II" W

On peut faire ici p. = i, parce que, cette quantité étant indépendante de I, elle affecte également tous les multiplicateurs /^'); ainsi la quantité /<'\ par laquelle on doit multiplier chaque équation de condition

Œuvres de L, -- VU. 77

pour avoir le résultat te plus avantageux, est

et la probabilité d'une erreur s de ce résultat est proportionnelle a l'exponentielle

On aura, par la même analyse et par te n" 22 du Livre II, les facteurs par lesquels on doit multiplier les équations de condition pour avoir les résultats les plus avantageux, quels que soient le nombre des éléments à déterminer et le nombre des genres d'erreurs; on aura pareillement les lois de probabilité des erreurs de ces résultats.

Supposons que l'on ait, entre deux éléments x et y, l'équation de condition

/"■' JT -+- pcy = flt" + /»"').(« + n"))Li') + r">5"i + . . . ,

y, X'", S'", . . . étant des erreurs dont les sources sont difTérenies. En multipliant d'abord cette équation par un système /'"de facteurs, I» réunion de ces produits donnera l'équation Bnale

:rS/'"/"'-t-rS/''V" = Sû"'/'"+Sm">/i"/"-(-S/i("/'"X»'H-....

En multipliant ensuite l'équation de condition par un autre système ^'' de facteurs, la réunion des produits donaera une seconde équation finale

xS/"V"-»-rSp"'g*"=3a<"(ï<"-t-Sni"i^"l'"' + ....

On tire de ces deux équations finales

Sa"'/"' Sp"'g^"-Sg'"g'" Sp'V'i '~ L

S m''>/'"y"' S p'iig'i-' — S /n'»g-'"y'" S p<"f<" + , . .

L étant égal à

Le coefficient de -f" dans cette valeur est

Ed changeaDt m*^ en n"'', r"'' on aura les coefficients correspondants de X<'>, S<'\ .... En nommant donc s la valeur de la partie de x dépendante des erreurs y<". V'\ 8''\ . . ., la probabilité de cette valeur sera, par ce qui précède, proportionnelle à l'exponentielle

CD faisant

SM'"/""(3p'"g"i)' — aSM'"/'<'g'»Spi"/'*>S/)"'g'"+8M'"g">*(8/»"'/"'

M<" étant égal à

Il faut maintenant déterminer /*<'> et ^" de manière que H soit un minimum. Pour cela, on fera varier/''', et l'on égalera à zéro le coeflicieni de sa différentielle; ce qui donnera, en nommant P le numérateur de l'expression de H,

' ~-pf'> SM»'/"'g^" S/)f"g<" + ;»<'> SM"''gf"> 9p">f"'

Il est facile de voir que l'on satisfait à cette équation en supposant

■^ Mi'i ^ M<'>'

et l'on doit en conclure que l'on satisferait, par la même supposition,

à Téquation correspondante que donnerait dH = o, eny faisant varier ^'K On voit encore que les mêmes valeurs de /^'^ et de ^'^ satisfont aux équations semblables qui résultent de la considération de Félémeniy.

Si Ton a, entre les éléments x^y^z^ . . ., des équations de condition représentées par l'équation générale

y\ ÏS*\ S^'\ ... étant des erreurs de divers genres, on trouvera par l'analyse précédente que les facteurs par lesquels on doit multiplier respectivement cette équation, pour former les équations finales qui donnent les valeurs des éléments les plus avantageuses, sont, pour la première équation finale, représentés par

A^ î jf

lis sont représentés, pour la seconde équation finale, par

pin

If k -L

et ainsi de suite. En appliquant donc aux équations ainsi multipliées l'analyse du n° 2 du premier Supplément, on aura les valeurs des éléments les plus avantageuses et les lois de probabilités de leurs erreurs.

Pour donner un exemple de cette application, ne considérons que deux éléments a? eiy. Si l'on fait

^ fr S

tirera

On multipliera Téquation de condition précédente par ^9 et Ton en

/COn(0 |i(/)a û(On(0 nCO

mais la condition de la méthode la plus avantageuse donne

^(;nfOy(0^-n<')X<'î-^...),

o=S^(mi'^y^'^'^n^'n<'^-h. . .);

on aura donc

Substituant cette valeur de j" dans l'équation générale de condition, et faisant

on aura

mpu)

rf/'

et la probabilité d'une erreur s de cette valeur sera proportionnelle à

Cette analyse suppose la connaissance des constantes -rr et -=-• Mais on

peut en obtenir, par les observations mêmes, des valeurs très approchées, de la manière suivante.

Concevons que Ton ait déterminé les éléments x^ y^z^ ... par la méthode suivant laquelle on forme les équations finales, en multipliant chaque équation de condition successivement par le coeflScient correspondant de chaque élément. Si l'on substitue les valeurs des éléments ainsi déterminées dans Téquation de condition

on aura une équation de cette forme

R(0 = m^^^yiO -f. »(')3t(0 4- . . . .

Supposons, pour plus de simplicité, que Ton n*ait que les deux genres d'erreurs y^ et X^'^ : on multipliera d'abord l'équation précédente par m^'\ En élevant ensuite chaque membre au carré et prenant la somme de toutes les équations ainsi formées, on aura

La valeur moyenne de m^'^*^'^* est évidemment

mC0Vy»rfy9(y)^

les intégrales étant prises depuis y = — oo jusqu'à y infini, ce qui

donne — ^ — • On a pareillement -3^m^'^*/i^'^* pour la valeur moyenne

de m^'^^/i^'^îX^'^*. On trouve de la même manière que la valeur moyenne de !2/n^')'/i^')y^X^'^ est nulle; on a donc, en substituant au lieu des quantités leurs valeurs moyennes, ce que l'on peut faire avec d'autant plus de précision que le nombre des observations est plus grand.

On aura pareillement

Sii<'»R<'^»= ?J! Suit'» !•<'>«-♦- ^ Sni')*;

de là on tire

4Ar aSn(')* Sm('>^R<')»~>aSm<')»nt')« Sn<'»R<'^« k ■" Sm<«)* Siit04^Sm^')aii^')»)» '

4Î^^ aSrnt')* Sn(0»R<'»~aSm<')«n<')« Sm^''^«R<'>«^

en désignant donc par aP et aQ les numérateurs de ces deux exprès* sions, les facteurs par lesquels on doit multiplier l'équation de condi< tion seront

mt'»P + iit')«Q' mtOap-hn<')»Q'

Il s'agit maintenant de faire voir que ces valeurs de ^i ~ sont fort

approchées. Pour cela, ne considérons qu'un éléments? : Téquation de condition

donnera

Substituant cette valeur dans Téquation de condition, on aura

mais il est facile de voir que les valeurs de Sf'^m^'Y'^ ®* ^® ^ t*^n^^^V'^

sont nulles par la supposition des erreurs négatives aussi probables que les erreurs positives :-on peut donc faire, comme ci-dessus.

RO^mt')/^')-*-»^')^^*^

ce qu'il fallait établir.