t.j-— /»Yj., j- + çY^.^j
par un raisonnement semblable, on aura encore celle-ci d'où l'on tire
et conséquemment
Zx.jf^ p{p'Zx^i,x'^î -hq'Zjc^i,xf) -hglp'Zx.Jcf-i 4- q'Zx,.r') {*)
ou
pq' pf q pp'
Zx.jf^^ — —^ — 3 ^x— I jf-\ * — ■ , Zx jc*— I H *-* -, Zx^\ jf-\f
' ^^qq ^"^qq ^~~qq
et en faisant
^-qq ^-qq ' - qq
il viendra
La fonction génératrice de js^^^^ dans cette équation aux différences
partielles, est
i^mt'-m't' ^ntV
A étant une fonction arbitraire de t^ et A' une autre fonction arbitraire de /'; j'observe d'abord qu'en attribuant à la fonction A' le terme indépendant de / dans la fonction A, la fonction génératrice ci-dessus peut se mettre sous cette forme
ki 1 4- a;
A et A', étant de nouvelles fonctions arbitraires de t et de t' qu'il s'agit
(1) On arrive encore à cette équation aux différences partielles en considérant l'ensemble des deux tirages successifs de A et B comme un coup, et en examinant les différents cas qui peuvent se présenter après ce coup joué ; or ils sont au nombre de quatre : i* ou les deux joueurs amènent chacun une boule blanche, événement dont la probabilité est pp' ; alors la probabilité Zx,x' se changera en celle-ci Zx-\,x'-ù ^'* ou le premier joueur extrait une boule blanche et le second une noire; dans cette hypothèse, qui a pour probabilité pq'j 2x,x' deviendra Zx-\,x'\ 3** ou au contraire le premier joueur fait sortir une boule noire et le second une blanche; dans cette hypothèse, qui a pour probabilité p'q^ Zx,x' deviendra Zx,x'-\ ; 4* ou enfin Fun et Tautre joueur tirent une boule noire, événement dont la probabilité est qq't o^ alors la probabilité Zx,x' reste la mdme. On aura donc, par les principes connus des probabilités, l'équation
Zx.x" = pp'^x-i,x'-i -*- p^Zx-i,x' ■+• p'qzx.x'-i -*- qq'zx.x''
On obtient la fonction génératrice de «x.x'i dans cette équation aux différences partielles, en appliquant à ce cas la règle générale qui vient d'être exposée.
de déterminer. Or, si Ton fait attention que z^^ est nul, quel que soit x\ la probabilité du joueur A se changeant alors en certitude, on voit que le coeiTicient de t^ dans le développement de la fonction génératrice par rapport aux puissances de / doit être nul, et Ton aura
!--=: O ou A, = 0.
1 — mt
De plus, jjr.o <^st nul quand x est zéro, et égal à Tunité quand x est ou I ou a, ou 3, . • ., puisqu'alors la probabilité du joueur B se change
en certitude; la fonction génératrice de s^,, est donc — ^; c'est le
coefficient de /'® dans le développement de la fonction génératrice suivant les puissances de f\ on aura donc
Ai/ t
ce qui donne
par conséquent la fonction génératrice de z^^' est
la] t(i^mi)
^ ^ [i — /)(i — ml— m'/'— «II')'
en la mettant sous cette forme
et la développant par rapport aux puissances de /, on a
M'- ir-^y- (r^)'-- (r^)'"- ■•]
Lp coefficient de /'*' dans cette série est
et celui de t^ dans le développement de cette derniëre fonction sera l'expression de z^,^-. Or, si Ton réduit d'abord l'expression t \__ ^\ en une série ordonnée selon les puissances de /, et qu'on la multiplie ensuite par le développement de —---% il est facile de voir que le coefficient de /'dans ce produit est ce que devient la série en y faisant / =r I et s'arrêtant à la puissance xàtt\ et l'on trouvera, pour la valeur de ce coefficient ou de «a?^',
x' r x' /i .rX^'—i) /ï« x'(x'— i). . .(y— X H- 3 ) /i^-« 1
En désignant par ya^^^:' I^ probabilité du joueur A, on serait conduit, par les mêmes raisonnements, à une équation semblable aux différences partielles,
qui donne pareillement pour la variable y^f^' une fonction génératrice de la forme
A, t -4- a; i — mt — m't'—ntt'^
A, et A'f étant, comme plus haut, des fonctions arbitraires de / et de /' que l'on déterminera par les mêmes considérations. En effet la
fonction génératrice de y^^' est — — >• celle de ^a?,o est l'unité : on formera donc les équations
62i THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.
et
i — mt *
d'où l'on conclut
La fonction génératrice de y^^j,' sera donc
I — mt--m!î'—nU'
laquelle, développée selon les puissances de t et de t\ donnera, par le coefficient de r*^*', l'expression à^y^^x' qui sera d'une forme semblable à celle de js^,^, quoique un peu plus compliquée.
En ajoutant les deux fonctions génératrices (a) et (6), leur somme se réduit à celle-ci
Tî»
dans laquelle le coefficient de tf^t'^' est l'unité; ainsi l'on a
et effectivement, la partie doit être nécessairement gagnée par l'un des joueurs, car l'un et l'autre sont certains de pouvoir extraire chacun de leur urne les nombres déterminés de boules blanches. Maintenant, supposons ^ = o et conséquemment ^ = i, on a
fw — o, m'=i el ii = o;
alors l'expression de Zj^^g,' devient l'unité; ce qui est évident, puisque le joueur B, n'ayant plus de chances de perte, doit toujours finir par gagner.
