I .^.O. • mS
on voit clairement que y„^, est égale à j^,,,,.
Maintenant, si Ton parvenait à interpoler dans la Table précédente le ternie correspondant k n et s égaux à {9 on aurait le rapport du carré du diamètre à la surface du cercle; car Je terme dont il s'agit
est ^- ^9 ou -• Wallis cherche donc a faire cette interpola-
tion. Elle est facile dans le cas où l'un des deux nombres n et5 est un nombre entier. Ainsi, en faisant successivenient s égal à un nombre entier moins 5 dans la fonction ^— — ^-^ — aj.. .[s + n^ ^ .j ^j^jj^j^^ ^^^^
les termes des suites horizontales, correspondants aux valeurs de s, — i» |f |f • • •; et en faisant n égal à un nombre entier moins ~ dans la fonction ^-^ — ^-^^ — ^]>>.[n — $\^ j| ^j^jj^j^^ ^^^^g j^g termes des suites
verticales, correspondants aux valeurs de n, — ^, |, Mais la difficulté consiste à trouver les termes correspondants à /i et 5, égaux tous deux à des nombres entiers moins {.
Wallis observe pour cela que Téquation
donne
et qu'ainsi l'on a
en sorte que chaque terme d'une série horizontale est égal au précédent, multiplié par la fraction ; d'où il suit que tous les termes
d'une série horizontale, à partir de 5 =— ^, 5 croissant successivement de l'unité, sont les produits de y , par les fractions ^^-^— , — '— ,
— g — » •••> et, à partir de 5= i, ces termes sont les produits de j„,o
par les fractions > > —^ — » — Il suppose que les mêmes lois
subsistent dans le cas de n fractionnaire et égal à ^, en sorte que l'on
a tous les termes, à partir de ^ = — ^, en multipliant j^j^ «^ par la suite des fractions f, f , f , .... En désignant donc par n le terme correspondant à /i = ^ et 5 = ^, terme qui, comme on Ta vu, est égal à -> on a
û = fri,i.
ce qui donne
A partir de y^ ou de Tunité, il obtient les termes successifs de la
série, correspondants à rentier, en multipliant successivement l'unité, par les fractions f , f , ^» • • .. H forme ainsi la série horizontale suivante qui correspond à /i=^, et à ^ successivement égal à — ^, o, ^, i, |, . . .,
série qui représente celle-ci,
La série (<) donne généralement, s étant un nombre entier.
d'où Ton tire
VVallis considère ensuite que, dans la série (i), le rapport de chaque terme à celui qui le précède d'une unité est plus grand que l'unité et diminue sans cesse, en sorte que l'on a
Cela résulte en effet de l'équation
11 suppose que cela a également lieu pour tous les termes consécutifs de la série, en sorte que Ton a les deux inégalités
ri,s^', ri,,.i "ri,,3'
d'où il tire, comme on Ta fait ci-dessus,
^hî-ir
is — I
par là, il change la formule (B) dans la formule (A).
Cette manière de procéder par voie d'induction dut paraître et parut, en effet, extraordinaire aux géomètres accoutumés à la rigueur des anciens. Aussi voyons-nous que de grands géomètres contemporains de Wallis en furent peu satisfaits, et Fermât, dans sa correspondance avec Digby, fit des objections peu dignes de lui contre cette méthode qu'il n'avait pas suffisamment approfondie. Elle doit être, sans doute, employée avec une circonspection extrême : Wallis dit lui-même, en répondant à Fermât, que c'est ainsi qu'il s'en est servi, et, pour en confirmer l'exactitude, il l'appuie sur un calcul par lequel lord Brouncker avait trouvé, par le moyen de la formule (A), le rapport de la circonférence au diamètre, compris entre les limites
limites qui coïncident dans les dix premiers chiffres avec ce rapport que Ton a porté au delà de cent décimales. Nonobstant ces confirmations, il est toujours utile de démontrer en rigueur ce que l'on obtient par ces moyens d'invention. Wallis observe que les anciens en avaient,
sans doute, de semblables qu'ils n'ont point fait connaître, se contentant de donner leurs résultats appuyés de démonstrations synthétiques. Il regrette, avec raison, qu'ils nous aient celé leurs moyens d'y parvenir, et il dit à Fermât qu'on doit lui savoir gré de ne les avoir pas imités, et de n'avoir pas détruit le pont après avoir passé kfleiwe. Il est digne de remarque que Newton, qui avait profité de cette méthode d'induction de Wallis et de ses résultats pour découvrir son théorème du binôme, ait mérité les reproches que Wallis fait aux anciens géomètres, en cachant les moyens qui l'avaient conduit à ses découvertes.
