isfdu[i — a

En supposant donc généralement

on aura

4 __ 3.5. . .(u — i) __ 3.5. . .(ai-i- 1) ff^ 4. 6... a* •'''-î""4:6...(a*-M)'^'*î '

ce qui donne

Si Ton fait ensuite, dans la formule (a), n'= — ^, n = o et ji. = i, elle donne

d'où l'on tire

équation qui coincïde avec la précédente entre ^ 1 et j ^ en y changeant s dans 5 + ^, en sorte que cette équation a lieu, s étant entier ou égal à un entier plus j.

Les deux expressions de x,i et de - donnent

4 3.3 5.5 (a#-i)(a5-0'^i-i, tt"" 2.4*4-6 * {25 — 2)25 7<-l'

les équations aux différences eny,et y ^^ donnent

^*-7, (^^H-l)» ^*^i (2#H-0» (2#-^3)» ^Vj

Vs-i ""25(25-4-2) Vt "" 25(25-1-2) (25 -f- 2) (25 -1-4) r***

Le rapport — ~ est plus grand que l'unité; il diminue sans cesse, à

mesure que 5 augmente, et, dans le cas de 5 infini, il devient l'unité. En

effet, ce rapport est égal à

/rfii(i — ««)'-«

S-ir

Or l'élément du{i — w*)'"* est plus grand que l'élément du{i — u^) *,

ou rfa(i — M^)'~'(i — tt*)*; l'intégrale du numérateur de la fraction précédente surpasse donc celle du dénominateur; cette fraction est donc plus grande que l'unité. Lorsque 5 est infini, ces intégrales n'ont de valeur sensible que lorsque u est infiniment petit; car, u étant fini, le facteur (i —M^)'"* devient une fraction ayant un exposant infiniment

grand ; on peut donc alors supposer (i — m*)* = i, ce qui rend le rapport -7-^ égal k l'unité.

Ce rapport est égal au produit d'une suite infinie de fractions, dont la première est -^ — —^f et dont les autres s'en déduisent, en augmentant successivement 5 d'une unité; il devient -^> en y changeant s

dans S'+'L et la fraction -^- — ^—\ devient 7 — ^-^^, — - — ôtî or on a, quel que soit s^

2j(2J-h 2) (25-hl) (254- 3)'

on a donc cette inégalité

^^'^ rs

En y changeant 5 en 5 — ^, on aura

Ces deux inégalités donnent

Substituant au lieu des rapports -^-- et — ^ leurs valeurs données par les équations aux différences en y„ on aura

Xs-i V 25 y 25 — 1

on aura donc