LIVRE PREMIER. ki
on a d'ailleurs
les équations (i) et (a) deviendront ainsi
15) -^^ = Uoe(, + àr.)]»,
On peut observer ici une analogie singulière entre les puissances positives et les différences et entre les puissances négatives et les intégrales. L'équation
est la traduction du théorème connu de Taylor, lorsque, dans le déve-
dr loppement de son second membre suivant les puissances de -T^r on
applique à la caractéristique d les exposants de ces puissances. En éle- Tiot les deux membres de cette équation à la puissance /z, et appliquant aux caractéristiques 'A et d les exposants des puissances de ^A j^ etdec(K«f on aura Téquation (3), d'où résulte l'équation (4) en changeant les différences négatives en intégrales. L'équation précédente donne
c '^^ii 4-'A/^.
Ed prenant les logarithmes de chaque membre, on aura
«^Ç = log(.+'Arx).
Supposant ensuite a = i, ce qui change 'A jVx dans Av^;, et élevant les deux membres de cette équation à la puissance n, on aura l'équa- ^^^ (5), pourvu que Ton applique les exposants des puissances aux ^'ïciéristiques. On aura l'équation (6) en faisant n négatif et chani^i^t les puissances négatives en intégrales.
QKtoVM d!r X. — VU. 6
4i THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.
Si, dans l'équation précédente (r), on change a dans i, on aura
dx
log{i-4-'A7^)S
et si Ton y suppose a = i, on aura
^ = log(i-i-A/x).
La comparaison de ces deux valeurs de -^ donne
log(i -f Ajx) =log(i 4-'Ajr^y,
En élevant chaque membre à la puissance n et appliquant les exposants des puissances aux caractéristiques» on aura l'équation (i)» d'où résulte l'équation (2), en changeant les différences négatives en intégrales. Les équations (i), (2), (3), (4)» (5) et (6) résultent donc du théorème de Taylor, mis sous la forme de l'équation (o), en transformant cette équation suivant les règles de l'Analyse, pourvu que dans les résultats on applique aux caractéristiques les exposants des puissances, que l'on change les différences négatives en intégrales et que l'on substitue la variable elle-même y^ au lieu de ses différences zéro. Cette analogie des puissances positives avec les différences et des puissances négatives avec les intégrales devient évidente par la théorie des fonctions génératrices. Elle tient, comme on l'a vu, à ce que les
produits de la fonction u, génératrice de^^?» par les puissances -. — 1
sont les fonctions génératrices des différences finies successives de ^^^ X variant d'une quantité quelconque i, tandis que les quotients de u, divisés par ces mêmes puissances, sont les fonctions génératrices des intégrales de 7^.
En considérant, au lieu du facteur -. — i et de ses puissances, les puissances d'une fonction quelconque rationnelle et entière de -^ on