Reprenons la formule (B) de Wallis. Si l'on suppose
cette formule donnera
OU
Soit
et considérons ce que produit, dans le second membre de l'équation (/), le terme
(#4-i) ...{s-hr)'
En n'ayant égard qu'à ce terme dans u^, on aura
- r AC-ï
a,— tt,-i =
le terme 2s{2s — 2)(w, — w,.,) de l'équation (/) devient ainsi
-4rA<^(5-iJ (#-Hi)...(5-+-r)'
ou
Le terme de u, dépendant de A^'"'*"*^ produira des termes semblables, et ainsi des autres. En comparant donc dans l'équation (/) les termes qui ont le même dénominateur (5 h- i) ... (5 4- r), on aura
o =4r(r4- i) A^'-J — 4(r4- 1) Af'^O 4. \ir)^
ce qui donne
Il est visible, par ce qui précède, que u^ se réduit à Tunité lorsque s est infini, ce qui donne A^^^ = i . De là on tire
Le rapport du terme moyen du binôme (1 -+- 1)^' au binôme entier est
[s-+- 1) (s •+■ 3). . ,1S OU
En nommant donc T ce terme moyen, la formule (B) donnera
snus
Ce théorème et Texpression précédente de w, en série sont dus à Stirling, et Ton voit comme ils se rattachent au théorème et à l'analyse de Wallis. Cette valeur de P peut servir à déterminer par approximation le rapport de la circonférence au diamètre, ce qui était l'objet de Wallis; ou, ce rapport étant supposé connu, elle donne le terme moyen du binôme, ce qui était l'objet de Stirling.
L'expression de A" 5*, donnée par la formule (ji') du n®40du Livre I*%
a été conclue de l'expression de A" -.« en changeant dans celle-ci i en
— {. Ce passage du positif au négatif est analogue aux inductions que Wallis et d'autres géomètres ont si heureusement employées. Tous ces moyens d'invention, qui tiennent à la généralité de rAnalyse, exigent dans leur usage une grande circonspection, et il est toujours bon d'en démontrer directement les résultats. C'est ce que nous allons faire relativement à la formule ((x').
Considérons l'intégrale
(» — cïV^-")
prise depuis cr = — oo jusqu'à 0 = 00. Cette intégrale est égale à
Cette constante est
17 étant supposé infini. En la réunissant au terme
y/— I cr*^^^^
dans lequel on doit pareillement supposer xs infini, on aura
^-^^- I cos(a*By)[(i — ByZ-ï")''— (i4-©v^^)']
I ( -\- sJ—\ sin [asw] [(f — çy^—i)' -4- (i + cr^— 1)'] )
Le numérateur de cette fraction est réel, ainsi que son dénomina-
teur, et il est visible qu'elle devient nulle, en y faisant ts infini ; on a donc
/dm c-^^ V^ as rdî3 c-«'^ V-"^
De là il est facile de conclure qu'en faisant i — r ? r étant un
nombre entier positif, on aura
Soit asxs = cr', et faisons as = g; nous aurons
fS
sT^^) '
les intégrales étant prises depuis ts et u' égaux à — oo jusqu'à u et u' égaux à + 00 . Désignons par k Tintégrale
on aura
H- consl.
On verra, comme ci-dessus, que ce dernier membre se réduit au terme affecté du signe intégral, terme qui est égal à — ^; on a donc
dk ,
-T- ~— AT, dq
ce qui donne, en intégrant,
A-rr: AC-^,
A étant une constante arbitraire indépendante de q. Il est visible que
OKm^rei de L. — VU. 61
kSi THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.
cette équation suppose q positif; car, en faisant q infini positif ou négatif, k est infiniment petit. On a donc
Cette équation a lieu, quelle que soit la valeur de a, pourvu que as soit positif. En faisant 5= i et changeant a dans une autre constante a\ on aura
on aura donc
rfl!JC'"<'-"'v'-<)(c'»(' -ravC"l) ,)'
^ . » „ (i-BJv/-"ir'
Pour avoir en séries les intégrales, nous supposerons nous aurons, en prenant les logarithmes,
— asm v/^ -+- /i log 14- ^ (c-«"V-~î — i) — (1 H- i) log(i — ro y'— l) :=— /«.
Déterminons â^ de manière que, dans le développement du premier membre de cette équation, la première puissance de u disparaisse, et supposons ce développement égal à
nous aurons d'abord
ensuite
On a ensuite, par le retour des séries,
am =
on a donc, en prenant les intégrales depuis t? et / égaux à — 00 jusqu'à / et o égaux à + » ,
Si Ton suppose « = 1, n = o et si l'on change a en a', on aura
— yz y
a'l-Hi, /-.^^^.-^^j, /'-.-.,-^^.-^-, /"-4(/^Y),
on aura donc
(TZ-^T^tP = .-4:7 1- 77? ^- • ■) v'^C -^ ')-
hSk THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS
De là il est aisé de conclure
— in
formule qui coïncide avec la formule (|it') ^^ ^^ ^^ du Livre I*^. Cette formule suppose a positif, et c'est ce qui a lieu lorsque i + i
surpasse n. En effet, si, dans l'équation
/ -h I nc^
on suppose a infiniment petit, le second membre est positif et égal à
^^^— ; ensuite, a étant positif et infini, ce second membre devient
négatif et égal à— 5 — n;ilya donc une valeur positive de a qui satisfait à cette équation. Mais il n'y en a qu'une; car, s'il y en avait
deux, la fonction 5 aurait un maximum entre ces deux
valeurs; on aurait donc k ce maximum
i -h I ne"
ce qui ne se peut, a étant positif. En effet, {<f — i)' est plus grand que
a*c^ ou c^ — I > oc" , ce qui est visible ; car on a
on a donc
an .
