A>-4-AA'4-*'»)(i-f-i)>a
Nommons Q cette quantité ; la probabilité que Terreur de la ligne IF'''*^ est comprise dans les limites =i= s sera» par ce qui précède,
2fdtc-f* l'intégrale étant prise depuis t nul jusqu'à
0' étant la somme des carrés des erreurs de la somme des trois angles des {+ I triangles.
Supposons que l'on ait, comme pour la partie de la méridienne dont nous avons parlé précédemment, vingt-six triangles, ce qui donne i = 2i. Supposons encore que la longueur ir*"^'^ soit celle de celte partie de la méridienne ou de 466006"; alors on aura
En prenant pour unité la base mesurée près de Perpignan, qui est de I i7o6"",4o, et en supposant rectangles les triangles isoscëles C0'^0*\ C(0C(»C), . . ., ce qui donne tang = cotA = i, on trouve
On a vu précédemment que les vingt-six triangles qui joignent la base de Perpignan à Fermentera donnent
ces deux valeurs de Q sont très peu différentes, et comme les erreurs également probables sont proportionnelles aux racines carrées de ces valeurs, on voit que Ton peut parier un contre un que les erreurs de la mesure entière sont comprises dans les limites db 8™,i. Sous ce rapport, le cas que nous examinons représente parfaitement la mesure de l'arc du méridien depuis la base de Perpignan jusqu'à Fermentera.
3. Supposons maintenant qne l'on mesure, vers la dernière extrémité de la ligne I^'■^*^ une base C^''*'*^A^'"^*^ égale à la base CA, et posée de manière que l'angle 0'-*-*)0')A^'"^*^ soit égal à l'angle CO*^A, et que l'angle O'^A^^^^^O^^'^ soit égal à l'angle CAO'^ En désignant par a^'^*^ et e^'-^'J les erreurs des angles 0'^<)0')A^'-^*) et 0'U<'-^*>Q'+'\ l'équation
donnera
C;.v.)Au>«) = mè^ + «<«•-> colCCCO A 6(/^OcotCAC(0,
ce qui donne
Cû^rÂ(/^ = t^'*'-+- ^'''■^- • • -^ 6('>- «(!)- «(!)-.. .- «(0) colA
6(Ah- coiA) — «( A'-h colA)
-f. a(i+0(A'4. colA) — 6^'-^*>(A 4- colA).
Ce que nous avons désigné dans le n® 2 du deuxième Supplément par
/, P\ . . ., m, m^*\ . . . devient
la quantité que nous avons désignée par S/^'^' dans le numéro cité ou par
devient ici
3(i + 2)6«-f-6(A-hA')6«-4-!ï(A«4-AA'-+-A'«)6^
La quantité que nous avons nommée Sr^'V^''^ ^^'^^ ''^ même numéro, ou
devient, en négligeant les termes qui n'ont pas i pour coefficient,
en représentant donc, comme ci-dessus, par X l'excès de la base mesurée 0'^*)A^'-^*^ sur la base calculée, et par s l'excès de la longueur vraie de la ligne IV*'^*^ sur cette longueur calculée, on aura
il faut, par conséquent, ajouter à la longueur calculée de la ligne IV'^^^ le produit de X par le rapport de la moitié de cette ligne à la base b; ce qui revient à calculer la première moitié de la ligne IF'"^*^ avec la base AC, et la seconde moitié avec la base A^'-*"*^0'"^*\ Ce procédé serait généralement exact, quelles que fussent la grandeur et la- disposition des triangles qui unissent les deux bases, si les parties de Sr^'^/^'^et de S/^'^^ correspondantes à ces moitiés étaient respectivement égales. C'est le procédé que nous adoptâmes dans la Commission qui fixa la
longueur du mëtre; et, dans l'ignorance où nous étions alors de la vraie théorie de ces corrections, il était le plus convenable; mais il ne faisait pas connaître la correction des diverses parties de l'arc total Ild-HO^ Pour cela, il est nécessaire de corriger les angles de chaque triangle, ou de déterminer les corrections a, ê, a^'\ S^*\ ... qui résultent de l'excès X de la seconde base observée sur cette base calculée d'après la première. J'ai donné, dans le deuxième Supplément, ces corrections, en supposant la loi des erreurs des observations des angles
proportionnelle à l'exponentielle c ^ * » A étant une constante, T étant la somme des erreurs des trois angles du triangle, a + ^T, 6 4- jT et ^T — a — 6 étant les erreurs de chacun des angles. On a vu, dans le Supplément cité, que la supposition de cette loi de probabilité doit être admise lorsque les angles ont été mesurés avec le cercle répétiteur, et qu'alors on a
en désignant par F la somme de toutes les quantités /^ — nd+m^, /(<)« __ ;/i(o/(M^ /(oa^ Je vais démontrer ici que ces corrections ont
lieu, quelle que soit la loi de probabilité des erreurs.
