QUATRIÈME SUPPLÉMENT

1. U étant une fonction quelconque d'une variable /, si on la développe suivant les puissances de /, le coefficient de t^^ dans ce développement, sera une fonction de x que je désignerai par j^^?; U est ce que j'ai nQmmk fonction génératrice de j'a?. Si l'on multiplie U par une fonction T de t, pareillement développée suivant les puissances ascendantes de /, le produit UT sera une nouvelle fonction génératrice d'une fonction de a?, dérivée de la fonction j^^. suivant une loi qui dépendra de la

fonction T, Si T est égal à - — i, il est facile de voir que la dérivée

serajjp^., — y^r» ou la différence finie de y^^ Désignons généralement, quel que soit T, cette dérivée par Zy^. Si l'on multiplie le produit UT par T, la dérivée du produit UP sera une dérivée de Sy^? semblable à la dérivée de Zy^. en yai\ on pourra donc désigner par ^^yx cette seconde dérivée; d'où il est visible généralement que UT'' sera la fonction génératrice de y^yx*

Si l'on multiplie U par une autre fonction Z de /, pareillement développée suivant les puissances ascendantes de /, et si l'on désigne par la caractéristique A ce que nous avons nommé £ relativement à la fonction T, UZ" sera la fonction génératrice de A"j^<p«

On peut concevoir T comme une fonction de Z. En développant cette fonction en série par rapport aux puissances ascendantes de Z, on aura une expression de T de cette forme

T z=z Ato) 4- A^*)Z -h A(»)Z2 -h. . . .

En multipliant cette équation par U et repassant des fonctions géné-^

OFMvrtêdeL.^ VII. 781

ratrices aux coefficients, on aura

On voit ainsi que la même équation, qui a lieu entre T et Z, a lieu entre leurs caractéristiques B et A, pourvu que, dans le développement de cette équation suivant les puissances de S et de A, on substitue, au lieu d'une puissance quelconque S'', ^''yxl ^u lieu d'une puissance à''\ A'''y^; au lieu d'un produit tel que S''A'', B''^!''y^; et que l'on multiplie par^^p les termes indépendants de S et A. Ainsi, en supposant T

égal à j — I, Z = p — I, Bfx sera la différence finie de y^^ x variant

de l'unité; A^^. sera la différence finie de ^^, x variant de i\ on a ensuite

Z=(i-hT)'-i,

et, par conséquent,

ce qui donne

Z'rzrCti-t-T)'-!]";

A^^Eti-hd)'-!]»,

pourvu qu'après le développement on place y^^ après les puissances des caractéristiques. Cette équation aura encore lieu en faisant n négatif, mais alors les différences se changent en intégrales. La considération des fonctions génératrices fait voir ainsi, de la manière la plus naturelle et la plus simple, l'analogie des puissances et des différences. On peut considérer cette théorie comme le calcul des caractéristiques. Si l'on a o = S^^, on aura une équation aux différences finies : LT devient alors un polynôme qui ne renferme que des puissances de t plus petites que la plus haute de / dans T. Désignons par Q le polynôme en i le plus général de cette nature; on aura

Le coefficient de ^* dans le développement de U sera l'intégrale y^ de l'équation o = Sj^; par cette raison, je nomme U fonction génératrice de cette équation.

Si l^on conçoîi U fonction de deux variables / et i", le coefficient du produit t^t!'\ dans le déyeloppement de U, sera une fonction de *r et de j/que je désigne par yx,x\ T étant une fonction développée des mêmes variables / et i^ le produit UT sera la fonction génératrice d*une dérivée de y^^^ que je désignerai par Sy,^-; et il est facile d'en conclure que UT* sera la fonction génératrice de S*^^^.

Si l'on a o = Sj'x^» on aura une équation aux différences finies partielles. Représentons cette équation par la suivante

il est facile de voir que la fonction génératrice de l'équation proposée sera

A-hB/'-hC/'«-h...-f-H /"»'-• -+- A' -f- B' I-+- C l« 4- . . . -h H' /*-•

â/"/''»' ^^ft/" /'«'-« -♦- cl" 1'"'-» + . . .

n et n' étant les plus grands accroissements de x et de x\ dans l'équation proposée aux différences partielles; A, B, C, ...» H sont des fonctions arbitraires de t\ A%B\ C, ...» H' sont des fonctions arbitraires de i. On déterminera toutes ces fonctions au moyen des fonctions

génératrices de

/o.jr'f y\,Jt% yi.jct •••! j^/i-i.x'»

/x,0» /x,i» yx,i» •••» J^x.n'-i.

Un des principaux avantages de cette manière d'intégrer les équations aux différences partielles consiste en ce que, l'analyse algébrique fournissant divers moyens pour développer les fonctions » on peut choisir celui qui convient le mieux à la question proposée. La solution

des problèmes suivants, par le comte de Laplace, mon fils, et les considérations qu'il y a jointes répandront ua nouveau jour sur le calcul des fonctions génératrices.

2. Un joueur A tire d'une urne, renfermant des boules blancbes e) noires, une boule qu'il remet après le coup, avec la probabilité p d'amener une boule blanche et la probabilité ^d'en extraire une noire; un second joueur B tire ensuite, d'une autre urne, une boule qu'il remet également après le tirage, avec les probabilités p' d'une boule blanche et/ d'une noire. Ces deux joueurs continuent ainsi à extraire alternativement, chacun de leur urne respective, une boule qu'ils ont toujours soin de remettre. Si l'un des joueurs amène une boule blanche, il compte un point; si, au contraire, il fait sortir une boule noire, il ne compte rien, et le tour de jouer passe simplement à l'autre. Les joueurs ayant régie, par les conditions de leur jeu, le nombre de points que chacun doit atteindre le premier pour gagner la partie, et ayant commencé à jouer, il manque encore au joueur A le nombre x de points pour gagner, et x' au joueur B; et le tour de jouer appartient au joueur A. On demande, dans cette position, quelle est la probabilité de l'un et l'autre joueur pour gagner la partie.

Soit z^^^ la probabilité de second joueur B, et représentons par Yi.,ir' sa probabilité, s'il était le premier à jouer. Le joueur A, en commençant, peut amener une boule blanche, et la probabilité de B devient Y^,,j,-; ou le premier joueur fait sortir une noire, et alors ne compte rien, et la probabilité du second se change en Y^^; mais la probabilité du premier cas est />, celle du second f; on aura donc l'équation