LIVRE II

insensibles les termes dépendants des puissances de C7» supérieures au carré. En repassant donc des logarithmes aux nombres dans le développement précédent, le produit {b) devient à très peu près

ce qui change l'intégrale (a) dans celle-ci

I ^ -fCT/-7-Ç87(0(i-7(0)v(0t

— fdxac "

L'intégrale devant être prise depuis u = — w jusqu'à o = «, et S^(*)(i — y(»))vf'J* étant un grand nombre de l'ordre j, il est clair que cette intégrale peut être étendue sans erreur sensible jusqu'aux valeurs infinies positives et négatives de a. En faisant donc

et intégrant depuis t=— co jusqu'à ^ = ao , l'intégrale (a) devient

Si l'on multiplie cette quantité par 2dl\ et qu'ensuite on l'intègre depuis t=o^ cette intégrale sera l'expresaion de la probabilité que le bénéfice de A sera compris dans les limites f± /', ou Syf'\^'^ ± t\ en faisant ainsi

la probabilité que le bénéfice de A sera compris dans les limites

est

-f/rfrc-',

l'intégrale étant prise depuis r= o.

Maintenant il faut, par ce qui précède, changer dans les limites pré-

cédcnics v'*' dans v''' -t- ja''' et en retrancher S[i"'; ia probabilité que le hénétîce réel de A sera compris dans les limiies

S[g('-h«-> - (i - 9<0)^(-i] ± r s/ÏS^''ï[r=Y'')l>'"' + P''')* est donc

On voit par cette formule que, pour peu que l'espérance mathématique de chaque événement surpasse zéro, en multipliant les événements à l'inlini, le premier terme de l'expression des limites étant de l'ordre s, tandis que le second n'est que de l'ordre \/s, le bénéfice réel s'accroît sans cesse et devient à la fois infiniment grand et certain, dans le cas d'un nombre infini d'événements.

39. Considérons maintenant le cas où, a chaque événement, la per> sonne A a un nombre quelcojique de chances à espérer ou à craindre. Supposons, par exemple, qu'une urne renferme des boules de diverses couleurs, que l'on tire une boule de cette urne, en la remettant dans l'ui'ne après le tirage, el que le bénéfice de A soit v si la boule extraite est de la première couleur, qu'il soit v' si la boule extraite est de la deuxième couleur, qu'il soit v" si la boute extraite est de la troisième couleur, et ainsi de suite, les bénéfices devenant négatifs lorsque A est forcé de donner au lieu de recevoir. Nommons a, a', a", ... les probabilités que la boule extraite a chaque tirage sera de la première, ou de de la deuxième, ou de la troisième, etc. couleur, et supposons que l'on ail ainsi s tirages; un aura d'abord