Pour cela, je désigne cette loi par (p(a4-^T)* : en la supposant la même pour les erreurs positives et pour les erreurs négatives, son expression ne doit renfermer que des puissances paires de ces erreurs. La loi de probabilité des valeurs simultanées de a et de 6 sera ainsi proportionnelle au produit
Si l'on développe ce produit, par rapport aux puissances de a et de 6, en s'arrêtant aux carrés et aux produits de ces quantités, on aura
<f'[x) exprimant - t'^ » et f'{a:) exprimant ~^~- T pouvant être supposé varier depuis —oo jusqu'à T = co, on multipliera ta fonction précédente par t/T et on l'intégrera dans ces limites; on aura ainsi pour la probabilité des valeurs simultanées de et et de € une quantité
de la forme
Cette probabilité sera donc proportionnelle à
La probabilité de l'existence simultanée de a, 6, a"*, €'", ... sera proportionnelle au produit des quantités
Le logarithme de ce produit est, s étant un nombre indéterminé,
ce produit est k son maximum si le terme précédent est à son minimum, ou si la fonction
est la plus petite possible, les quantités a. 6, a">, . . . satisfaisant d'ailleurs à l'équation
On peut donner à cette fonction ta forme
cette fonction est évidemment à sod minimum si l'on suppose
d'où l'on tire généralement
«ui = [/<" >(«) ^, 6'"= (m"' - i/'")^-
Dans le cas que nous venons de considérer, on a
a ^-^[i + A'+'A), 6 ^^(i+A + iA), «ni =«w= =«(« = - iy, 6(U = 6<.)= =si«=î^. ««■*" = y (! + A'+iA). 6<'> = -^^(î + A + iA');
ainsi par ces corrections tous les triangles autres que ceux qui ont une des bases pour un de leurs côtés resteront rectangles.
La probabilité de l'erreur ±u de la ligne II'''*'", corrigée par la seconde base, sera, par le numéro cité du deuxième Supplément,
' ^^ ' l'intégl-ale étant prise depuis / nul jusqu'à
qui devient ici
en désignant par Q' la fonction
Les erreurs égalmifrit probal ' •"" ■ aux racines
Caiurrn 4» L. — ^ n Jft
59b THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.
carrées de Q et de Q\ on voit qu'elles sont diminaées et à peu près réduites de moitié par la mesure d*une seconde base.
La probabilité d*une erreur ± X dans la mesure d'une seconde base est, par le deuxième Supplément,
l'intégrale étant prise depuis i nul jusqu'à
et /^''* est égal à
3(1 -♦- 1)6« -+: 6(A 4- /i')6» -4- a( A* -4- AA'-*- A'«)6«.
Dans le cas présent où i = 25, cette quantité devient
les erreurs également probables dans les mesures de l'arc ir'^'^ et d'une nouvelle base égale à la première sont donc dans le rapport de V^ à \/86»8o3o; d'où il suit qu'il y a un contre un à parier que Terreur d'une nouvelle base sera comprise dans les limites + o™, 34236,
ou à très peu près ± -»-• Ce sont les mêmes limites qui résultent des
angles des vingt-six triangles qui unissent la base de Perpignan à Formentcra. Ainsi, sous ce rapport encore, le cas hypothétique, que nous venons d'examiner, s'accorde avec ce que donne cette chaîne de triangles.
