g/2)2^. g<3)2 4- . . . -f. g.*ll+l)2 j

en égalant à zéro le coefficient de la différentielle de ^'\ on a

Cette équation a lieu depuis i = 3 jusqu'à is/i. L'égalité à zéro du coefficient de rfg^*^ donne

et l'égalité à zéro du coefficient de rfg^"^*^ donne

ce qui revient à considérer l'équation générale (i) comme ayant lieu

depuis 1 = 2 jusqu'à « = n -H i , et k supposer nuls ^'^ et ^"^'^ L'inté- {^ration de l'équation (i) aux différences finies donne

^(o = |-hA/*-*h-A'/''-«,

/ et /' étant les deux racines — | — î V^» — | -h ^ ^5 de l'équation

A et A' sont deux arbitraires telles que ^^ devienne nul lorsqueji = i et lorsque i — /i-h a. On a donc

l'*^^ est une quantité extrêmement grande lorsque n est un grand nombre et, /"*"*■' étant ^^.-i on voit que A est alors une quantité excessivement petite et qu'ainsi A'= — |. On a ensuite

pi) = « - AP-« (n- /) - AT'-' (i H- /').

De là il est facile de conclure que Ton a, à très peu près et sans craindre ~ d'erreur,

et qu'ainsi l'exponentielle proportionnelle à la probabilité de l'erreur 5 est

on peut donc ainsi déterminer cette probabilité.

On a conclu la valeur de x^"'^*^ du système des équations (A) par le procédé suivant.

Le système des équations (A) donne

d'où Ton tire

On a ensuite les deux équations

ce qui donne

On a les deux équations .

En continuant ainsi, on aura x^'^'^*K Les quantités Y""^ et X^'"^ ne commencent à être introduites dans cette expression que par les deux valeurs de œ^'^^ — 07^'"'*^ et de x^"*^ — œ^'^^^K Désignons par i^"^ le coefScient de Y""^ dans Texpression de o?^'""»^^; cette expression est

en substituant pour a?^'"'*"'^, œ^'"^-*\ ^(m+r-i) j^g parties de leurs valeurs relatives à y"\ la comparaison des coefficients de cette quantité donnera

d'où Ton tire, en intégrant,

A et Â' étant deux arbitraires. Pour les déterminer, nous observerons que, r étant nul, on a ^•^= ^, et que, r étant i, on a

de là on tire

ainsi, dans la valeur de a^'^'^^\ où r = /n- 1 — /n, on aura, pour le coefficient *<''^*-'"Ule f~>.

le coefficient de X^'") dans la même valeur sera évidemment le même. Ainsi l'expression de or^""^*) sera une quantité connue, plus la suite

Désignons par s cette erreur et par H la somme des carrés des coefficients de y*\ Y^\ . . ., ys^\ ys*\ . . .; la probabilité de s sera proportion-

nelle à c '^ . On a, à très peu près,

H = |(iH.i);

ainsi la probabilité de s est à très peu près proportionnelle à c^'"^*'; les erreurs également probables sont donc plus grandes dans ce procédé que suivant la méthode la plus avantageuse, et à peu près dans le rapport de v^5 à v/|; ce procédé approche donc beaucoup de Texactitude de la méthode la plus avantageuse, et, comme le calcul en est fort simple, nous allons déterminer la probabilité des erreurs auxquelles il expose, dans le cas général où les divers triangles ne sont ni égaux ni équilatéraux.

Si Ton représente par m^'^ le carré de 0''*^C'^ divisé par aR, et par n^'^ le carré de O'^-^JO'^ divisé pareillement par 2R, le système des équations (A) se changera dans le suivant :

Le procédé que nous venons d'examiner donne, en suivant l'analyse précédente, le coefficient de y^ dans l'expression de a^*-^'^ égal à

Pareillement, le coefficient de X^'\ dans la même expression, est

de là il suit que la valeur de H est, à très peu près,

iS(m<'»-hnt'^«),

le signe intégral S s*étendant à toutes les valeurs de i jusqu'à i = /i + i; la probabilité d'une erreurs, dans l'expression de a?^"^*, est donc proportionnelle à

- 9Ks*

Si l'on applique aux équations (A') l'analyse que nous avons donnée ci-dessus pour le cas de la méthode la plus avantageuse, on trouvera, en les multipliant respectivement par /^'^ et g^*\ l'équation suivante

et cette équation aura lieu depuis i = i jusqu'à t = /i + i, en supposant g^*^ et g^"'*'^^ nuls. On aura ensuite l'équation générale

Cette équation a lieu depuis { = 2 jusqu'à i = n + i. En la combinant avec les équations ^*ï=o, ^''■*-*î = o, on aura les valeurs de J^^\ y^% . . ., Z"""*^; g^'\ g^^K ..., g^"-*^*^; on aura ensuite

le signe S comprenant toutes les valeurs de/^'^m^'^* et de g^'^/i^'^*; la probabilité d'une erreur s dans la valeur de x^"^*^ sera proportionnelle à

