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Wallis puhlia en 1657» dans son Arithmetica infinitomm^ ce beau théo-

rëme, l'un des plus curieux de rAnalyse» par lui-même et par la manière dont rinventeur y est parvenu. Sa méthode renfermant les principes de la théorie des intégrales définies, que les géomètres ont spécialement cultivée dans ces derniers temps, je pense qu'ils en verront avec plaisir une exposition succincte dans le langage actuel de TAnalvse.

Wallis considère la suite des fractions dont le terme général est

, n et s étant des nombres entiers, en commençant par

zéro. En développant le binôme renfermé sous le signe intégral et intégrant chaque terme du développement, il obtient, pour une même valeur de w, les valeurs numériques de la fraction précédente, correspondantes à5 = o,5 = i,5=2, ..., ce qui lui donne une série horizontale, dont s est Tindice. En supposant successivement n = o, /i = i, n= 2, ..., il a autant de séries horizontales. Par là, il forme une Table à double entrée, dont s est Tindice horizontal et n Tindice vertical.

Dans cette Table, les séries horizontales et verticales sont les mêmes, en sorte que, en désignant par j,^,^ le terme correspondant aux indices /i et 5, on a cette équation fondamentale

Wallis observe ensuite que la première série est Tunité; que la seconde est formée des nombres naturels; que la troisième est formée des nombres triangulaires, et ainsi de suite; de manière que le terme général 7„,, de la série horizontale correspondante à n est

cette fraction étant égale à