Si, au contraire, on suppose p = i et y = o, c'est-à-dire si le premier joueur A compte un point avant chaque tirage du joueur B,
alors
m = ç', m'=o et n=:p';
x' étant plus grand que x ou égal, l'expression z^^^» se réduit à zéro;
et, en effet, il est évidemment impossible que, dans ce cas, le joueur B puisse gagner la partie; mais, quand x est plus grand que x\ la valeur de Zg^^» prend cette forme
Dans cette supposition, le joueur B ne peut gagner qu'autant qu'il amènera x' boules blanches avant x — a/ boules noires; autrement, il est devancé par le joueur A qui compte un point à chaque coup : cette expression de js^,^' est donc la probabilité que le joueur B aura tiré af boules blanches avant d'en avoir extrait x — x' noires, et, par conséquent, la probabilité pour gagner, s'il faisait le pari avec le joueur A, qui compterait alors un point par la sortie de chaque boule noire tandis qu'il en compte un à la sortie d'une blanche, d'atteindre x' points avant que son adversaire en ait x — x"; ce qui est le problème des partis {*).
(^) La fonction génératrice de Zjc,x' se réduit dans ce cas h
et l'équation aux différences partielles correspondante serait
dans laquelle Zx.x' est une fonction de x et de x' que nous désignerons par «p(x, .r'); si l'on fait Jc — j/= s, on aura
et, si Ton représente par Zg^x' cette dernière fonction, il en résulte et l'équation aux différences partielles se change en celle-ci
2*,x' = g'Zs'i,x'-^p'Zs,x'-ii
équation à laquelle conduirait directement le problème des partis dans les conditions énoncées ci-dessus. En faisant attention que, par suite de cette transformation, z,,o = 1 et «•^x* = o, et que «o,o ne peut avoir lieu, il est aisé de voir que la fonction génératrice de Zg^je' sera
fj^-q'i)
dans le développement de laquelle le coefficient de tu'^' sera Texpression de Zg^x'-
ORwret de L, — VU. 79
Si Ton examine avec attention la forme de l'expression générale qui donne 2^,^', on reconnaîtra que ce problème peut encore être résolu, et même avec simplicité, au moyen de la théorie des combinaisons : en effet, soient a le nombre des boules blanches contenues dans Furne du joueur A, et b celui des noires; a' le nombre des boules blanches du joueur B, et 6' celui des noires; en considérant, comme on l'a déjà fait, Tensemble de deux tirages successifs de A et B comme un coup,
aa' sera le nombre des combinaisons dans lesquelles les joueurs amènent chacun une boule blanche;
ab' celui des combinaisons qui donneront une boule blanche à A et une noire à B ;
a'b celui des combinaisons qui donneront, au contraire, une boule noire à A et une blanche à B;
bb' celui des combinaisons dans lesquelles l'un et l'autre joueur tirent une boule noire ;
Et la somme oa'-h a6'-h a'6 -4- bb* formera l'ensemble de toutes les combinaisons qui peuvent avoir lieu dans un coup. Les combinaisons où les joueurs amènent chacun une boule noire n'apportant aucun changement à leur position, nous pouvons en faire abstraction, et alors ne nous occuper que des coups où il sera amené au moins une boule blanche. Il est visible qu'en x-^x' coups semblables l'un des joueurs a nécessairement gagné, et la partie doit être décidée : or le nombre de toutes les combinaisons également possibles, suivant lesquelles ces x-hx' coups peuvent se présenter, sera
la question se réduit donc à choisir dans toutes ces combinaisons celles qui font gagner le joueur B, c'est-à-dire celles dans lesquelles ce joueur aura x' boules blanches avant que le joueur A en ait amené x. Pour fixer les idées, supposons x' plus grand que x\ on peut former les hypothèses suivantes : ou le joueur B aura gagné au a?''*"* coup, c'est-à-dire en tirant sans interruption une boule blanche à chaque coup, et alors le nombre des combinaisons précédentes qui se rappor-
tent à ce cas est évidemment
et en le divisant par {aa' -{- ab' -+- a' b^^^^^ nombre total des combinaisons, on aura, pour la probabilité de cette hypothèse,
{aa'-h ab
OU le joueur B aura gagné au (a;'-t- if^^^ coup, c'est-à-dire en n'ayant tiré qu'une seule boule noire, par exemple en commençant, et alors le nombre des combinaisons favorables à cet événement est
mais ce nombre est le même, que la boule noire soit amenée au premier coup ou au deuxième, . • ., ou au a?'**"* coup; il faut donc le multiplier par x' pour avoir toutes les combinaisons relatives à cette hypothèse, dont la probabilité est, par ce moyen,
t ^t^t ^f rt hr*
I (aa'-4-a6'-ha'fc)-*
OU le joueur B aura gagné au (a?' 4- 3)**"*' coup, et l'on verrait de la même manière que la probabilité de cette hypothèse serait
x'{x''hi) a^b'^a'^'b^' T x^a x'[x''-i).,,[x'—x^^] a-^~j