4. Je vais maintenant considérer les distances zénithales des sommets des triangles et le nivellement qui en résulte. D'un même sommet tel que C^K on peut observer les quatre points C, 0*\ 0*\ C*\ Nommons/la distance CO*^ et A la base CO*^ du triangle isoscèle; tous les triangles étant supposés égaux, si l'on nomme a^'^ la hauteur de O*^ au-dessus du niveau de la mer, la distance observée de 0'~'' au zénith de O') étant désignée par 0, la distance vraie sera à fort peu près, les
triangles pouvant être supposés horizontaux,
u étant le facteur par lequel on doit multiplier l'angle ^ pour avoir la
réfraction terrestre au point 0'\ R étant le rayon de la Terre et e étant
Terreur de u. Je ne tiens compte ici que de cette erreur» comme étant beaucoup plus grande que celle de 0. Si l'on nomme pareillement 6' la distance zénithale de 0'\ observée de O''"*^ la distance vraie sera
hu ht'
£' étant l'erreur de u dans cette observation. On aura
on aura ensuitç
XU) - x('-«i = * ( e - 0') 4- ^ (6 - «').
Si l'on nomme pareillement O^'la distance zénithale de O'**^ observée de 0'\ la distance vraie sera
£" étant Terreur de u dans cette observation. En nommant encore 0'" et sT les mêmes quantités relatives à la distance zénithale de C\ observée de 0''*\ on aura
0"^ 9'^ -^ -4- j^ (e^-h S^) r= TT 4- Ç
Comme je ne me propose ici que d'examiner quel degré de confiance on doit accorder à ce genre de nivellement, je ferai A=/, ce qui revient à supposer tous les triangles équilatéraux. Je prendrai, de plus,
—çr pour unité de distance : en faisant ensuite e — £'=X^'\ t'— 1"=^'^, on aura deux équations de la forme
La première de ces équations s*étend depuis t = i jusqu'à « = n 4- i, n étant le nombre des triangles. La seconde équation s'étend depuis {=2 jusqu'à { = /i + i. Il faut maintenant conclure de ce système d'équations la valeur la plus avantageuse de ^r^'-^'î— o;^'^, Télévation a^^"^ du point G au-dessus de la mer étant supposée connue. Pour cela, on multipliera la première des équations (A) par f^^ et la seconde par ^'\ /('J et ^^ étant des constantes indéterminées. Dans le système de ces équations ajoutées toutes ensemble » le coefficient de oc^^ sera y(/) y(i+«) ^. ^0 ^iV2) En i»égalant à zéro et observant que gr('>a)__ ^')= ^^'+1)^ ^g^o^ A étant la caractéristique des différences finies, on aura, en intégrant,
a étant une constante. Mais, les valeurs de ^^ ne commençant à avoir lieu que lorsque 1 = 3, cette expression de /^'^ ne peut servir que lorsque t = 2. Pour avoir la valeur de /^'^ on observera que l'égalité à zéro du coefficient de ^*^ donne
substituant, au lieu de f^^\ a — g^^^ — g^^\ on aura
Ensuite, l'expression précédente de /^'^ ne s'étend que jusqu'à i = n; mais, relativement à i = n -4- 1, on doit observer que le coefficient de ^(/i+o ^q\i ^iyq l'unité, ce qui donne
OU
Tégalité à zéro du coefficient de ^r^"^ donne y w =/(«+•)— g^«), ou y(«) =: I ^«) g^*-^*). En comparant cette expression à celle-ci /t'')= a — g^") — ^"+*^ on aura a = i. L'erreur de la valeur de a?<"^*^ sera ainsi
Les valeurs de y*^ y\ ..., X^'^ X^*^ ... étant évidemment assujetties à la même loi de probabilité, si l'on nomme 5 cette erreur et si l'on
fait
la probabilité de l'erreur s sera proportionnelle, par le n® 20 du Livre II, à une exponentielle de la forme
K étant une constante dépendante de la loi de probabilité de y^ et X^'\
Il faut maintenant déterminer les constantes de H, de manière que H soit un minimum. Or on a
H z= (i — g<a))2-t. (i — g/2) — g/Dja-H...-!- (i — g^^") — g(«-»-«))2-H (i — g(n^\))2
