LIVRE PREMIER

pourvu que, dans le développement du second membre de cette équation, on applique à la caractéristique A les exposants des puissances de Aj^^, que Ton change les différences négatives en intégrales et que Ton substitue y g, au lieu de A^j^^, et comme ce développement renferme l'intégrale ^'^y^^ qui peut être censée renfermer n constantes arbitraires, l'équation (2) est encore vraie, en ayant égard aux constantes arbitraires.

On peut observer que cette équation se déduit de l'équation (1), en faisant dans celle-ci n négatif et en y changeant les différences négatives en intégrales, tî'est-à-dire, en écrivant 'H^y^ au lieu de 'bJ^yx dans le premier membre; et généralement, dans le développement du second membre, ^'^yx au lieu de br^yx*

Les équations (i) et (2) auraient également lieu, si x^ au lieu de varier de l'unité dans Ay^, variait d'une quantité quelconque a, pourvu que la variation de x dans 'Lyx soit égale à ixs. En effet, il est clair

que, si dans yx on fait x= —i x^ variera de ct lorsque x variera de

l'unité; ^yx se changera dans Ay^', la variation de x' étant a, et 'by^ se changera dans 'A^^-, la variation de x' étant ivs. Maintenant si, après avoir substitué ces quantités dans les équations (i) et (2), on suppose x3 infiniment petit et égal à dx\ Ay^ se changera dans la différence infiniment petite dyx'. Si de plus on fait i infini et idx' = a, a étant une quantité finie, la variation de x' dans 'Hyx' sera a; on aura donc

( 'A»7V= [(i -f- dyjfY— i]«.

Or on a

log(i -f- rfr^)' = j|og(i + rf/v) = idyjizzza ^»

ce qui donne

c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité; on a

donc

;3) 'A«r^=Vc «^-ij ,

en ayant soin d'appliquer à la caractéristique d les exposants des puissances de dyx'^ de changer les différences négatives en intégrales et la quantité d^yg.' en y^-.

On peut donner à l'équation (3) cette forme singulière qui nous sera utile dans la suite,

En effet, elle donne

Considérons un terme quelconque du développement de

^-r ) . En le multipliant par c « *''' , et développant cette dernière quantité, on aura

celte quantité est égale à k ^ .^ * » d'où il est facile de conclure

f dy ^m «ïr ■* \ «

pt dx- (çt rfjr __ ^ t rfo:* j =\C« djf ^c "i djC J -.'

A'jx-.

Si dans les équations (i) et (2) on suppose encore 1 infiniment petit et égal à dx, on aura