5. Il faut maintenant déterminer la valeur de K. Pour cela, nous observerons que le facteur u est déterminé, par ce qui précède, au moyen de l'équation

et que l'erreur de cette expression est Chaque double station

fournit une valeur de u, et la moyenne de ces vs^leurs est la valeur qu'il

ORuwres de L. — VU. 76

faut adopter. Si l'on nomme i le nombre de ces valeurs, l'erreur à craindre sera S^ — ;-• le sigoe S se rapportant aux t quantités -^^ relatives à chaque double station. Soit s la somme S '- ; la probabilité de s sera, par le n° 20 du Livre II, proportionnelle à une exponentielle de la forme

et, si l'on nomme q la somme des carrés des différences de chaque valeur partielle à sa valeur moyenne, on aura

On a, par ce qui précède, la probabilité de l'erreur d'une valeur s" de la fonction S proportionnelle à l'exponentielle

le signe S s'étendant à i quantités de la forme '~' - Or, les erreurs i et — e étant supposées également probables, il est visible que les mêmes valeurs de S - — - et de S~~— sont également probables; on a donc

ce qui donne

Les quarante-cinq premières valeurs de u, données dans le second Volume de la Base du Système métrique {p. 771), et qui sont fondées sur des observations faites dans les mois de l'année ou l'on observe te plus souvent, donnent, pour sa valeur moyenne,

et la somme q des carrés des différences de ces valeurs à la moyenne est 0,04900629; i étant ici égal à 4^> on a

Si l'on suppose le nombre n de triangles égal à aS et si Ton fait tous les côtés égaux à 20000™, on aura 240000™ pour la distance de o;^**^ à ocf^^^ : c'est à peu près la distance de Paris à Dunkerque. Dans ce cas,

la quantité ^yr? prise pour unité de distance, est 3i™,4i6. De là on

conclut qu'il y a un contre un à parier que l'erreur sur la hauteur x^^^^ est comprise dans les limites ±3^,1839. Il y a neuf contre un à parier qu'elle est comprise dans les limites ± 7", 761; on ne peut donc pas alors répondre avec une probabilité suffisante que cette erreur n'excédera pas ± 8™.

La chaîne de triangles que nous venons de considérer est beaucoup plus favorable à la détermination de la hauteur de son dernier point que celle dont Delambre a fait usage, dans l'Ouvrage cité, pour déterminer la hauteur du Panthéon au-dessus du niveau de la mer. En considérant cette dernière chaîne, on voit que l'on ne peut pas répondre, avec une probabilité suffisante, que l'erreur sur cette hauteur n'excédera pas ±L 16™.

6. On voit, par ce qui précède, que les grands triangles, qui sont très propres à la mesure des degrés terrestres, le sont fort peu pour déterminer les hauteurs respectives des diverses stations. Ainsi, dans le cas d'une chaîne de triangles équiiatéraux dont /est la longueur de chaque côté, les erreurs également probables de la différence de niveau

des deux stations extrêmes étant proportionnelles à vr~ » ^ étant

le nombre des triangles, si Ton nomme a la distance de ces deux stations, on aura, en supposant /i+ 1 pair,

■—-'L — sera donc proportionnelle à — ' — ,; les erreurs égalemeni

probables seront donc proportionnelles k cette fraction. Airi!^i, en quadruplant le nombre des triangles, elles deviendront huit fois plus petites; mais alors les erreurs dues aux observations des angles deviennent comparables aux erreurs dues à la variabilité des réfraction» terrestres. Examinons comment on peut avoir égard à la fois â ces deux genres d'erreurs.

Considérons une suite de pointsCO". 0**,.... Soient ^''' la distance deCàO"; A'" la distance de O" à O*'; A<" la distance deC^'à Cet ainsi de suite. Concevons que du point C"^ on observe C'*", et réciproquement. La distance zénithale de C"^", observée de C", sera, pnr

ce qui précède,

C étant l'erreur de u et a étant celle de l'angle observé 0. La distance zénithale de C'', observée de C"'^'\ sera

£' et a' étant les erreurs de u et de ô' dans l'observation faite au point O'*'''. On aura donc les deux équations

. „ aA<"K A''>«, „ , A"'

Désignons comme ci-dessus t — t' par y"\ et faisons a — a' égal à X*'' ; on aura, pour l'élévation x'*^"— jj"»* du point C'"*" au-dessus de C, une expression de cette forme

x<'*'>- ar'»>^ M -h S ^t" -H SiA"iX<".

le signe intégral S se rapportant à toutes les valeurs de i, depuis i = o jusqu'à I = n. L'erreur de cette valeur de a;'"*^' est

Il faut maintenant déterminer la probabilité de cette erreur que nous désignerons par s. Soit généralement

j = Sm<")'<" + Sn">Xt".

la probabilité de s sera, par l'analyse du n" 20 du Livre II de la Théorie analytique des Probabilités, proportionnelle à

X[cos(m'<»'jr + n'»'j')njcos{mi'ia7-hn"Î7-)GjCOs(mi*'a:4-n'»ij-)(o ...];

