LIVRE PREMIER

à son dernier terme, qui surpasse infiniment les autres; l'expression de ZJ.'"*' du n® 5 devient, en y changeant r dans i — i ,

dx' rf*-* 1 +

(à-fr(h^fy...

la différence d*"* étant prise en ne faisant varier que h et en substituant, après les difîérentiations,/au lieu de h dans le premier terme, f au lieu de h dans le second terme, et ainsi de suite. Nommons X^'-'^rfr' la quantité précédente; on aura, à l'infiniment petit près, jx étant un nombre fini.

D'ailleurs on a j^a. = (p(ct), et la caractéristique A des différences finies doit se changer dans la caractéristique d des différences infiniment petites, en sorte que l'équation

ou, ce qui revient au même, celle-ci devient, en y changeant da/ en du,

L'expression de j^ar+j-, trouvée dans le numéro précédent, deviendra

ORuvres de L. — VU. 5

(tonc

, .1.1 /«»,.! ...'""•I .«'"X"! ,rf"-lX"l\

n / 1 /l-v,,, j.!""" .«'"Xl'l .rf«-'XI"\

(te* \

, J*-I?*ip(g,}

Cette formule servira à interpoler les suites dont la dernière raison des termes est celle d'une équation linéaire aux différences infînimenl petites à coefficients constants.

Si l'on a

V*ip[iii+ j;') =o,

la formule se termine et donne la valeur de f (o + x'), ou l'intégrale de l'équation différentielle précédente; <p(a), — ^^» .,.; v<p(o). ^IeI, ...; viç(„), ^^^, ... éUnt les ns arbitraires de l'intégrale.

Supposons que Ton ait l'équation clifTérentielle

V^ étant une fonction donnée de x'; il faut, par le n® 6, ajouter à Texpression précédente de <f{ts-hx') le terme /V;.X^iy rfr, XJJr*' étant la même fonction de a/ que X^'~'^ L'intégrale relative à r doit être prise depuis r=o jusqu'à r = x. Cette intégrale définie peut, par le numéro cité, être transformée en intégrales indéfinies relatives à x.

De la transformation des suites.

9. La théorie des fonctions génératrices peut servir encore k transformer les suites en d'autres qui suivent une loi donnée. Considérons la suite infinie

(V) ro-^r<«"*-J^a«*-^- ••+/'«'-*-•••»

et nommons, comme ci-dessus, u la somme de la série infinie

le coefficient de /^ dans le développement de la fraction sera égal

à la somme de la suite proposée (Y), prise depuis le terme j^a"^ inclusivement jusqu'à l'infini. Soit généralement s une fonction quelconque

de -f et nommons Uyx"*-^ le coefficient de f dans uz. Les coefficients

de £* dans uz^^ uz^^ . . » seront n'^a?»"^» ^^y^^"* • • . • Cela posé, on mul-

tipliera le numérateur et le dénominateur de la fraction pari^ —s,

et l'on prendra pour i ce que devient s lorsqu'on y fait / égal à l'unité ; i ^ z sera divisible alors par i — -• Soit

A(0 Ata) A(ȕ

le quotient de cette division ; on aura

/ I «■ »• ^'*if *P"^*'"^'

kl y'^ k'*'T''^--)

ce qui donne, en repassant des fonctions génératrices aux coefBcients. JiXx'r' *n|r.,»-l <n'(rji')

Srx»'=

i>"'rj<.i«"' «"'n(rx^.iir"')

Le signe S désigne la somme des termes depuis^ inclusivement jusqu'il l'infini. Supposons maintenant

on aura

En désignant par ^y^ la quantité ay^ + by^^^ -h . . . ,

et généralement on aura

On a ensuite

yf = a+--t- + - +

ce qui donne

a- a* Gf?

on aura donc

« ,/„ . Vrx+. , v«r.

-i j- — x* (yx+i +

En faisant a; == o, on aura une transformée de la suite proposée, dont les termes suivront une autre loi, et si les quantités Vj^t, V^ya^ ... vont en décroissant, cette suite sera convergente. Elle se terminera toutes les fois que Ton aura v'*j'aj=o, ce qui aura lieu lorsque la proposée sera une suite récurrente. On aura donc ainsi la somme des suites récurrentes, à compter d'un terme quelconque y^^", et par conséquent on aura aussi la somme de leurs termes, comprise entre deux termes quelconques y^fOc^ et y^fcc^.

Théorèmes sur le développement des fonctions et de leurs différences

en senes.

10. En appliquant à des fonctions particulières les principes généraux exposés dans le n® 1, on aura une infinité de théorèmes sur le développement des fonctions en séries. Nous allons présenter ici les plus remarquables.

On a généralement

Or il est clair que le coefficient de t' dans le premier membre de cette équation est la différence n'*™ de y^, x variant de ('; car ce coefficient dans " ( 7î — I ) est y^^-i — y^ ou 'Aj*!' en désignant par la caractéristique 'A les différences finies, lorsque x varie de la quantité i; d'où il est facile de conclure que ce même coefficient, dans le développement de "(,-— ï) ' est 'A^y^. D'ailleurs, si l'on développe

« (n-- — ij — t suivant les puissances de y — I, les coefficients

de t' dans les développements de "(7 — i)> «[7 — i) . -•• sont, par le n" 2, A^„ A*/,,...; en sorte que ce coefficient, dans «M -H - — i| — I , est [(i + A/ar)'— i]"' pourvu que dans le développement de cette quantité on applique à la caractéristique A les exposants de puissances de t^yg-, et qu'ainsi, au lieu d'une puissance quelconque (A/^f, on écrive A''^^; on aura donc avec cette condition

;,) 'AVx^tli+A^.)'-.]».

Si l'on désigne par la caractéristique '2 l'intégrale finie, lorsque w varie de i, "SJ'y^ sera, par le n" 2, le coefficient d« t' dans le développement de la fonction "(t,- — ') • ^n faisant abstraction des constantes arbitraires que l'intégration introduit; or on a