VT

et ainsi de suite. ZJ.®^ étant, par ce qui précède, le coefficient de 0' dans le développement de ^i il en résulte que yi est le coefficient de 0' dans le développement de la fonction

-f-j^-içO"-*

Celte fonction est donc la fonction génératrice de j, ou de la variable principale de l'équation aux différences vj, = o. La formule (B) du numéro précédent donnera pareillement la valeur de j, ou l'intégrait» complète de Téquation aux différences v^J/ = o ; j", vjo» Ji » • • • J«-i » VJ^jiH seront les in arbitraires de cette intégrale. Le cas des mcines égales se résoudra de la même manière que ci-dessus. On aura par la même formule l'intégrale des équations aux différences v^j, = o, vV/=o, ..., ce qui montre l'analogie qui existe entre l'interpolation des suites et l'intégration des équations aux différences.

Soit j^f = ^) 4-^]-, et supposons que u' soit la fonction génératrice de j^f, et u' celle de y)^ u étant celle de y^ ; on aura u — u -h a''. Soit encore

^sfant la signification que nous lui avons donnée dans le n^ 5, et nom-

"*onsX,- le coefficient de /' dans le développement de >.; on aura, par le n^ 2^

Maintenant on a, par le n^ 5,

or le coefficient de /^ dans le développement du second membre de cette équation, est égal à celui de 6''"' dans le développement de

et, par le numéro précédent, ce coefficient est égal à Z^''^; donc le coefficient de /' dans le développement de - sera

ni

OU 2 X;.Z^^'„V^, l'intégrale étant prise relativement à r, depuis r = o jusqu'à r= i — /w; ce sera la valeur de y\. Cela posé, si dans la formule (B) du numéro précédent on suppose V'j^i= o, elle donnera, en observant que j,- = ji -f- j]»

+ ?zi.«Uir«-i + ?zjî.i,;,^, v^-^.i + . . . + ?ziTj,v,v-'r^-.,

Jo. Vjo» • • •» V* *7o» Ji» VJm • • • étant les ns arbitraires de l'intégrale de l'équation v*j'i = o ou

or, Vy] étant égale à X/, cette équation devient