t- a h- a', en changeant dans la fonction précédente p' dans — -h z, p en q^ q en r et z en u; ce qui donne, en négligeant z par rapport à — »
/ qp^ ^f"^' ,
Le produit de ces deux probabilités est la probabilité de l'existence simultanée de z et de u. Or on a
ce qui donne
rz
en faisant donc
2qp'{p''q)[p-hp)
g/2^ 9Pl
2rp'(q-r){p-^p'y
la probabilité P de l'existence simultanée des valeurs de z et de -' sera
r^dz &dz
J \It: ^t:
En suivant cette analyse, on trouve généralement que, si l'on fait
2sp-(r-s)(p-hp')
- 2tp'(s~l][p + p')'
la probabilité P que, sur p' individus de l'âge A, les nombres de ceux qui vivront aux âges A -ha, A-f-a + a', A + a-h a'-h a', ... seront compris dans les limites respectives
est
r6dz ^'dz
On peut apprécier par cette formule les probabilités respectives des nombres d'une Table de mortalité, construite sur un grand nombre d'observations. La manière de former ces Tables est très simple. On prend sur les registres des naissances et des morts un grand nombre d'enfants que Ton suit pendant le cours de leur vie, en déterminant combien il en reste à la fin de chaque année de leur âge, et Ton inscrit ce nombre vis-à-vis de chaque année finissante. Mais, comme dans les deuK ou trois premières années de la vie la mortalité est très rapide, il faut, pour plus d'exactitude, indiquer dans ce premier âge le nombre des survivants à la fin de chaque demi-année. Si le nombre p des enfants était infini, on aurait ainsi des Tables exactes qui représenteraient la vraie loi de la mortalité dans le lieu et à l'époque de leur formation. Mais, le nombre d'enfants que l'on choisit étant fini, quelque grand qu'il soit, les nombres de la Table sont susceptibles d'erreurs. Représentons par /?', q\ r\ s\ t\ ... ces divers nombres. Les vrais
nombres, pour un nombre p' de naissances, sont — > ^f -^t -i^ , . . ..
Si Ton fait y'= ^ -^ z, z sera l'erreur de q'; pareillement, si l'on suppose r'=: ^ -f- z\ z' sera Terreur de r', et ainsi de suite. L'expression
précédente de P est donc la probabilité que les erreurs de q\ r\ s\ .. . sont comprises dans les limites^zéro et «, zéro et z\ zéro et s", etc. Les valeurs de 6, 6', ... dépendent de p, q, r, ..., qui sont inconnues; mais la supposition de p infini donne
^qp'(p-q)
On peut substituer» sans erreur sensible, ^ au lieu de ^i ce qui donne
On aura de la même manière
ay(r'-4')
Si Ton ne veut considérer que l'erreur d'un des nombres de la Table, tel que /, alors on intégrera l'expression de P, relativement k s*, 5*^, ..., depuis les valeurs infinies négatives de ces variables jusqu'à leurs valeurs infinies positives, et alors on a
Les intégrales relatives k z et :;' doivent être prises depuis leurs valeurs infinies négatives jusqu'à leurs valeurs infinies positives; on trouvera ainsi, par le procédé dont nous avons souvent fait usage pour ce genre d'intégrations, que, si l'on suppose
on aura
La probabilité que Terreur d'un nombre quelconque de la Table sera comprise dans les limites zéro et une quantité quelconque est donc indépendante, soit des nombres intermédiaires, soit des nombres subséquents.
Si Ton fait ^z" = t, on aura
et la probabilité P que le rapport de Terreur du nombre /de la Table à ce nombre lui-même sera compris dans les limites dr f i/"L£ri.i
est
Tintégrale étant prise depuis / nul. On voit ainsi que, la valeur de / et par conséquent la probabilité P restant les mêmes, ce rapport augmente lorsque 5' diminue; ainsi les nombres de la Table sont d'autant moins sûrs qu'ils sont plus éloignés du premier /?'. On voit encore que ce rapport diminue à mesure que /?' augmente, ou à mesure que Ton multiplie les observations; de manière que Ton peut, par cette multiplication, diminuer à la fois ce rapport et augmenter/, ce rapport devenant nul lorsque /?' est infini, et P devenant alors égal à Tunité.
31. Appliquons Tanalyse précédente à la recherche de la population d'un grand empire. L'un des moyens les plus simples et les plus propres à déterminer cette population est l'observation des naissances annuelles dont on est obligé de tenir compte pour déterminer Tétat civil des enfants. Mais ce moyen suppose que Ton connaît, à très peu près, le rapport de la population aux naissances annuelles, rapport que Ton obtient en faisant sur plusieurs points de Tempire le dénombrement exact des habitants, et en le comparant aux naissances correspon-
dantes observées pendant quelques années consécutives; on en conclut ensuite, par une simple proportion, la population de tout Tempire. Le Gouvernement a bien voulu, à ma prière, donner des ordres pour avoir, avec précision, ces données. Dans trente départements, distribués sur la surface de la France, de manière à compenser les effets de la variété des climats, on a fait choix des communes dont les maires, par leur zèle et leur intelligence, pouvaient fournir les renseignements les plus précis. Le dénombrement exact des habitants de ces communes, pour le 22 septembre 1802, s'est élevé à 2037615 individus. Le relevé des naissances, des mariages et des morts, depuis le 22 septembre 1799 jusqu'au 22 septembre 1802, a donné, pour ces trois années.
Naissances. Mariages. Décès.
iio3i7. garçons. 4^087 loSôSg mâles.
io5a87 fiUes. ' 9944^ femelles.
Le rapport des naissances des garçons à celles des filles, que ce relevé présente, est celui de 22 à 21, et les mariages sont aux naissances comme 3 à f4; le rapport de la population aux naissances annuelles est 28,352845. En supposant donc le nombre des naissances annuelles en France égal à un million, ce qui s'éloigne peu de la vérité, on aura, en multipliant par le rapport précédent, ce dernier nombre, la population de la France égale à 28352 845 individus. Voyons Terreur que l'on peut craindre dans cette évaluation.
Pour cela, concevons une urne qui renferme une infinité de boules blanches et noires dans un rapport inconnu. Supposons ensuite qu'ayant tiré au hasard un grand nombre p de ces boules, q aient été blanches, et que, dans un second tirage, sur un nombre inconnu de boules extraites, il y en ait q' de blanches. Pour en déduire ce nombre inconnu, on suppose son rapport à q\ le même que celui de/i a ^, ce
qui donne ^ pour ce nombre. Cherchons la probabilité que le nombre
des boules extraites au second tirage est compris dans les limites
^ ± z. Nommons x le rapport inconnu du nombre des boules blan-
ches au nombre total des boules de Fume. La probabilité de l'événement observé dans le premier tirage sera exprimée par le terme qui a pour facteur oc^{i — x)p-^ dans le développement du binôme [a? -h (i — x)y, d'où il est facile de conclure, comme dans le numéro précédent, que la probabilité de x est
x^ dx[\ — x]P'^ J'x^ dx(i ^ x)P''9
l'intégrale du dénominateur étant prise depuis x = o jusqu'à x = i. Concevons maintenant que, dans le second tirage, le nombre total des
boules extraites est^-\-z; la probabilité du nombre observé q' de
boules blanches sera le terme du binôme [0?-+- (i — x)]v *^ qui a pour facteur a?^'(i — cc)f ; cette probabilité est donc
