LIVRE II

pourvu que l'on suppose / = i, après la différentiation, ce qui réduit ce dernier membre à qs; l'avantage de A est donc s[q^ — (' — ^)[*]' Cet avantage est nul, si vy = (jl(i — y), c'est-à-dire, si le bénéfice de l'arrivée de l'événement, multiplié par sa probabilité, est égal à la perte causée par sa non-arrivée, multipliée par sa probabilité. L'avantage devient négatif et se change en désavantage, si le second produit surpasse le premier. Dans tous les cas, l'avantage ou le désavantage de A est proportionnel au nombre s des événements.

On déterminera par l'analyse du n^ 16 la probabilité que le bénéfice réel de A sera compris dans des limites données, si s est un grand nombre. Suivant cette analyse, la somme des divers termes du binôme [9 H- (i — q)y compris entre les deux termes distants de /-+- 1 , de part et d'autre du plus grand, est

V^TT ^is'i:q(i — q) l'intégrale étant prise depuis ^ = o jusqu'à t= =r^ • L'exposant

de q dans le plus grand terme est à très peu près, par le même numéro, égal à sq, et les exposants de ^, correspondants aux termes extrêmes compris dans l'intervalle précédent, sont respectivement sq — l et sq + /. Les bénéfices correspondants à ces trois termes sont

*[?V-(i-?)fx]-/(vH-fx), s[qv-[i-q)iJ.],

*[?v-{i-?)fx]-f-/(v + fx);

en faisant donc l=r\fs^ la probabilité que le bénéfice réel de A n'excédera pas les limites ^[yv — (i — ^)|i.] ± r^s{^ -4- (x) est égale à

fdrc

^2snq(i -

l'intégrale étant prise depuis r=o, et le dernier terme pouvant être négligé. On voit par cette formule que si ^v — (i — q)\L n'es]t pas nul,

le bénéfice réel augmente sans cesse et devient infiniment grand et certain dans le cas d'un nombre infini d'événements.

On peut étendre, par l'analyse suivante, ce résultat au cas où les probabilités des s événements sont différentes, ainsi que les bénéfices et les pertes qui y sont attachés. Soient y, y^*^9^^^ ...,^^'""*Mes probabilités respectives de ces événements; v, v^*\ vî*\ . .., v^'-*^ les bénéfices que procurent leurs arrivées. On peut, pour simplifier, faire abstraction des pertes que causent leurs non-arrivées, en comprenant dans le bénéfice que procure l'arrivée de chaque événement la quantité que A perdrait par sa non-arrivée, et en retranchant ensuite de l'avantage total de A la somme de ces dernières quantités ; car il est facile de voir que cela ne change point la position de A.

Cela posé, considérons le produit

Il est clair que la probabilité que la somme des bénéfices sera/+/' est égale au coefficient de c^-^-^'^^y^ dans le développement de ce produit; elle est donc égale à

l'intégrale étant prise depuis u = — w jusqu'à u = w, et les nombres v, v^*^ ... étant supposés, comme on peut le faire, des nombres entiers. Prenons le logarithme du produit

en le développant suivant les puissances de a, il devient

le signe S se rapportant à toutes les valeurs de i, depuis i = o jusqu'à 1 = 5 — I. La supposition de /égal à Sy^'^v^'^ fait disparaître la première puissance de c?, et la considération de s, un très gsand nombre, rend