<f{ir) est la loi de probabilité d'une valeurs de y*'; '^{y) est la loi de probabilité d'une valeur^ de X'*'. Les erreurs négatives et positives sont supposées également probables : les intégrales relatives à ^ et ^ sont prises depuis l'infini négatif jusqu'à l'infiDÎ positif, et l'intégrale relative à ra est prise depuis a = — % jusqu'à cr = tt. En faisant

ixfdx<f[x) = k, /x" dx ? [x] = jf,

les intégrales étant prises depuis x tt y nuls jusqu'à ^ et / égaux à l'infini, l'analyse du numéro cité donnera la probabilité de s propor* tionnelle à

Il est facile de conclure généralement de la même analyse que, si l'on fait

y, X'", S"', ... étant tl(!s erreurs dérivant de sources différentes, la

probabilité de s est proportionnelle à rexponentielle

en désignant par ic(a;) la probabilité d'une erreurs? due à la troisième source d'erreur, et faisant

2fdxn(x) = ify fx^dxn(x) = Â^,

les intégrales étant prises depuis x nul jusqu'à x infini ; et ainsi des autres erreurs.

Pour déterminer, dans la question présente, les constantes ^ et

-^-> je supposerai d'abord la seconde nulle ou très petite, relativement

k la première, comme on peut le faire dans les grandes triangulations de la méridienne. Dans ce cas, la probabilité d'une erreur s sera, en faisant /n('^= i, proportionnelle à

n étant le nombre des intervalles qui séparent les stations. La probabilité d'une valeur s' de S^—^ ou de S^ — -y ce qui répond à une erreur 2s' dans la valeur de S(6 — e'), sera proportionnelle à

kk' mais, par ce qui précède, cette probabilité est proportionnelle à

on a donc

-f- = -r ou ~ — •— ^ —

i k k i ii4)78i

SUPPLÉMENTS. e07

Si Ton suppose maintenant -r: nul et /i^'^= i, la probabilité d'une

valeur s' de la somme S sera proportionnelle à

et la probabilité d'une même valeur s' de S{a -h a' -h a*') sera proportionnelle à

Si l'on suppose cette loi de probabilité la même que pour les erreurs de la somme des trois angles d'un triangle sphérique, dans les mesures géodésiques, et qui, par le n? 1 du deuxième Supplément, peut être supposée proportionnelle à

0' étant la somme des carrés des excès observés dans la somme des erreurs des trois angles dans i triangles, on aura

/lk' 4g»

On a, par ce que l'on a vu,

partant,

quantité qu'il faut diviser par le carré du nombre de secondes sexagésimales que ce rayon renferme, et alors on a

iîf' 1,2801

Supposons les distances des stations consécutives égales à 1200""; on

trouvera qu'il y a un contre un à parier que Terreur sur la valeur de y(/i+i) u»ggj pg^g au-dessus de ±: o",o8555 lorsque n = 200. II y a mille contre un à parier que Terreur n*est pas au-dessus de ± o™,4>3.

Méthode générale du Calcul des pmbabUàés, lorsqu'il y a plusieurs

sources d'erreurs.

La considération des deux sources d'erreur indépendantes qui existent dans les opérations du nivellement m'a conduit à examiner le cas général des observations assujetties à plusieurs sources d'erreurs. Telles sont les observations astronomiques. La plupart sont faites au moven de deux instruments, la lunette méridienne et le cercle, dont les erreurs ne doivent pas être supposées avoir la même loi de probabilité. Dans les équations de condition que Ton déduit de ces observations, pour obtenir les éléments des mouvements célestes, ces erreurs sont multipliées par des coefficients différents pour chaque source d'erreur et pour chaque équation. Les systèmes les plus avantageux de facteurs par lesquels il faut multiplier ces équations, pour avoir les équations finales qui déterminent les éléments, ne sont plus, comme dans le cas d'une source unique d'erreurs, les coefBcients de chaque élément dans les équations de condition. La facilité avec laquelle l'analyse que j'ai donnée dans le Livre II de ma Théorie des Probabilités s'applique à ce cas général va montrer les avantages de cette analyse.

Supposons d'abord que Ton ait un système d'équations de condition représentées par celle-ci

y étant un élément dont on cherche la valeur la plus avantageuse. Si Ton multiplie l'équation précédente par un facteur /^'\ la réunion de tous ces produits donnera pour j Texpression

Sa<V<^) S m(')f(i) yC) h- S n< V<^) X<^) -f> . . .

L'erreur de y sera

En désignant par s cette erreur, sa probabilité sera proportionnelle, par le numéro précédent, à l'exponentielle

^ 8 «««/(«•)•+— S «(««/-Oh-...

11 faut déterminer /^'^ de manière que

soit un minimum, car il est visible qu'alors la même erreur s devient moins probable que dans tout autre système de facteurs. Si l'on nomme A le numérateur de cette fraction, et si l'on fait varier /^'^ d'une quantité dq, on aura, par la condition du minimum, en égalant à zéro la différentielle de cette fraction.

k Jf p(i)

ce qui donne pour/^'^ une expression de cette forme

*' tu