LIVRE PREMIER

peut en conclure des théorèmes analogues aux précédents, sur les dérivées successives des fonctions. Je nomme dérivée d'une fonction j^ toute quantité qui en dérive, telle que ay^, -h hyg,^^ -f- eya,^^ 4- .... En regardant ensuite cette fonction dérivée comme une nouvelle fonction que je désigne par j^^^, la quantité ay^ 4- iy^+, + ^y^»^+ • • • sera une seconde dérivée de la fonction yg.^ et ainsi de suite. Lorsque la fonction ayg;+ by^^^ 4- . . . devient — ya?-+-J'»*-i» la dérivée devient une différence finie.

Maintenant on a

iq)

on a ensuite généralement, par le n® 2, en désignant par y^x 1^ quantité ay^o -h ftj'ar+i -+- ^7«+a + - - • » V'^yx pour le coefficient de la fonction génératrice du premier membre de cette équation ; de plus on a

Le second membre de cette équation est la fonction génératrice de

OU dec '^, en appliquante la caractéristique^ les exposants de puissances de -j^» et écrivant ja, au lieu de (■^) • De là on conclut que,

SOUS les mêmes conditions, le second membre de l'équation [q) est la fonction génératrice de

\a H- bc^' H- ec '^ -h Ac ^' -h . . ./ ,

et qu'ainsi cette équation donne, en repassant des fonctioAs généra-

trices aux coefficients,

On peut ainsi obtenir une infinité de résultats semblables. Nous nous bornerons au suivant, qui nous sera utile dans la suite : {£ ( -^ — yjt\ est la fonction génératrice de

n(/i — i) Y n— nr « . H- — -Y n

ou de ùk'^y „. De plus, on a

d*où Ton tire» en repassant par l'analyse précédente des fonctions génératrices aux coefficients

Adx^ç IdjrJ

11. Je n'ai considéré jusqu'ici qu'une seule fonction j^ de x; mais la considération du produit de plusieurs fonctions delà même variable conduit à divers résultats curieux et utiles d'analyse. Soit u une fonction de /, et jx le coefficient de f dans le développement de cette fonction ; soit u' une fonction de t\ et^^ le coefficient de t'^ dans le développement de cette fonction; soit encore u" une fonction de /^ etj^^ le coefficient de f dans son développement, et ainsi de suite. Il est clair V^^yxy'xyx • • • ^^^^ '^ coefficient de t^t'^f^ . . . dans le développement du produit uu'u" ...\ ce produit sera donc la fonction génératrice de 7x v;^; .... La fonction génératrice de yx^xY^^yx^^ • • • - v^r^r/r--» ou de ^yxy'xyx • • • ^^^ ^i^^i

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