nc^ n I -+- 1
Ainsi la formule ((x') peut être employée, tant que i -h i surpasse /i, ce qui est conforme à ce que l'on a dit dans le n** 41 du Livre !•% d'après
la considération des passages du réel à Timaginaire, passages que l'analyse précédente confirme.
La formule (p) du n® 42 du Livre I*"" est fort remarquable : elle peut se démontrer de la manière suivante, qui montre distinctement la raison pour laquelle la série des différences doit être arrêtée, lorsque la quantité sous l'exposant de la puissance devient négative.
Considérons l'intégrale
/x"rfxcos(.x-^)(^-!^)"
et donnons-lui cette forme
fx "* dxcùszxi- j 4- sm — fx "dxsinzxl ) :
mn cos ait
les intégrales étant prises depuis x nul jusqu'à x infini. Supposons d'abord n pair et égal à 21; on aura, par les formules connues,
cos/i.r — ncosfn — 2).r-i- - ^ -cosfn — 4^ — •.. J
le signe -h ayant lieu, si i est pair, et le signe —, si 1 est impair. En multipliant cette équation par coszx, on aura
(^ .^ , ..icosln±z)x — ncos[n — i±:z)x±:... X J 2a/j;ii j ± « i .^J__J^V cos{izj:) j
OÙ Ton doit observer que, par cos(/i — 2r± 3)0?, je comprends la somme des cosinus cos(/i — 2r4- :3)a7 et cos(/i — ar— 5)0?, ar étant ici au plus égal à /i ou 21. Multiplions le second membre de cette
équation par x " dx; on tk généralement
fx " (lxcos[n — 2r±:z)x cos(/i — ^r± z]x
(n— ard:z}sin(/i — 2rd:z)j:
( n — 2 r rb z ) * cos (n — 'ir±: z^x
(i)/(/j ar± z)«
' fdx X " cos(/i — arih z)x,
On a donc
iff
Jx " oxcoszxi j
cos(/* ±: z;x — n cos(/i — a zt 2)jr --^ cos /i — Arbzjx
I /i(/i — i)...{« — i-hi)
cos(±: zx)
(/i ±:2)sin{/i dt z)x — /i(n — 2 dii) sin(/i — 2 iiiz)x v i
(/i±:z)*cos(/i ±: z]x )
fdxx "
[n±:zY cos ( n ih z ) X
— n(n — 2it:z)'' cos [n — 2±z)x
fiin — i), -, . , ,,
-^ Un^^itzy*cos[n'^^:±z)x
««cos(— zx)
-h const.
Cette constante doit être déterminée de manière que le second membre de cette équ<ition soit nul lorsque x est nul : or on a, par ce qui précède.
cos(/i ±: sjjT — ncos(/i — i-±:z)x -\- . . . - ;— i)'2î*'(siiiJr ;" cos3^.
En differentiant cette équation par rapport à .i% on a
— [( « dt 3 ) sin ( /i ±: 5 ) ^ — ;? ■ /i — 51 ± a ] siii ( « — 2 ±: a ) a: -f- . . . I
dx
(lifTérentiant encore, on a
— \{n±i z)^cos(/iiii 3).r — /î(/î — 7. ± r)^cos(/i — '^.±.z]x -\- . . .\
et ainsi de suite : or on a, aux deux limites r =r:: o et a: infini.
m — n Il
X " (sin^j^cos^îA* :- o.
-«--- + « (/[(sinj:}" cos-3r]
On a donc, en intégrant depuis .r nul jusqu'à r infini,
fx " dx cos zx l * — -
sin^X"
(niir 2)" cos (/lit: z)x — n(n ^ 2 ± z]" cos [n — 2 .t z)x X.fx "dx \ -h
lii ■ -^ --. ■ ^ z" cosf± zx] I
tô8 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS
Maintenant on a, en faisant (n — ardi z)x = x\
J X " dx[n — 2r±i)'' cos(n — 2r±z)^ =:(n--ar=b«) "fdx'x' " cosar'.
On a de plus, comme nous le démontrerons ci-aprës.
fx' " dx' cos X* =r k' sîn — ♦
fx' " rfj:' sin x' =zk' cos >
k' étant égal h ft " dtc-^y l'intégrale étant prise depuis / nul jusqu'à / infini. Cela posé, on aura
fx " dx coszx l j
Ar sm —
["(/iH Il [n-\ 2l" —
[n-hz] " — /i(/n- a — 2) "
I nin — i]. . An — i -+- 1)
lit in
